3.1.1 方程的根与函数的零点第一课时教学设计

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

1 知识和技能目标：理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程根之间的关系；掌握零点存在的判断条件。

2 过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想.

3 情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数形结合思想，培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力．

      本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方程的根与函数的零点，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点的存在性定理，是一节概念课。函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程邮寄的联系在一起，本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习垫底基础。因此本节课内容具有承前启后的作用，地位至关重要。

       本节课的授课对象是普通高中高一学生，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图象已经有了比较系统的认识与理解，特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入起到了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进入高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察、归纳能力都还没有很全面的基础，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论最求的愿望，将学生置于主动参与的地位。

1教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系

2 教学难点：零点存在性的判定条件。

PPT，黑板，粉笔

问题1  求下列方程的根
(1).3x+2=0

(2).x^2-5x+6=0

(3).lnx+2x-6=0

问题2 列出表格，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标

提出疑问：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？

结论：方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。

问题3  若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a>0) 及相应的二次函数y=ax^2+bx+c(a>0) 的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备。】

1、函数的零点：对于函数y=f（x）我们把使方程f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。

问：零点是一个点吗？

求下列函数的零点。

(1)f(x)=lg(x-1)

(2)f(x)=x^2-5x-6

小结：求函数零点的步骤：

2、你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？等价关系：方程f（x）=0有实数根

函数y=f（x）的图象与x轴有交点

函数y=f（x）有零点

【设计意图：引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法；通过引导，学生自己归纳出三者之间的关系，并且明确提出转化思想。】

【设计意图：进一步理解零点的概念，灵活运用三者之间的关系。】

问题4：

1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点。

 2 判断函数f(x)=lnx+2x-6有没有零点？

【设计意图：由学生思考，产生认知冲突，从而激发学生的求知欲。】

思考： 函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？【铺设台阶，引出本节课的主要问题.】

怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？

问题5：（1）观察二次函数f(x)=x^2-2x-3 的图象：

1 在区间 [-2,1]上有零点______；f(-2)= _______，f(1)= _______,

f(-2)·f(1) _____0（＜或＞）．         

2 在区间[2,4] 上有零点______；f(2)·f(4) ____0（＜或＞）．

3  若把区间改为[2,4],[-2,2],[0,5],[4,5],[-2,4]结果如何？

思考：根据以上探索，你能得出什么结论？

结论：函数在区间端点处函数值乘积小于0，函数在该区间上有零点.

这个结论推广到一般情况下还成立吗？

（2）观察教材函数y=f(x)的图象

1在区间[a,b]上______(有/无)零点； f(a)·f(b) _____0（＜或＞）．

2在区间[b,c]上______(有/无)零点； f(b)·f(c) _____0（＜或＞）．

3在区间[c,d]上______(有/无)零点； f(c)·f(d) _____0（＜或＞）．

（3）观察屏幕上的函数图象：

若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是______（间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是_____（相同／互异）

零点存在定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c