1.1空间几何体的结构（通用）课件配套优秀教案案例

1.1　空间几何体的结构 高中数学       人教A版2003课标版

1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．

认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

1．空间几何体

(1)概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．

(2)特殊的几何体

①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．

②旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．

2．多面体的结构特征

(1)棱柱的结构特征：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．

(2)棱锥的结构特征：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．

(3)棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台．

[情境导学]　在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．本节课我们主要从结构特征方面认识最基本的空间几何体．

探究点一　空间几何体的类型

思考1　观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？

答　(1)、(8)为圆柱；(2)为长方体；(3)、(6)为圆锥；(4)、(10)为圆台；(5)、(7)、(9)为棱柱；(11)、(12)为球；(13)、(16)为棱台；(14)、(15)为棱锥．

思考2　如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成哪几种类型？

答　分七类．分别是：棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球．

思考3　观察图(2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)(16)中组成几何体的每个面的特点，以及面与面之间的关系，你能归纳出它们有何共同特点吗？

答　组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形．

小结　我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．

思考4　观察图(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)中组成几何体的每个面有何共同特点？

答　组成它们的面不全是平面图形，更多的是曲面．

小结　由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．

探究点二　棱柱的结构特征

思考1　我们把下面的多面体取名为棱柱，据此你能给棱柱下一个定义吗？

图1　　　　　　　　　图2

答　有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱．

思考2　为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？

答　如思考1图1中，棱柱的底面为六边形ABCDEF和A′B′C′D′E′F′；侧面有A′ABB′、B′BCC′等；棱柱的侧棱有AA′、BB′、CC′等；棱柱的顶点有A、B、C、D、E、F、A′、B′等．

思考3　棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？

答　两底面是全等的多边形，各侧面都是平行四边形．

思考4　一个棱柱至少有几个侧面？一个N棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？

答　至少有三个侧面；一个N棱柱分别有两个底面，N个侧面，N条侧棱，2N个顶点．

思考5　有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？

答　不一定，因为棱柱定义中还有每相邻两个四边形的公共边都互相平行的条件．如图虽然有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形但不是棱柱．

小结　在棱柱中，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；思考1图1中的六棱柱用各顶点字母可表示为棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′.

例1　试判断下列说法是否正确：

(1)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；

(2)棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形．

解　(1)错误．如长方体中相对侧面互相平行．

(2)正确．由棱柱的定义可知，棱柱的侧棱互相平行且相等，且各侧面都是平行四边形．

反思与感悟　概念辨析题常用方法：(1)利用常见几何体举反例；(2)从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断．

跟踪训练1　根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：

(1)由6个平行四边形围成的几何体．

(2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形．

解　(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．

(2)是六棱柱．

探究点三　棱锥的结构特征

思考1　我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？

答　有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥．

思考2　参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？

答　多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各三角形面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．

思考3　类比棱柱的分类，棱锥如何根据底面多边形的边数进行分类？如何用棱锥各顶点的字母表示思考1中的三个棱锥？

答　底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫四面体．三个棱锥从左到右可分别表示为S－ABC，S－ABCD，P－ABCDE.

思考4　一个棱锥至少有几个面？一个N棱锥分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？

答　至少有4个面；1个底面，N个侧面，N条侧棱，1个顶点．

思考5　用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？

答　相似多边形．

思考6　棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？

答　棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形．

棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方．

例 2   如图，几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面．

解　(1)∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，

∴这个几何体不是棱柱．

(2)在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；在BB1上取F点，使BF＝2；连接C1E、EF、C1F，则过C1、E、F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其侧棱长为2；截去部分是一个四棱锥C1—EA1B1F.

反思与感悟　认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开．

跟踪训练2　若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高．(过顶点向底面作垂线，顶点与垂足的距离)

解　在底面正三角形中，边长为3，高为3×sin 60°＝，中心到正三角形顶点的距离为×＝，则棱锥的高为＝1.

探究点四　棱台的结构特征

思考1　用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成另一个多面体，这样的多面体叫做棱台．那么棱台有哪些结构特征？

答　有两个面是互相平行的相似多边形，其余各面都是梯形，每相邻两个梯形的公共腰的延长线共点．

思考2　仿照棱锥中关于底面、侧面、侧棱、顶点的定义，如何定义棱台的底面、侧面、侧棱、顶点呢？

答　原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点．

思考3　根据三棱锥、四棱锥、五棱锥……的定义，如何定义三棱台、四棱台、五棱台……？如何用字母表示棱台？

答　由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……；与棱柱的表示一样棱台也用上、下底面的各顶点的字母表示．

思考4　既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？

答　它们在结构上的相同点是：它们都是由平面多边形围成的几何体，它们都有底面且底面都是多边形；不同点是：棱柱和棱台都有两个底面，而棱锥只有一个底面，棱柱的两个底面是全等的，棱台的两个底面是相似的；能够相互转化，棱台是由棱锥截取得到的，棱台的上底面扩大，使上下底面全等，就是棱柱，棱台的上底面缩为一个点就是棱锥．

例 3  有下列三个命题：

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

其中正确的有(　　)

A．0个                                         B．1个

C．2个                                         D．3个

答案　A

解析　本题主要考查台体的结构特征，关键是把握台体的特点．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，故②③错．

反思与感悟　一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似，侧棱延长后交于一点，这是判断几何体是否为棱台的依据．

跟踪训练 3   已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4,8的正方形，各侧棱长均相等，且侧棱长为，求四棱台的高．

解　如图，在截面ACC1A1中，A1A＝CC1＝，A1C1＝4，AC＝8，过A1作A1E⊥AC交AC于点E.

在Rt△A1EA中，AE＝(8－4)＝2，A1A＝，

∴A1E＝＝＝3，

即四棱台的高为3.

1.1　空间几何体的结构

1.1　空间几何体的结构

[情境导学]　在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．本节课我们主要从结构特征方面认识最基本的空间几何体．

探究点一　空间几何体的类型

思考1　观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？

答　(1)、(8)为圆柱；(2)为长方体；(3)、(6)为圆锥；(4)、(10)为圆台；(5)、(7)、(9)为棱柱；(11)、(12)为球；(13)、(16)为棱台；(14)、(15)为棱锥．

思考2　如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成哪几种类型？

答　分七类．分别是：棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球．

思考3　观察图(2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)(16)中组成几何体的每个面的特点，以及面与面之间的关系，你能归纳出它们有何共同特点吗？

答　组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形．

小结　我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．

思考4　观察图(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)中组成几何体的每个面有何共同特点？

答　组成它们的面不全是平面图形，更多的是曲面．

小结　由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．

探究点二　棱柱的结构特征

思考1　我们把下面的多面体取名为棱柱，据此你能给棱柱下一个定义吗？

图1　　　　　　　　　图2

答　有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱．

思考2　为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？

答　如思考1图1中，棱柱的底面为六边形ABCDEF和A′B′C′D′E′F′；侧面有A′ABB′、B′BCC′等；棱柱的侧棱有AA′、BB′、CC′等；棱柱的顶点有A、B、C、D、E、F、A′、B′等．

思考3　棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？

答　两底面是全等的多边形，各侧面都是平行四边形．

思考4　一个棱柱至少有几个侧面？一个N棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？

答　至少有三个侧面；一个N棱柱分别有两个底面，N个侧面，N条侧棱，2N个顶点．

思考5　有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？

答　不一定，因为棱柱定义中还有每相邻两个四边形的公共边都互相平行的条件．如图虽然有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形但不是棱柱．

小结　在棱柱中，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；思考1图1中的六棱柱用各顶点字母可表示为棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′.

例1　试判断下列说法是否正确：

(1)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；

(2)棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形．

解　(1)错误．如长方体中相对侧面互相平行．

(2)正确．由棱柱的定义可知，棱柱的侧棱互相平行且相等，且各侧面都是平行四边形．

反思与感悟　概念辨析题常用方法：(1)利用常见几何体举反例；(2)从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断．

跟踪训练1　根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：

(1)由6个平行四边形围成的几何体．

(2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形．

解　(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．

(2)是六棱柱．

探究点三　棱锥的结构特征

思考1　我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？

答　有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥．

思考2　参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？

答　多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各三角形面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．

思考3　类比棱柱的分类，棱锥如何根据底面多边形的边数进行分类？如何用棱锥各顶点的字母表示思考1中的三个棱锥？

答　底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫四面体．三个棱锥从左到右可分别表示为S－ABC，S－ABCD，P－ABCDE.

思考4　一个棱锥至少有几个面？一个N棱锥分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？

答　至少有4个面；1个底面，N个侧面，N条侧棱，1个顶点．

思考5　用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？

答　相似多边形．

思考6　棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？

答　棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形．

棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方．

例 2   如图，几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面．

解　(1)∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，

∴这个几何体不是棱柱．

(2)在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；在BB1上取F点，使BF＝2；连接C1E、EF、C1F，则过C1、E、F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其侧棱长为2；截去部分是一个四棱锥C1—EA1B1F.

反思与感悟　认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开．

跟踪训练2　若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高．(过顶点向底面作垂线，顶点与垂足的距离)

解　在底面正三角形中，边长为3，高为3×sin 60°＝，中心到正三角形顶点的距离为×＝，则棱锥的高为＝1.

探究点四　棱台的结构特征

思考1　用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成另一个多面体，这样的多面体叫做棱台．那么棱台有哪些结构特征？

答　有两个面是互相平行的相似多边形，其余各面都是梯形，每相邻两个梯形的公共腰的延长线共点．

思考2　仿照棱锥中关于底面、侧面、侧棱、顶点的定义，如何定义棱台的底面、侧面、侧棱、顶点呢？

答　原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点．

思考3　根据三棱锥、四棱锥、五棱锥……的定义，如何定义三棱台、四棱台、五棱台……？如何用字母表示棱台？

答　由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……；与棱柱的表示一样棱台也用上、下底面的各顶点的字母表示．

思考4　既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？

答　它们在结构上的相同点是：它们都是由平面多边形围成的几何体，它们都有底面且底面都是多边形；不同点是：棱柱和棱台都有两个底面，而棱锥只有一个底面，棱柱的两个底面是全等的，棱台的两个底面是相似的；能够相互转化，棱台是由棱锥截取得到的，棱台的上底面扩大，使上下底面全等，就是棱柱，棱台的上底面缩为一个点就是棱锥．

例 3  有下列三个命题：

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

其中正确的有(　　)

A．0个                                         B．1个

C．2个                                         D．3个

答案　A

解析　本题主要考查台体的结构特征，关键是把握台体的特点．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，故②③错．

反思与感悟　一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似，侧棱延长后交于一点，这是判断几何体是否为棱台的依据．

跟踪训练 3   已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4,8的正方形，各侧棱长均相等，且侧棱长为，求四棱台的高．

解　如图，在截面ACC1A1中，A1A＝CC1＝，A1C1＝4，AC＝8，过A1作A1E⊥AC交AC于点E.

在Rt△A1EA中，AE＝(8－4)＝2，A1A＝，

∴A1E＝＝＝3，

即四棱台的高为3.