3.1.1 方程的根与函数的零点教案及板书设计

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

1、知识和技能目标：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。

2、过程与方法：由二次函数和对应的一元二次方程出发，探究方程的根与函数的零点的关系；以具体函数在某区间上存在零点的特点，探究在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。

3、情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想及知识间的联系；在教学中让学生感受数学的形成过程、发现的乐趣。

充分尊重学生在教学中的主体地位，充分发挥学生的主动性、参与性。学生自己先观察图象，然后通过合作交流归纳出方程的根与函数的零点的关系以及在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法，再通过练习等达到知识的巩固和能力的培养。

教学重点：

1、方程的根与函数的零点的关系；

2、在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。

教学难点：

用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括出在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。

问题1：一元二次方程的根与相应的二次函数的图像有什么关系呢？

师生共同完成下表：

一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根

两个不相等

的实数根x1 ,x2

有两个相等的

实数根x1 = x2

没有实数根

函数y= ax2 +bx

+c(a>0)的图象

x

y

x1

x2

0

x

y

0

x1

x

y

0

[师生互动]

师：由表可得一元二次方程的根与相应的二次函数的图像有什么关系呢？

生：一元二次方程的根就是一元二次函数图象与x轴的交点的横坐标。

师：对了，一元二次方程的根和相应的二次函数的图象与x轴的交点的关系，可以推广到一般情形。为此我们先来学习函数零点的概念。

对于函数y=f(x)，把使 成立的实数 叫做函数y=f(x)的零点．

提醒学生：函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值为零。它并不是“点”，所以不是以坐标的形式出现。

师生共同总结：

函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。

问题2：你认为函数有零点的条件是什么？

方程 有实数根

函数 的图象与 轴有交点

函数 有零点．

问题3：你认为函数的零点有几种求法？

1 （代数法）求相应方程的实数根；

2 （几何法）通过函数图象求函数图象与x轴交点的横坐标。

练习一：

1．函数y=x3-x的零点是___________________；

若函数f(x)=ax2－x－1仅有一个零点，则实数a的取值范围是____________________。

3．已知y=x(x-1)(x+1)的图形如图所示，今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.25，则函数f(x)（  ）

y

x

O

-1

1

A．有三个零点

B．当x<-1时，没有零点

C．当-1<x<0时，恰有一零点

D．当0<x<1时，恰有一零点

变式：今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+b，若要使函数f(x)有且只有一个零点，求b的取值范围?

若要使函数f(x)有且只有两个零点呢？

师：由方程的根与函数的零点的等价关系可知，求方程f(x)=0的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点。一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，我们可以将它与函数 y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根。那如何利用函数的性质找出零点呢？这就是我们接下来要探究的内容。

教师提供探究材料：

（1）观察二次函数 的图象：

1 ___0， ___0， _____0（填＜或＞）．

函数f(x)在区间 上有零点吗？______；

2 ___0， ___0， _____0（填＜或＞）．

函数f(x)在区间 上有零点吗？______。

（2）观察下面函数 的图象

1 _____0（＜或＞）．在区间 上有_____个零点；

2 _____0（＜或＞）．在区间 上有_____个零点；

3 _____0（＜或＞）．在区间 上有_____个零点；

4 _____0（＜或＞）．在区间 上有_____个零点。

[师生互动]

师：根据你的观察和填空的结果，请猜想函数在指定区间上存在零点的条件。

学生分组合作交流，共同比较和完善猜想，希望学生得到：

如果 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么函数 在区间 内有零点。

学生可能会忽略条件“y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续的”，而只直接根据条件“f(a)f(b)<0”去判断。教学中应给予纠正，并提供反例：

y

x

0

a

b

演示个别组的猜想，师生共同归纳得到函数零点存在的判定定理（也即方程的根存在的判定定理）：

如果 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么函数 在区间 内有零点,即存在 ,使得 ,这个 也就是方程 的根。

教师再引导学生思考：

1．“连续不断”和“f(a)f(b)<0”这两个条件推出函数在区间（a,b）内存在零点，但能推出函数在此区间零点的个数吗？

2．若把条件“f(a)f(b)<0”改为“f(a)f(b)>0”, 函数在区间（a,b）内就一定不存在零点吗?

3．已知函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义并且图象连续,若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,那么一定有f(a)·f(b)<0吗?

练习二：

已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x,f(x)的对应值表

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

f(x)

14

8

-2

2

7

3

-2

-1

8

问函数f(x)在哪几个区间内有零点（区间长度为1）？函数在区间（1，2）上存在零点吗？

练习三：

先判断下列函数的零点个数，如果存在着零点请指出零点所在的大致区间（区间长度为0.5）：

（1） ；

（2） 。

1．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：

（1） ；

（2） ．

2．已知 ， 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点？

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

问题1：一元二次方程的根与相应的二次函数的图像有什么关系呢？

师生共同完成下表：

一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根

两个不相等

的实数根x1 ,x2

有两个相等的

实数根x1 = x2

没有实数根

函数y= ax2 +bx

+c(a>0)的图象

x

y

x1

x2

0

x

y

0

x1

x

y

0

[师生互动]

师：由表可得一元二次方程的根与相应的二次函数的图像有什么关系呢？

生：一元二次方程的根就是一元二次函数图象与x轴的交点的横坐标。

师：对了，一元二次方程的根和相应的二次函数的图象与x轴的交点的关系，可以推广到一般情形。为此我们先来学习函数零点的概念。

对于函数y=f(x)，把使 成立的实数 叫做函数y=f(x)的零点．

提醒学生：函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值为零。它并不是“点”，所以不是以坐标的形式出现。

师生共同总结：

函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。

问题2：你认为函数有零点的条件是什么？

方程 有实数根

函数 的图象与 轴有交点

函数 有零点．

问题3：你认为函数的零点有几种求法？

1 （代数法）求相应方程的实数根；

2 （几何法）通过函数图象求函数图象与x轴交点的横坐标。

练习一：

1．函数y=x3-x的零点是___________________；

若函数f(x)=ax2－x－1仅有一个零点，则实数a的取值范围是____________________。

3．已知y=x(x-1)(x+1)的图形如图所示，今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.25，则函数f(x)（  ）

y

x

O

-1

1

A．有三个零点

B．当x<-1时，没有零点

C．当-1<x<0时，恰有一零点

D．当0<x<1时，恰有一零点

变式：今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+b，若要使函数f(x)有且只有一个零点，求b的取值范围?

若要使函数f(x)有且只有两个零点呢？

师：由方程的根与函数的零点的等价关系可知，求方程f(x)=0的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点。一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，我们可以将它与函数 y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根。那如何利用函数的性质找出零点呢？这就是我们接下来要探究的内容。

教师提供探究材料：

（1）观察二次函数 的图象：

1 ___0， ___0， _____0（填＜或＞）．

函数f(x)在区间 上有零点吗？______；

2 ___0， ___0， _____0（填＜或＞）．

函数f(x)在区间 上有零点吗？______。

（2）观察下面函数 的图象

1 _____0（＜或＞）．在区间 上有_____个零点；

2 _____0（＜或＞）．在区间 上有_____个零点；

3 _____0（＜或＞）．在区间 上有_____个零点；

4 _____0（＜或＞）．在区间 上有_____个零点。

[师生互动]

师：根据你的观察和填空的结果，请猜想函数在指定区间上存在零点的条件。

学生分组合作交流，共同比较和完善猜想，希望学生得到：

如果 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么函数 在区间 内有零点。

学生可能会忽略条件“y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续的”，而只直接根据条件“f(a)f(b)<0”去判断。教学中应给予纠正，并提供反例：

y

x

0

a

b

演示个别组的猜想，师生共同归纳得到函数零点存在的判定定理（也即方程的根存在的判定定理）：

如果 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么函数 在区间 内有零点,即存在 ,使得 ,这个 也就是方程 的根。

教师再引导学生思考：

1．“连续不断”和“f(a)f(b)<0”这两个条件推出函数在区间（a,b）内存在零点，但能推出函数在此区间零点的个数吗？

2．若把条件“f(a)f(b)<0”改为“f(a)f(b)>0”, 函数在区间（a,b）内就一定不存在零点吗?

3．已知函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义并且图象连续,若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,那么一定有f(a)·f(b)<0吗?

练习二：

已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x,f(x)的对应值表

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

f(x)

14

8

-2

2

7

3

-2

-1

8

问函数f(x)在哪几个区间内有零点（区间长度为1）？函数在区间（1，2）上存在零点吗？

练习三：

先判断下列函数的零点个数，如果存在着零点请指出零点所在的大致区间（区间长度为0.5）：

（1） ；

（2） 。

1．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：

（1） ；

（2） ．

2．已知 ， 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点？