2.3.1 幂函数优秀获奖教案

2.3.1　幂函数 高中数学       人教A版2003课标版

1．知识技能

    （1）理解幂函数的概念，会画几个常见幂函数的图像；

    （2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.

 2．过程与 方法

     通过类比指、对数函数的研究方法和过程，对幂函数进行学习研究，掌握研究函数的一般方法

3．情感、态度、价值观

    （1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；

     （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性

1.知识储备方面

   学习幂函数之前，学生在初中已经掌握了一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数几类基本初等函数，并且在高中阶段独立探究过指数函数与对数函数的图象与性质，基本掌握了研究函数的一般方法与过程.由于幂函数的情况比较复杂，学生在对图象共性的归纳与概括方面可能遇到困难。

2. 思维水平方面

   所授课班级是普通版，优生与后进生，水平相差较大。但大部分学生有一定的数学素养和数学思维能力。

3. 技术使用方面

   学生能够较熟练掌握几种简单函数的图形，有一定的自主探究意识。

重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 

 难点：对幂函数的图象进行分类，从而概括出性质。

1、请完成以下问题： 

(1)如果圣诞节卡片每张1元，那么买x张卡片需y元，则y关于x的函数是？

(2)如果正方形的边长为x，面积为y，则y关于x的函数是？     

(3)如果正方形边长为x，体积为y，则y关于x的函数是？

(4)如果正方形的面积为x，边长为y，则y关于x的函数是？

(5)如果某人x秒内骑车行了1 km，他骑车的平均速度为y，则y关于x的函数是？

思考：这5个问题中的函数具有什么共同特征？

（1）y=x ，（2）y=x² ，（3）y=x³   （4） ,（5）y=x⁻¹

上述问题中涉及到的函数，都是形如y=x^a  的函数，其中x  是自变量，是a  常数．

 观察下列两组函数，说出它们的共同点与不同点：

(1)

(2)y=2^x ,   y=3^x  ,y=0.3^x 

[问题]　说出它们的共同点与不同点

1.幂函数定义:

一般地，形如y=xa的函数称为幂函数，其中其中x 是自变量为a  常数．

2.幂函数与指数函数比较

 引导学生辨析幂函数与指数函数的区别和联系（学生易弄混淆）．

说明：

（1）y=xa 中，x前面的系数是1，并且项数只有一项；

（2）底数只能是自变量x，指数是常数;

（3）要确定一个幂函数，只需要知道常数α的值即可

思考：一次函数与二次函数一定是幂函数吗？

.【练习】

1.判断下列函数是不是幂函数：

  ①   ②y=0.3^x ；        ③y=x⁴+x² ；

  ④  y=³√x⁵          ⑤y=(x−1)² ；       ⑥y=1 ，

（考察目的：对定义的应用，帮助学生辨析理解定义）

在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数五种常见幂函数y=x, y=x² , y=x³ 
 ,y=x⁻¹ 的图象

（学生画完以后，由老师课件展示动图，形象生动加深学生印象，并提高学生注意力）

观察上图，让学生填表，给出五类幂函数的性质

1.性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1^x=1  ）；

（2）a ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞）上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.

  （3）a＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

  在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.

（4）图像都经过第一象限，都不经过第四象限，

     偶函数经过第二象限,奇函数经过第三象限

2.幂函数的奇偶性

当α为奇数时，幂函数是奇函数；

当α为偶数时，幂函数是偶函数.

3.幂函数y=xa在第一象限的图象特征

​

(1)α>1,  为抛物线型(下凸).

(2)α=1,  为上升的射线(去掉端点).

(3)0<α<1,为抛物线型(上凸).

(4)α=0, 为水平的射线(去掉端点).

(5)α<0,  为双曲线型.

4.幂函数的单调性

(1)如果α＞0，幂函数y=xa在(0，+∞)上是增函数.

(2)如果α＜0，幂函数y=xa在(0，+∞)上是减函数.

1．下列结论正确的是(　　)

A．幂函数图象一定过原点

B．当α<0时，幂函数y=xa是减函数

C．当α>1时，幂函数y=xa是增函数

D．函数 y=x2既是二次函数，也是幂函数

解析：　函数y＝x－1的图象不过原点．故A不正确；y＝x－1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数 y=x2在(－∞，0)上是减函数．在(0，＋∞)上是增函数．故C不正确．

答案：　D

3.已知幂函数ƒ (x)=(m²+2m−2)x^m2−m−1 当m为何值时，f(x)在(0，＋∞)上为减函数？

考察目的：1题考察对定义和性质的理解，2题考察单调性的应用。3题考察幂函数定义和性质的综合运用。

1.小结:

(1)幂函数的定义，与指数函数区别。

（2）幂函数的第一象限的图像

（3）幂函数的性质。

2.作业：完成练习册3.3幂函数，课内巩固9题，课后提高1-6题

这一堂课的教学实践，我有以下几个教学体会。 
⒈达到基本的教学要求：通过五种特殊幂函数的性质和图像的研究，认识幂函数的共同性质和上述每种函数的特殊性质，从而巩固对函数一般性质的认识。 通过观察图像的五种幂函数的性质，体会数形结合的数学思想。 
2.不足之处：在引导学生发现总结性质的给予学生思考的时间稍短了些，反应较慢的学生思考不够。

对于基础较弱的班级内容还可以精减一些。

这些不足还有待于我在以后的教学中摸索并改进。 

2.3.1　幂函数

2.3.1　幂函数

1、请完成以下问题： 

(1)如果圣诞节卡片每张1元，那么买x张卡片需y元，则y关于x的函数是？

(2)如果正方形的边长为x，面积为y，则y关于x的函数是？     

(3)如果正方形边长为x，体积为y，则y关于x的函数是？

(4)如果正方形的面积为x，边长为y，则y关于x的函数是？

(5)如果某人x秒内骑车行了1 km，他骑车的平均速度为y，则y关于x的函数是？

思考：这5个问题中的函数具有什么共同特征？

（1）y=x ，（2）y=x² ，（3）y=x³   （4） ,（5）y=x⁻¹

上述问题中涉及到的函数，都是形如y=x^a  的函数，其中x  是自变量，是a  常数．

 观察下列两组函数，说出它们的共同点与不同点：

(1)

(2)y=2^x ,   y=3^x  ,y=0.3^x 

[问题]　说出它们的共同点与不同点

1.幂函数定义:

一般地，形如y=xa的函数称为幂函数，其中其中x 是自变量为a  常数．

2.幂函数与指数函数比较

 引导学生辨析幂函数与指数函数的区别和联系（学生易弄混淆）．

说明：

（1）y=xa 中，x前面的系数是1，并且项数只有一项；

（2）底数只能是自变量x，指数是常数;

（3）要确定一个幂函数，只需要知道常数α的值即可

思考：一次函数与二次函数一定是幂函数吗？

.【练习】

1.判断下列函数是不是幂函数：

  ①   ②y=0.3^x ；        ③y=x⁴+x² ；

  ④  y=³√x⁵          ⑤y=(x−1)² ；       ⑥y=1 ，

（考察目的：对定义的应用，帮助学生辨析理解定义）

在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数五种常见幂函数y=x, y=x² , y=x³ 
 ,y=x⁻¹ 的图象

（学生画完以后，由老师课件展示动图，形象生动加深学生印象，并提高学生注意力）

观察上图，让学生填表，给出五类幂函数的性质

1.性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1^x=1  ）；

（2）a ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞）上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.

  （3）a＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

  在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.

（4）图像都经过第一象限，都不经过第四象限，

     偶函数经过第二象限,奇函数经过第三象限

2.幂函数的奇偶性

当α为奇数时，幂函数是奇函数；

当α为偶数时，幂函数是偶函数.

3.幂函数y=xa在第一象限的图象特征

​

(1)α>1,  为抛物线型(下凸).

(2)α=1,  为上升的射线(去掉端点).

(3)0<α<1,为抛物线型(上凸).

(4)α=0, 为水平的射线(去掉端点).

(5)α<0,  为双曲线型.

4.幂函数的单调性

(1)如果α＞0，幂函数y=xa在(0，+∞)上是增函数.

(2)如果α＜0，幂函数y=xa在(0，+∞)上是减函数.

1．下列结论正确的是(　　)

A．幂函数图象一定过原点

B．当α<0时，幂函数y=xa是减函数

C．当α>1时，幂函数y=xa是增函数

D．函数 y=x2既是二次函数，也是幂函数

解析：　函数y＝x－1的图象不过原点．故A不正确；y＝x－1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数 y=x2在(－∞，0)上是减函数．在(0，＋∞)上是增函数．故C不正确．

答案：　D

3.已知幂函数ƒ (x)=(m²+2m−2)x^m2−m−1 当m为何值时，f(x)在(0，＋∞)上为减函数？

考察目的：1题考察对定义和性质的理解，2题考察单调性的应用。3题考察幂函数定义和性质的综合运用。

1.小结:

(1)幂函数的定义，与指数函数区别。

（2）幂函数的第一象限的图像

（3）幂函数的性质。

2.作业：完成练习册3.3幂函数，课内巩固9题，课后提高1-6题

这一堂课的教学实践，我有以下几个教学体会。 
⒈达到基本的教学要求：通过五种特殊幂函数的性质和图像的研究，认识幂函数的共同性质和上述每种函数的特殊性质，从而巩固对函数一般性质的认识。 通过观察图像的五种幂函数的性质，体会数形结合的数学思想。 
2.不足之处：在引导学生发现总结性质的给予学生思考的时间稍短了些，反应较慢的学生思考不够。

对于基础较弱的班级内容还可以精减一些。

这些不足还有待于我在以后的教学中摸索并改进。 

• 优点:

  能根据教材内容以及学生的认知特点确定教学目标

• 缺点:

  无