2.2.2 对数函数及其性质教学设计(第一课时)

2.2.2　对数函数及其性质 高中数学       人教A版2003课标版

知识与技能：

理解对数函数的概念，并通过对数函数的图象分析得出函数的性质，会求解对数函数的定义域以及比较对数值的大小；

过程与方法：

通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质；

情感、态度与价值观：

在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养学生数形结合的思想以及分析推理能力。

刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。在教学中，要充分利用图象，数形结合，帮组学生理解。

重点：理解对数函数的定义，初步掌握对数函数的图像和性质。

难点：底数对对数函数值变化的影响。

问题与情境

师生活动

设计意图

活动一：引入课题

1．让学生看材料：

材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可以活动。人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份？第二：是什么环境使尸体未腐？其中第一个问题与数学有关。

[11Fc4449315501D641]

     图1

（如图1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复活”了）

那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？

上节课已经知道考古学家是通过提取尸体的残留14的残留量p，利用

估算尸体出土的年代。

问题1：t是不是P的函数？

材料2（幻灯）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 ……，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即 ；

问题2：上述两个函数具有什么特征？你能归纳出这类函数的一般式吗？

生：回答问题1。

师：引导学生从函数的实际出发，解释两个变量之间的关系。

生：回答问题2。

师:引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，把解析式概括到 的形式。

从两个材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点。

创设问题情境，让学生从生活中发现问题，激发学生的学习兴趣。

活动二：对数函数的概念

1.归纳给出对数函数的概念

2.为什么 且 和  吗？

师：(板书)一般地，我们把函数 且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

生：学生小组讨论，然后展示。

师：引导学生回顾指数和对数的关系，用对数的定义分析、回答。

注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ，  都不是对数函数．2 对数函数对底数的限制： ，且 ．

抽象出对数函数的一般形式，让学生感受从特殊到一般的数学思维方法，发展学生抽象思维能力。

活动三：尝试画图，形成感知

怎样研究对数函数的性质？

用描点法画出 与 的图象。 

3.从画出的图象中，你能发现解析式的区别在哪里？图象有什么不同和联系？

预案：

师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？

生1：对数函数的图象和性质。

师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？

生2：先画图象，再根据图象得出性质。

师：观察图象主要看哪几个特征？

生3：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图

     师：在明确了探究方向后，下面，下面我们共同来探究对数函数的图象。

生：独立画图，同学间交流。

师：课堂巡视，个别辅导，展示画得较好的个别同学图象。

图2

生：个别同学尝试回答。

师：引导学生发现、观察、对比底数不同对函数图象的影响，并总结三点画对数函数的草图的方法。

会用描点法画出这两个函数的图象。

为对数函数的图象和性质作铺垫。

活动四：

1.你知道下列函数：

（1） ， ，

（2） ， ， 　图象吗？观察并回答有什么共同点和不同点？

2.对数函数 与 、 与 的图象有怎样的对称关系？你能总结出一般规律吗？

预案：

师：用《几何画板》展示各个函数的图象。

[log]

生：独立思考，小组讨论。

       图3

学生观察图象讨论、交流合作，归纳出对数函数的共同性质。教师注意引导学生从函数性质去分析。

生1：图象都在 轴右侧，向 轴正负方向无限延伸。        

生2：图象都过 点。

生3：当 时，图象沿 轴正向逐步上升；当 时，图象沿 轴正向逐步下降。

生4：图象关于原点和y轴不对称。

说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感性认识就比较全面。

生：对数函数 与 、 与 的图象关于 轴对称。一般的有，底数互为倒数的对数函数图象关于 轴对称。

借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受。

通过学生讨论，培养学生交流合作能力。

获得对数函数的图象和性质。

明确底数 是确定对数函数的要素，渗透分类讨论思想。

学生自主探究，并完成对数函数 且 的图象和性质的表格。

图

象

图4

定义域

值域

R

过定点（1，0）

单调性

在 上为增函数

当

当

当在 上为减函数

当

当

通过对数函数图象的观察，分析总结出对数函数的性质，有利于加深学生对性质的理解和掌握，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生形成过程，逐步培养学生的抽象概括能力。

活动五：典型例题

例1.求下列函数的定义域：。

（1）

（2）

师：（分析）函数的定义域必须使函数的解析式有意义，根据 中 中，所以（1）中 ，即 0；（2） 。

师：（板书)解：(1)

，即函数 的定义域为 。(2)

，即函数

的定义域为 。

生：认真听讲，积极思考，叙述解例1的步骤。

明确真数大于0的条件，掌握解题步骤。

练习：  2.求下列函数的定义域：

(1)  (2)

(3) (4)

师：请4个同学上台板演。

生：独立完成。

师：课堂巡视，个别辅导，对学生完成情况进行点评。

函数图象性质，得到进一下的巩固和提高。

活动六：

例2.比较下列各组数中两个值的大小。

(1) ， ；

(2) ， ；

(3) ， 且 .

思考：1.构造怎样的对数函数模型？2.运用怎样的函数性质？

师：(分析)请同学们观察(1)题，这两个对数值底数相同，因此可认为是 中， 取3.4和8.5时的函数值，由函数  的单调性可比较着两个对数值的大小。(2)可认为是 中， 取1.8和2.7的函数值。由 单调性可以比较，(3)中底数相同，但是是个变量，对数函数的单调性与底数有关，需要分 和 讨论。

(板书)解：

(1)∵ 在(0，+∞)上是

增函数，且3.4<8.5，

∴ ；

(2) ∵ 在(0，+∞)

上是减函数，且1.8<2.7；

∴

(3) 当 时，

∵ 在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9；

∴ ；

当 时，

∵ 在(0，+∞)上是减函数，且5.1<5.9；

∴ .

利用对数函数的单调性，进行两个函数对数值的大小比较，函数的性质得到初步应用。

对数函数的单调性与底数有关，培养学生分类讨论的思想。

练习： 3.比较下列各题中的两个值的大小。

(1)    　     

(2)   　 

(3)   　     

(4)  

师：请4个同学上台板演，其余同学独立完成。教师在巡视中，个别辅导。结合学生完成情况，有针对性的点评。

使学生进一步应用对数函数的性质。

活动八：

(补充思考题)看谁能解答下题。

设 ，则实数 取值范围是（　）

A、 　　　　B、

C、 　D、

师：鼓励学生大胆尝试。

教师注意引导学生用分类讨论思想，应用函数性质去解答。

本题是让部分学有余力的同学积极去完成。

培养学生探索精神。渗透分类讨论思想。

小结：

1、你能归纳出这节课的学习内容吗？

2、对数函数及其性质和指数函数及其性质有什么区别和联系？

3、你能谈谈这节课的收获和体会吗？

小组讨论，合作交流，由学生代表总结表达，教师补充。

学生在教学反思中，整理知识，进一步巩固和提高对数函数及其性质。

作业布置：

必做题：教材 习题2．2（A组） 第7、8、9、12题．
选做题：教材 习题2．2（B组） 第2题．

函数内容是学生学习上的一个难点，本节课的教学设计能通过实例，渗透数学方法和思想，与指数函数的类比学习，注重学生探究学习的过程。能够根据教学内容、学生的认知规律和教学设计的情意原则、过程原则进行设计，突出教师的指导和学生自主探究、合作交流的学习理念，使学生对概念的产生、图象的形成过程有了较深入的理解。通过对对数函数的图象和性质的研究，对底数 的分类讨论，以达到突破难点的目的。通过例题的分析和讲解、学生的练习，使函数的图象和性质得到初步应用。活动八补充的思考题是让层度较好的同学去完成，如果课堂时间不允许，可将此部分内容留给学生课后去完成。

2.2.2　对数函数及其性质

2.2.2　对数函数及其性质

问题与情境

师生活动

设计意图

活动一：引入课题

1．让学生看材料：

材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可以活动。人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份？第二：是什么环境使尸体未腐？其中第一个问题与数学有关。

[11Fc4449315501D641]

     图1

（如图1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复活”了）

那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？

上节课已经知道考古学家是通过提取尸体的残留14的残留量p，利用

估算尸体出土的年代。

问题1：t是不是P的函数？

材料2（幻灯）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 ……，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即 ；

问题2：上述两个函数具有什么特征？你能归纳出这类函数的一般式吗？

生：回答问题1。

师：引导学生从函数的实际出发，解释两个变量之间的关系。

生：回答问题2。

师:引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，把解析式概括到 的形式。

从两个材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点。

创设问题情境，让学生从生活中发现问题，激发学生的学习兴趣。

活动二：对数函数的概念

1.归纳给出对数函数的概念

2.为什么 且 和  吗？

师：(板书)一般地，我们把函数 且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

生：学生小组讨论，然后展示。

师：引导学生回顾指数和对数的关系，用对数的定义分析、回答。

注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ，  都不是对数函数．2 对数函数对底数的限制： ，且 ．

抽象出对数函数的一般形式，让学生感受从特殊到一般的数学思维方法，发展学生抽象思维能力。

活动三：尝试画图，形成感知

怎样研究对数函数的性质？

用描点法画出 与 的图象。 

3.从画出的图象中，你能发现解析式的区别在哪里？图象有什么不同和联系？

预案：

师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？

生1：对数函数的图象和性质。

师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？

生2：先画图象，再根据图象得出性质。

师：观察图象主要看哪几个特征？

生3：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图

     师：在明确了探究方向后，下面，下面我们共同来探究对数函数的图象。

生：独立画图，同学间交流。

师：课堂巡视，个别辅导，展示画得较好的个别同学图象。

图2

生：个别同学尝试回答。

师：引导学生发现、观察、对比底数不同对函数图象的影响，并总结三点画对数函数的草图的方法。

会用描点法画出这两个函数的图象。

为对数函数的图象和性质作铺垫。

活动四：

1.你知道下列函数：

（1） ， ，

（2） ， ， 　图象吗？观察并回答有什么共同点和不同点？

2.对数函数 与 、 与 的图象有怎样的对称关系？你能总结出一般规律吗？

预案：

师：用《几何画板》展示各个函数的图象。

[log]

生：独立思考，小组讨论。

       图3

学生观察图象讨论、交流合作，归纳出对数函数的共同性质。教师注意引导学生从函数性质去分析。

生1：图象都在 轴右侧，向 轴正负方向无限延伸。        

生2：图象都过 点。

生3：当 时，图象沿 轴正向逐步上升；当 时，图象沿 轴正向逐步下降。

生4：图象关于原点和y轴不对称。

说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感性认识就比较全面。

生：对数函数 与 、 与 的图象关于 轴对称。一般的有，底数互为倒数的对数函数图象关于 轴对称。

借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受。

通过学生讨论，培养学生交流合作能力。

获得对数函数的图象和性质。

明确底数 是确定对数函数的要素，渗透分类讨论思想。

学生自主探究，并完成对数函数 且 的图象和性质的表格。

图

象

图4

定义域

值域

R

过定点（1，0）

单调性

在 上为增函数

当

当

当在 上为减函数

当

当

通过对数函数图象的观察，分析总结出对数函数的性质，有利于加深学生对性质的理解和掌握，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生形成过程，逐步培养学生的抽象概括能力。

活动五：典型例题

例1.求下列函数的定义域：。

（1）

（2）

师：（分析）函数的定义域必须使函数的解析式有意义，根据 中 中，所以（1）中 ，即 0；（2） 。

师：（板书)解：(1)

，即函数 的定义域为 。(2)

，即函数

的定义域为 。

生：认真听讲，积极思考，叙述解例1的步骤。

明确真数大于0的条件，掌握解题步骤。

练习：  2.求下列函数的定义域：

(1)  (2)

(3) (4)

师：请4个同学上台板演。

生：独立完成。

师：课堂巡视，个别辅导，对学生完成情况进行点评。

函数图象性质，得到进一下的巩固和提高。

活动六：

例2.比较下列各组数中两个值的大小。

(1) ， ；

(2) ， ；

(3) ， 且 .

思考：1.构造怎样的对数函数模型？2.运用怎样的函数性质？

师：(分析)请同学们观察(1)题，这两个对数值底数相同，因此可认为是 中， 取3.4和8.5时的函数值，由函数  的单调性可比较着两个对数值的大小。(2)可认为是 中， 取1.8和2.7的函数值。由 单调性可以比较，(3)中底数相同，但是是个变量，对数函数的单调性与底数有关，需要分 和 讨论。

(板书)解：

(1)∵ 在(0，+∞)上是

增函数，且3.4<8.5，

∴ ；

(2) ∵ 在(0，+∞)

上是减函数，且1.8<2.7；

∴

(3) 当 时，

∵ 在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9；

∴ ；

当 时，

∵ 在(0，+∞)上是减函数，且5.1<5.9；

∴ .

利用对数函数的单调性，进行两个函数对数值的大小比较，函数的性质得到初步应用。

对数函数的单调性与底数有关，培养学生分类讨论的思想。

练习： 3.比较下列各题中的两个值的大小。

(1)    　     

(2)   　 

(3)   　     

(4)  

师：请4个同学上台板演，其余同学独立完成。教师在巡视中，个别辅导。结合学生完成情况，有针对性的点评。

使学生进一步应用对数函数的性质。

活动八：

(补充思考题)看谁能解答下题。

设 ，则实数 取值范围是（　）

A、 　　　　B、

C、 　D、

师：鼓励学生大胆尝试。

教师注意引导学生用分类讨论思想，应用函数性质去解答。

本题是让部分学有余力的同学积极去完成。

培养学生探索精神。渗透分类讨论思想。

小结：

1、你能归纳出这节课的学习内容吗？

2、对数函数及其性质和指数函数及其性质有什么区别和联系？

3、你能谈谈这节课的收获和体会吗？

小组讨论，合作交流，由学生代表总结表达，教师补充。

学生在教学反思中，整理知识，进一步巩固和提高对数函数及其性质。

作业布置：

必做题：教材 习题2．2（A组） 第7、8、9、12题．
选做题：教材 习题2．2（B组） 第2题．

函数内容是学生学习上的一个难点，本节课的教学设计能通过实例，渗透数学方法和思想，与指数函数的类比学习，注重学生探究学习的过程。能够根据教学内容、学生的认知规律和教学设计的情意原则、过程原则进行设计，突出教师的指导和学生自主探究、合作交流的学习理念，使学生对概念的产生、图象的形成过程有了较深入的理解。通过对对数函数的图象和性质的研究，对底数 的分类讨论，以达到突破难点的目的。通过例题的分析和讲解、学生的练习，使函数的图象和性质得到初步应用。活动八补充的思考题是让层度较好的同学去完成，如果课堂时间不允许，可将此部分内容留给学生课后去完成。