2.1.2 指数函数及其性质优质课一等奖

2.1.2 指数函数及其性质 高中数学       人教A版2003课标版

1、知识技能目标：使学生理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象和性质，初步学会运用指数函数解决问题

2、过程方法目标：引入，剖析、定义指数函数的过程，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索指数函数性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣.

 3、情感态度，价值观目标：通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法，提高学生的学习能力养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质，树立学科学，爱科学，用科学的精神.

“指数函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质,掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一,指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用,也为今后研究其他函数提供了方法和模式,为后续的学习奠定基础.指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究.

1、重点：指数函数的定义、图象、性质.

 2、难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数的性质。

复习提问：1.计算下列各式的值：（1）4-3 （2）(1/2)0 （3）16-3/4.    2.某种电脑病毒传播时，由1 个自我复制成2 个，2个复制成4个，......,一个这样的病毒复制 x 次后，得到的病毒个数y与x有怎样的函数关系？由题2，我们得出病毒个数y 与x的函数关系式是y=2x,在这个函数里，自变量x出现在指数的位置上，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。我们把这样的函数叫做指数函数。（2分钟）

1．指数函数的定义：

一般地，形如y=ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数。

对定义中规定a>0,且a≠1进行分析：

假设a=0,那么当x>0时，ax=0，当x≤0时，ax无意义；

假设a<0,那么ax对某些x值可能没有意义，如a=-1 时，（-1）x对于x=1/4,x=1/2,...无意义；

假设a=1,那么y=1x=1对任意x 都是常数。为了避免出现上述情况，所以规定a>0且a≠1。在这个规定下，指数函数的定义域是R。

例1:下列函数是否是指数函数：

（1）y=0.2x      (2)y=(-2)x     (3)y=ex

(4)y=(1/3)x      (5)y=1x

(5分钟)

2．指数函数的图像：

现在我们未画指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像，不失一般性，画四个具有典型意义的指数函数（1）y=2x  (2)y=(1/2)x  (3)y=10x  (4)y=(1/10)x的图像。

考虑到列表描点作图比较麻烦，同时手功作图  不精确，又是本节的关键，故借助现代化的教学手段­­­――电脑作图，从而使学生较直观地认识到指数函数的图象。

例 2：

在同一坐标系内画出下列四个指数函数的图像。

（1）y=2x    (2)y3x   

(3)y=(1/2)x  (4)y=(1/3)x

投影电脑已制作好的图象，引导学生从以下几个方面：（1）图像范围；（2）图像经过的特殊点；（3）图像从左向右的变化趋势展开研究。通过观察分析图像，让学生在讨论中发现指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像特征，并总结指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像特征，然后投影出的指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像特征列表。

3．指数函数的性质：

对照指数函数的图像特征，用比较法研究指数函数y=ax(a>0且a≠1)的性质。教师边提问`边分析`边整理成表（如下所示）

指数函数y=ax的性质

a>1                     0<a<1

(1)       x取任何实数值，y=ax>0

(2)     当x=0时，y=1   ( 即过点（0，1） )

(3)在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数

(4 )当x>0时,y>1           当x<0时,y>1

当x<0时，0<y<1          当x>0时，0<y<1

为了再一次加深学生对性质的理解，我用电脑显示：

当a变化时，图象变化的动画过程，在《几何画板》中显示，重现指数函数的特征与性质。

接着，当a 固定的常数，从左到右发展，图象变化的动画过程――《几何画板》的强烈跟踪功能，从而得出是增函数或减函数的性质。

例3.根据指数函数的性质，利用不等号填空：

（1）4/5)3__0    (2) 5-1__0      (3) 70__0

(4) (3/100)-3__0  (5) (2/3)2__1 (6) (7/9)-4__1   (7)10-1/2__1  (8) 63__1

例4. (1)已知a1/3>1，则a的取值范围是_____________;

(2)已知0<b3<1，则b的取值范围是_____________;

(3)已知c-3>1，则c的取值范围是_____________;

(4)已知0<d-2<1，则d的取值范围是_____________

1．  利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图像。

2．  指数函数的性质：（1）定义域（-∞,+∞），值域（0,+∞）；（2）函数的特殊值（0，1）；（3）函数的单调性：a>1,单调增；  0<a<1，单调减。

作业：课本课后作业1，2,3

2.1.2 指数函数及其性质

2.1.2 指数函数及其性质

复习提问：1.计算下列各式的值：（1）4-3 （2）(1/2)0 （3）16-3/4.    2.某种电脑病毒传播时，由1 个自我复制成2 个，2个复制成4个，......,一个这样的病毒复制 x 次后，得到的病毒个数y与x有怎样的函数关系？由题2，我们得出病毒个数y 与x的函数关系式是y=2x,在这个函数里，自变量x出现在指数的位置上，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。我们把这样的函数叫做指数函数。（2分钟）

1．指数函数的定义：

一般地，形如y=ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数。

对定义中规定a>0,且a≠1进行分析：

假设a=0,那么当x>0时，ax=0，当x≤0时，ax无意义；

假设a<0,那么ax对某些x值可能没有意义，如a=-1 时，（-1）x对于x=1/4,x=1/2,...无意义；

假设a=1,那么y=1x=1对任意x 都是常数。为了避免出现上述情况，所以规定a>0且a≠1。在这个规定下，指数函数的定义域是R。

例1:下列函数是否是指数函数：

（1）y=0.2x      (2)y=(-2)x     (3)y=ex

(4)y=(1/3)x      (5)y=1x

(5分钟)

2．指数函数的图像：

现在我们未画指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像，不失一般性，画四个具有典型意义的指数函数（1）y=2x  (2)y=(1/2)x  (3)y=10x  (4)y=(1/10)x的图像。

考虑到列表描点作图比较麻烦，同时手功作图  不精确，又是本节的关键，故借助现代化的教学手段­­­――电脑作图，从而使学生较直观地认识到指数函数的图象。

例 2：

在同一坐标系内画出下列四个指数函数的图像。

（1）y=2x    (2)y3x   

(3)y=(1/2)x  (4)y=(1/3)x

投影电脑已制作好的图象，引导学生从以下几个方面：（1）图像范围；（2）图像经过的特殊点；（3）图像从左向右的变化趋势展开研究。通过观察分析图像，让学生在讨论中发现指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像特征，并总结指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像特征，然后投影出的指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像特征列表。

3．指数函数的性质：

对照指数函数的图像特征，用比较法研究指数函数y=ax(a>0且a≠1)的性质。教师边提问`边分析`边整理成表（如下所示）

指数函数y=ax的性质

a>1                     0<a<1

(1)       x取任何实数值，y=ax>0

(2)     当x=0时，y=1   ( 即过点（0，1） )

(3)在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数

(4 )当x>0时,y>1           当x<0时,y>1

当x<0时，0<y<1          当x>0时，0<y<1

为了再一次加深学生对性质的理解，我用电脑显示：

当a变化时，图象变化的动画过程，在《几何画板》中显示，重现指数函数的特征与性质。

接着，当a 固定的常数，从左到右发展，图象变化的动画过程――《几何画板》的强烈跟踪功能，从而得出是增函数或减函数的性质。

例3.根据指数函数的性质，利用不等号填空：

（1）4/5)3__0    (2) 5-1__0      (3) 70__0

(4) (3/100)-3__0  (5) (2/3)2__1 (6) (7/9)-4__1   (7)10-1/2__1  (8) 63__1

例4. (1)已知a1/3>1，则a的取值范围是_____________;

(2)已知0<b3<1，则b的取值范围是_____________;

(3)已知c-3>1，则c的取值范围是_____________;

(4)已知0<d-2<1，则d的取值范围是_____________

1．  利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图像。

2．  指数函数的性质：（1）定义域（-∞,+∞），值域（0,+∞）；（2）函数的特殊值（0，1）；（3）函数的单调性：a>1,单调增；  0<a<1，单调减。

作业：课本课后作业1，2,3