2.3.1 幂函数教学设计(第二课时)

2.3.1　幂函数 高中数学       人教A版2003课标版

（1）通过实例，了解幂函数的概念；

（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；

（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。

教学重点  常见的幂函数的图象和性质。

教学难点  画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。

（一）创设情境（多媒体投影）

问题一：下列问题中的函数各有什么特征？

（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数． （2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数． （3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数． （4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝ ．这里a是S的函数． （5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数． 由学生讨论、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝ ，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．

问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？

这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝xa的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今天这节课，我们就来研究：§2.3幂函数

（二）、建立模型

定义：一般地，函数y＝xa叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。（投影幂函问题二：数的定义。）

深化认知   （1）下列函数是幂函数的是：

A．y=2x+1    B．y=3x2    C．y=x-3    D．y=1

        　（2）幂函数与指数函数有什么联系和区别？

学生回答，老师点评。

引导：有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？―――研究幂函数的性质。

      通过什么方式来研究？――――――画函数的图象。

      为使作图高效，我们可先做点什么―――分析函数的定义域、奇偶性。

（三）问题探究 1. 对于幂函数y＝xa，讨论当a＝1，2，3， ，－1时的函数性质．          填表

以上问题给学生留出充分时间去探究，教师引导学生从函数解析式出发来研究函数性质． 2. 在同一坐标系中，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x-1的图像，并归纳出它们具有的共同性质．

学生回答，老师点评：幂函数的性质．

（1）函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x-1的图像都过点（1，1）； （2）函数y＝x，，y＝x3，y＝x-1是奇函数，函数y＝x2是偶函数; （3在（0，＋∞）上, 函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 是增函数，函数y＝x-1是减函数； （４）在第一象限内，函数y＝x-1图像向上与y轴无限接近；向右与x轴无限接近。

（四）解释应用

例1．写出下列函数的定义域，并指出奇偶性：（投影）

①y=x 　　②y=x 　　③y=x 　　④y=x

学生解答，并归纳解决办法。引导学生与指数函数、对数函数对照比较。（演示）

例２．比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：

①0.75 ，0.76 ；②(-0.95) ，(-0.96) ；

③0.23 ，0.24 ；④0.31 ，0.31

学生思考、作答，教师引导学生叙述语言的逻辑性。 注意：由于学生对幂函数还不是很熟悉，所以在讲评中要刻意体现出幂函数图像的画法，即再一次让学生体会根据解析式来画图像例题这一基本思路．

（五）拓展延伸

探究：①已知(a+1) <(3-2a) ,试求a的取值范围。

②观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？

（六）归纳小结

今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？

（七）布置作业：

课本 第８７页  2、3题

思考：幂函数y=(m -3m-3)x 在区间 上是减函数，求m的值。

2.3.1　幂函数

2.3.1　幂函数

（一）创设情境（多媒体投影）

问题一：下列问题中的函数各有什么特征？

（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数． （2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数． （3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数． （4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝ ．这里a是S的函数． （5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数． 由学生讨论、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝ ，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．

问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？

这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝xa的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今天这节课，我们就来研究：§2.3幂函数

（二）、建立模型

定义：一般地，函数y＝xa叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。（投影幂函问题二：数的定义。）

深化认知   （1）下列函数是幂函数的是：

A．y=2x+1    B．y=3x2    C．y=x-3    D．y=1

        　（2）幂函数与指数函数有什么联系和区别？

学生回答，老师点评。

引导：有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？―――研究幂函数的性质。

      通过什么方式来研究？――――――画函数的图象。

      为使作图高效，我们可先做点什么―――分析函数的定义域、奇偶性。

（三）问题探究 1. 对于幂函数y＝xa，讨论当a＝1，2，3， ，－1时的函数性质．          填表

以上问题给学生留出充分时间去探究，教师引导学生从函数解析式出发来研究函数性质． 2. 在同一坐标系中，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x-1的图像，并归纳出它们具有的共同性质．

学生回答，老师点评：幂函数的性质．

（1）函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x-1的图像都过点（1，1）； （2）函数y＝x，，y＝x3，y＝x-1是奇函数，函数y＝x2是偶函数; （3在（0，＋∞）上, 函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 是增函数，函数y＝x-1是减函数； （４）在第一象限内，函数y＝x-1图像向上与y轴无限接近；向右与x轴无限接近。

（四）解释应用

例1．写出下列函数的定义域，并指出奇偶性：（投影）

①y=x 　　②y=x 　　③y=x 　　④y=x

学生解答，并归纳解决办法。引导学生与指数函数、对数函数对照比较。（演示）

例２．比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：

①0.75 ，0.76 ；②(-0.95) ，(-0.96) ；

③0.23 ，0.24 ；④0.31 ，0.31

学生思考、作答，教师引导学生叙述语言的逻辑性。 注意：由于学生对幂函数还不是很熟悉，所以在讲评中要刻意体现出幂函数图像的画法，即再一次让学生体会根据解析式来画图像例题这一基本思路．

（五）拓展延伸

探究：①已知(a+1) <(3-2a) ,试求a的取值范围。

②观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？

（六）归纳小结

今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？

（七）布置作业：

课本 第８７页  2、3题

思考：幂函数y=(m -3m-3)x 在区间 上是减函数，求m的值。