2.2.2 对数函数及其性质教学设计实例

2.2.2　对数函数及其性质 高中数学       人教A版2003课标版

⑴使学生了解对数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；

⑵理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性和特殊点；

⑶在学习的过程中进一步体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般、数形结合的方法等.

刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。

重点

对数函数的概念和性质.

难点

用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括对数函数的性质.

1．让学生看材料：

如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 ……，

如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即 ；

图 1

2.引导学生观察这个函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如： ， 都不是对数函数．②对数函数对底数的限制： ，且 ．

（二）尝试画图、形成感知

1．确定探究问题

教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？

学生1：对数函数的图象和性质。

教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？

学生2：先画图象，再根据图象得出性质。

教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类？

学生3：按 和 分类讨论

教师：观察图象主要看哪几个特征？

学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图

教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象：

步骤一：（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

步骤二：观察对数函数 、 与 、 的图象特征，看看它们有那些异同点。

步骤三：利用计算器或计算机，选取底数 ，且 的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有哪些共同特征？

步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象。

步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较。

2．学生探究成果

（1）如图 4—2、4—3较为熟练地用描点法画出下列对数函数 ， ， ， 的图象

图2

图3

（2）如图4—5学生选取底数 =1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，并推荐几位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象。由于学生自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了底数 是如何影响函数 ，且 图象的变化。

图4

（3）有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y = loga x （a>1）、y = loga x (0<a<1) 的图象代表对数函数的两种情形。（图4—6）

（4）学生相互补充，自主发现了图象的下列特征：①图象都在y轴右侧，向y轴正负方向无限延伸；②都过（1、0）点；③当a>1时，图象沿x轴正向逐步上升；当0<a<1时，图象沿x轴正向逐步下降；④图象关于原点和y轴不对称，并且能从图象的形状、位置、升降、定点等角度指出指数函数与对数函数的图象区别；如图4—7

3．拓展探究：

（1）对数函数 与 、 与 的图象有怎样的对称关系？

（2）对数函数y = loga x （a>1），当a值增大，图象的上升“程度”怎样？

说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感性认识就比较全面。

[设计意图：本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性。这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受。]

四）探究问题、变式训练

问题一：（幻灯）（教材p79 例8） 比较下列各组数中两个值的大小：

（1) log 23.4 , log 28.5 （2）log 0.31.8 , log 0.32.7

（3）log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , 且a≠1 )

独立思考：1。构造怎样的对数函数模型？2。运用怎样的函数性质？小组交流：

（1） 是增函数（2） 是减函数

（3）y = loga x，分 和 分类讨论

变式训练：1. 比较下列各题中两个值的大小:

⑴ log106 log108 　　 ⑵ log0.56 log0.54

⑶ log0.10.5 log0.10.6 ⑷ log1.50.6 log1.50.4

2．已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：

(1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n

(3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1)

六）作业布置、课后自评

1. 必做题：教材P82习题2．2（A组） 第7、8、9、12题．

2. 选做题：教材P83习题2．2（B组） 第2题．

2.2.2　对数函数及其性质

2.2.2　对数函数及其性质

1．让学生看材料：

如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 ……，

如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即 ；

图 1

2.引导学生观察这个函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如： ， 都不是对数函数．②对数函数对底数的限制： ，且 ．

（二）尝试画图、形成感知

1．确定探究问题

教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？

学生1：对数函数的图象和性质。

教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？

学生2：先画图象，再根据图象得出性质。

教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类？

学生3：按 和 分类讨论

教师：观察图象主要看哪几个特征？

学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图

教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象：

步骤一：（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

步骤二：观察对数函数 、 与 、 的图象特征，看看它们有那些异同点。

步骤三：利用计算器或计算机，选取底数 ，且 的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有哪些共同特征？

步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象。

步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较。

2．学生探究成果

（1）如图 4—2、4—3较为熟练地用描点法画出下列对数函数 ， ， ， 的图象

图2

图3

（2）如图4—5学生选取底数 =1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，并推荐几位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象。由于学生自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了底数 是如何影响函数 ，且 图象的变化。

图4

（3）有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y = loga x （a>1）、y = loga x (0<a<1) 的图象代表对数函数的两种情形。（图4—6）

（4）学生相互补充，自主发现了图象的下列特征：①图象都在y轴右侧，向y轴正负方向无限延伸；②都过（1、0）点；③当a>1时，图象沿x轴正向逐步上升；当0<a<1时，图象沿x轴正向逐步下降；④图象关于原点和y轴不对称，并且能从图象的形状、位置、升降、定点等角度指出指数函数与对数函数的图象区别；如图4—7

3．拓展探究：

（1）对数函数 与 、 与 的图象有怎样的对称关系？

（2）对数函数y = loga x （a>1），当a值增大，图象的上升“程度”怎样？

说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感性认识就比较全面。

[设计意图：本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性。这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受。]

四）探究问题、变式训练

问题一：（幻灯）（教材p79 例8） 比较下列各组数中两个值的大小：

（1) log 23.4 , log 28.5 （2）log 0.31.8 , log 0.32.7

（3）log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , 且a≠1 )

独立思考：1。构造怎样的对数函数模型？2。运用怎样的函数性质？小组交流：

（1） 是增函数（2） 是减函数

（3）y = loga x，分 和 分类讨论

变式训练：1. 比较下列各题中两个值的大小:

⑴ log106 log108 　　 ⑵ log0.56 log0.54

⑶ log0.10.5 log0.10.6 ⑷ log1.50.6 log1.50.4

2．已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：

(1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n

(3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1)

六）作业布置、课后自评

1. 必做题：教材P82习题2．2（A组） 第7、8、9、12题．

2. 选做题：教材P83习题2．2（B组） 第2题．