1.3.1 单调性与最大（小）值教案设计（一等奖）

4、教学流程示意

5.教学过程

环节

教师活动

学生活动

设计意图

创

设情境

引入新课

6

分钟

问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x²+1的图象，并且观察函数变化规律？

描述完前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。 

二次函数的增减性要分段说明

提出问题：

二次函数是增函数还是减函数？

问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？

观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述

学生会指出：

y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大

y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小

y=x²+1在（-∞，0]上y随x增大而减小，在（0，+∞）上y随x增大而增大

学生可能回答：既是增函数又是减函数或有时增函数有时减函数

讨论得出：单调性是函数的局部性质

结合单调性是局部性质，用直观描述回答：在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数

数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。

通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。

环节

教师活动

学生活动

设计意图

初步探索

概念形成

8

分钟

问题三：（以y=x²+1在 (0，+∞)上单调性为例）如何用精确的数学语言来描述函数的单调性？

分三步：

提问学生什么是“随着”

如何刻画“增大”？

对“任取”的理解

进而得到增（减）函数的定义

进一步提问:如何判断

f(x₁)<f(x₂)

得到求差法后提出记△x= x₂-x₁

△y= f(x₂)-f(x₁)= y₂-y₁

学生交流、提出见解，提出质疑，相互补充

回归函数定义解释

要表示大小关系，学生会想到取点，比大小

讨论应该如何取值。学生可能会提到多取一些，也可能会想到将取值区间任意小，进一步讨论得出“任取”二字。

通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。另外，在此强调“任意性”的理解，从而达到突破难点，突出重点的目的。

在此还提出求差法比较大小，为后面的证明和判断扫清障碍

概念深化

延伸拓展

12分钟

问题四：能否说f(x)=在它的定义域上是减函数？

从这个例子能得到什么结论？

给出例子进行说明： 

进一步提问：

函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数

再一次回归定义，强调任意性

思考、讨论，提出自己观点

学生提出反例，如x₁=-1，x₂=1

进一步得出结论：

函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，函数在A∪B上不一定是增（减）函数

将函数图象进行变形（如x<0时图象向下平移）

通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解，因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。

环节

教师活动

学生活动

设计意图

拓展探究：已知函数

是

（-∞，+∞）上的增函数，求a的取值范围

利用单调性定义解决问题

在问题四的背景下解决本题，体会在运动中满足任意性。

证法探究

应用定义

13

分钟

例1：证明函数

在（0，+）上是增函数

证明：任取且 

∴函数在（0，+）上是增函数

例2：判断函数在（0，+∞）上的单调性

进一步提问：如果把（0，+∞）条件去掉，如何解这道题？

（作业）

根据单调性定义进行证明

讨论，规范步骤

设元

作差

变形

断号

定论

根据定义进行判断

体会判断可转化成证明

课后思考

本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。

课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。

小结评价作业创新

6分

从知识、方法两个方面引导学生进行总结.

作业（1、2、4必做，3选做）

1、  证明：函数在区间

[0，+∞)上是增函数。

2、课上思考题

3、求函数的单调区间

4、思考P46 探索与研究

回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法

完成课堂反馈

使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义

作业实现分层，满足学生需求

6.学习效果评价设计

学习效果预测：

    在本节课学习中，学生能理解单调性的定义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性

学习效果评价方式：

1、  课堂反馈：证明：函数在（0，+∞）上是减函数

2、  教师评价：课堂发言反映的思维深度；课堂发现问题的角度、能力；课堂练习的正确性；课堂学习的积极性

3、  学生自评：本节课学习兴趣；独立思考的习惯；合作交流的意识；对知识、方法等收获的程度

7.本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)

1、在情境设置中，严格按照课标要求以二次函数y=x²+1为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将定义进行应用。

2、在教学过程中，创设一个探索的学习环境，通过设计一系列问题，使概念得到形成和深化，学生亲身经历数学概念的产生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵，深入理解概念。

3、概念深化时，在研究是否满足任意性时引入函数图象的运动，为前面学习的集合中的运动进行巩固，为后面函数的学习进行铺垫。

4、课标要求“高中数学课程应该返璞归真”，因此在例题的设计中避免了过度形式化，注重问题的多样性，注重学生对概念本质的理解。

5、作业设计既可巩固基础又提供给学生充足的思考空间

4、教学流程示意

5.教学过程

环节

教师活动

学生活动

设计意图

创

设情境

引入新课

6

分钟

问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x²+1的图象，并且观察函数变化规律？

描述完前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。 

二次函数的增减性要分段说明

提出问题：

二次函数是增函数还是减函数？

问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？

观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述

学生会指出：

y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大

y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小

y=x²+1在（-∞，0]上y随x增大而减小，在（0，+∞）上y随x增大而增大

学生可能回答：既是增函数又是减函数或有时增函数有时减函数

讨论得出：单调性是函数的局部性质

结合单调性是局部性质，用直观描述回答：在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数

数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。

通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。

环节

教师活动

学生活动

设计意图

初步探索

概念形成

8

分钟

问题三：（以y=x²+1在 (0，+∞)上单调性为例）如何用精确的数学语言来描述函数的单调性？

分三步：

提问学生什么是“随着”

如何刻画“增大”？

对“任取”的理解

进而得到增（减）函数的定义

进一步提问:如何判断

f(x₁)<f(x₂)

得到求差法后提出记△x= x₂-x₁

△y= f(x₂)-f(x₁)= y₂-y₁

学生交流、提出见解，提出质疑，相互补充

回归函数定义解释

要表示大小关系，学生会想到取点，比大小

讨论应该如何取值。学生可能会提到多取一些，也可能会想到将取值区间任意小，进一步讨论得出“任取”二字。

通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。另外，在此强调“任意性”的理解，从而达到突破难点，突出重点的目的。

在此还提出求差法比较大小，为后面的证明和判断扫清障碍

概念深化

延伸拓展

12分钟

问题四：能否说f(x)=在它的定义域上是减函数？

从这个例子能得到什么结论？

给出例子进行说明： 

进一步提问：

函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数

再一次回归定义，强调任意性

思考、讨论，提出自己观点

学生提出反例，如x₁=-1，x₂=1

进一步得出结论：

函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，函数在A∪B上不一定是增（减）函数

将函数图象进行变形（如x<0时图象向下平移）

通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解，因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。

环节

教师活动

学生活动

设计意图

拓展探究：已知函数

是

（-∞，+∞）上的增函数，求a的取值范围

利用单调性定义解决问题

在问题四的背景下解决本题，体会在运动中满足任意性。

证法探究

应用定义

13

分钟

例1：证明函数

在（0，+）上是增函数

证明：任取且 

∴函数在（0，+）上是增函数

例2：判断函数在（0，+∞）上的单调性

进一步提问：如果把（0，+∞）条件去掉，如何解这道题？

（作业）

根据单调性定义进行证明

讨论，规范步骤

设元

作差

变形

断号

定论

根据定义进行判断

体会判断可转化成证明

课后思考

本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。

课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。

小结评价作业创新

6分

从知识、方法两个方面引导学生进行总结.

作业（1、2、4必做，3选做）

1、  证明：函数在区间

[0，+∞)上是增函数。

2、课上思考题

3、求函数的单调区间

4、思考P46 探索与研究

回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法

完成课堂反馈

使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义

作业实现分层，满足学生需求

6.学习效果评价设计

学习效果预测：

    在本节课学习中，学生能理解单调性的定义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性

学习效果评价方式：

1、  课堂反馈：证明：函数在（0，+∞）上是减函数

2、  教师评价：课堂发言反映的思维深度；课堂发现问题的角度、能力；课堂练习的正确性；课堂学习的积极性

3、  学生自评：本节课学习兴趣；独立思考的习惯；合作交流的意识；对知识、方法等收获的程度

7.本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)

1、在情境设置中，严格按照课标要求以二次函数y=x²+1为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将定义进行应用。

2、在教学过程中，创设一个探索的学习环境，通过设计一系列问题，使概念得到形成和深化，学生亲身经历数学概念的产生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵，深入理解概念。

3、概念深化时，在研究是否满足任意性时引入函数图象的运动，为前面学习的集合中的运动进行巩固，为后面函数的学习进行铺垫。

4、课标要求“高中数学课程应该返璞归真”，因此在例题的设计中避免了过度形式化，注重问题的多样性，注重学生对概念本质的理解。

5、作业设计既可巩固基础又提供给学生充足的思考空间