1.3.1 单调性与最大（小）值优秀教学设计

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

1、知识与技能目标

（1）使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。

（2）启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。

（3）通过观察-猜想-推理-证明这一个重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

2、过程与方法目标

     （1）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的思想教育。

     （2）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。

3、情感态度与价值观目标：学生通过一系列丰富的数学活动，培养观察能力，归纳总结能力，加深对数形结合思想的理解。

学生早在初中学习一次函数、二次函数时，已经有了“y随x的增大而增大（或减少）”的认识，在此基础上，借助于学生熟知的函数提炼增函数、减函数的定义学生应该容易接受，但是把这种数学语言定义用到单调性证明中会有难度。

教学重点：

函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，

教学难点：

利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值

一、情景引入

1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

（1）随x的增大，y的值有什么变化？

（2）能否看出函数的最大、最小值？

（3）函数图象是否具有某种对称性？

2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：

（1）f(x) = x

    ①从左至右图象上升还是下降 ______?

    ②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．

2）f(x) = -2x+1

    ① 从左至右图象上升还是下降 ______?

    ②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．

（3）f(x) = x²

    ①在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

    ②在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

（一）函数单调性定义

1．增函数

    一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

    如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing fun_ction）．

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

注意：

① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

②必须是对于区间D内的任意两个自变量x₁，x₂；当x1<x2时，总有f(x₁)<f(x₂) ．注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。

2．函数的单调性定义

     如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

3．判断函数单调性的方法步骤

    利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

    ①任取x₁，x₂∈D，且x₁<x₂；

    ② 作差f(x₁)－f(x₂)；

    ③变形（通常是因式分解和配方）；

    ④定号（即判断差f(x₁)－f(x₂)的正负）；

    ⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

4、判定函数单调性的常见方法

（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法

（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。

（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。直接判定函数的单调性，可用到以下结论：

   （3.1）函数y=−ƒ (x)与函数y=ƒ (x)的单调性相反

   （3.2）函数 ƒ (x)恒为正或恒为负时，函数y=1ƒ (x)  与y=ƒ (x)的单调性相反。

   （3.3）在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数  等

提醒：

     书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。

（二）典型例题

例1．（教材P₂₉例1）根据函数图象说明函数的单调性．

解：见教材

例2．（教材P₂₉例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．

解：见教材

例3．借助计算机作出函数y =－x² +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．

解： 用几何画板画，用A3打印，由学生看图回答。

巩固练习：

    证明函数y=x+1x   在（1，+∞）上为增函数。

归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

（三）函数的最大（小）值

画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

①说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

②指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

（1）ƒ (x)=−2x+3                 （2）ƒ (x)=−2x+3,x∈[−1,2] ​

（3） ƒ (x)=x²+2x+1           （4） ƒ (x)=x²+2x+1,x∈[−2,2] ​ 

（3.1）函数最大（小）值定义

1．最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

    （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

    （2）存在x₀∈I，使得f(x₀) = M

    那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）

注意：

① 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x₀∈I，使得f(x₀) = M；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

    ①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

    ②利用图象求函数的最大（小）值

    ③利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

     如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

     如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

（3.2）典型例题

例1．（教材P₃₀例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．

解：（略）

巩固练习：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y，试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

本题是在教材23页练习第一题的增加（正方形）

例2．（新题讲解）

旅 馆 定 价

    一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．

设 y为旅馆一天的客房总收入， x为与房价160相比降低的房价，因此当房价为(160-x) 元时，住房率为(55+x20 ·10) % ，于是得y=150·(160−x)(55+x20 ·10) %

由于 (55+x20 ·10)% ≤1，可知0≤x ≤90．

因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．

将y 的两边同除以一个常数0.75，得 y₁=－x²＋50x ＋17600．

由于二次函数 y₁在 x=25时取得最大值，可知 y也在 x=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．

所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）

例2．（教材P31例4）求函数 y=2x−1  ​在区间[2，6]上的最大值和最小值．

解：（略）

三、课堂练习

教材32页练习1、2、3、4

四、作业布置：

习题A组1、2、3、4

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

一、情景引入

1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

（1）随x的增大，y的值有什么变化？

（2）能否看出函数的最大、最小值？

（3）函数图象是否具有某种对称性？

2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：

（1）f(x) = x

    ①从左至右图象上升还是下降 ______?

    ②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．

2）f(x) = -2x+1

    ① 从左至右图象上升还是下降 ______?

    ②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．

（3）f(x) = x²

    ①在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

    ②在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

（一）函数单调性定义

1．增函数

    一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

    如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing fun_ction）．

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

注意：

① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

②必须是对于区间D内的任意两个自变量x₁，x₂；当x1<x2时，总有f(x₁)<f(x₂) ．注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。

2．函数的单调性定义

     如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

3．判断函数单调性的方法步骤

    利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

    ①任取x₁，x₂∈D，且x₁<x₂；

    ② 作差f(x₁)－f(x₂)；

    ③变形（通常是因式分解和配方）；

    ④定号（即判断差f(x₁)－f(x₂)的正负）；

    ⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

4、判定函数单调性的常见方法

（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法

（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。

（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。直接判定函数的单调性，可用到以下结论：

   （3.1）函数y=−ƒ (x)与函数y=ƒ (x)的单调性相反

   （3.2）函数 ƒ (x)恒为正或恒为负时，函数y=1ƒ (x)  与y=ƒ (x)的单调性相反。

   （3.3）在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数  等

提醒：

     书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。

（二）典型例题

例1．（教材P₂₉例1）根据函数图象说明函数的单调性．

解：见教材

例2．（教材P₂₉例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．

解：见教材

例3．借助计算机作出函数y =－x² +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．

解： 用几何画板画，用A3打印，由学生看图回答。

巩固练习：

    证明函数y=x+1x   在（1，+∞）上为增函数。

归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

（三）函数的最大（小）值

画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

①说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

②指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

（1）ƒ (x)=−2x+3                 （2）ƒ (x)=−2x+3,x∈[−1,2] ​

（3） ƒ (x)=x²+2x+1           （4） ƒ (x)=x²+2x+1,x∈[−2,2] ​ 

（3.1）函数最大（小）值定义

1．最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

    （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

    （2）存在x₀∈I，使得f(x₀) = M

    那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）

注意：

① 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x₀∈I，使得f(x₀) = M；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

    ①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

    ②利用图象求函数的最大（小）值

    ③利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

     如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

     如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

（3.2）典型例题

例1．（教材P₃₀例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．

解：（略）

巩固练习：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y，试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

本题是在教材23页练习第一题的增加（正方形）

例2．（新题讲解）

旅 馆 定 价

    一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．

设 y为旅馆一天的客房总收入， x为与房价160相比降低的房价，因此当房价为(160-x) 元时，住房率为(55+x20 ·10) % ，于是得y=150·(160−x)(55+x20 ·10) %

由于 (55+x20 ·10)% ≤1，可知0≤x ≤90．

因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．

将y 的两边同除以一个常数0.75，得 y₁=－x²＋50x ＋17600．

由于二次函数 y₁在 x=25时取得最大值，可知 y也在 x=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．

所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）

例2．（教材P31例4）求函数 y=2x−1  ​在区间[2，6]上的最大值和最小值．

解：（略）

三、课堂练习

教材32页练习1、2、3、4

四、作业布置：

习题A组1、2、3、4

• 优点:

  重难点突出

• 缺点:

  无