1.3.1 单调性与最大（小）值优秀获奖教案

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，并能判断和证明一些简单函数在定义域的某个区间上的单调性。

过程与方法：通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力，培养学生利用定义进行推理论证的逻辑思维能力。

情感态度价值观：通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义思想的教育。

就我校实际情况来看，由于地处南疆小县,受自然条件和经济发展的制约，信息闭塞，现代教育理念缺乏，教师教学观念相对滞后。每年中考大量初三优秀毕业生外流，所剩学生大多属于中等或偏下层次，高一入学时数学成绩大多是D等，学生普遍对学数学感到吃力，很多学生数学基础薄弱，学习行为习惯不佳，一部分同学对数学学习不感兴趣，害怕学数学。针对学生数学基础差，我在设计时是从学生熟知的函数和图象入手，先是给出三个函数图象，然后回答随x增大，y值的变化情况；函数有无最大、最小值；函数是否具有某种对称性？然后再举三个初中学过的正比例函数、一次函数、二次函数，通过观察函数图象，回答在什么区间函数随x的增大，y增大或减小。以此来引入新课，整节课问题的设计适中，立足概念的理解、掌握、应用。

教学重点：函数单调性的概念判断及证明

教学难点：根据定义证明函数的单调性

1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

（1）随x的增大，y的值有什么变化？

（2）能否看出函数的最大、最小值？

（3）函数图象是否具有某种对称性？

2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：

（1）f(x) = x

   1 从左至右图象上升还是下降 ______?

   2 在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ 。

（2）f(x) = -2x+1

   1 从左至右图象上升还是下降 ______?

   2 在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ 。

（3）f(x) = x2​

   1在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ 。

   2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ 。

1．借助图象，直观感知

问题1：通过观察上述三个函数的图象说出函数图象的变化情况，并说出函数在相应区间上随着 值的增大 的值如何变化。

引导学生观察图象，获得信息：第一段图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二段图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小；第三段图象在对称轴的左边从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小，在对称轴的右边从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大。然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数。通过讨论使学生明确函数的增减性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质。

对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念的相关属性，则能更好的理解和掌握概念，因此我设计了问题2。

问题2：能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

通过学生的交流、探讨、总结，得到单调性的“通俗定义”：

​

2．抽象思维，形成概念

本环节在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程,完成对概念的第二次认识。

教学中，我引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比增函数的定义得到减函数的定义，然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念，对定义中关键词语进行强调。

3．例题讲解

例1：证明函数 在定义域R上是增函数。

先由学生对照增、减函数的定义说出证明步骤，然后学生动手证明，之后教师课件演示证明过程。

之后展示例2：判断函数 的单调递减区间，并证明。

引导学生画出函数图象的草图，然后从图象上观察，再采用定义法进行证明，并归纳出证明步骤。

4．课件展示用定义证明函数单调性的方法步骤

       利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

       1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

       2 作差f(x1)－f(x2)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

判定函数单调性的常见方法

（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法。

（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。

（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。

提醒：书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。

​

教材39页A组1、2、3

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

（1）随x的增大，y的值有什么变化？

（2）能否看出函数的最大、最小值？

（3）函数图象是否具有某种对称性？

2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：

（1）f(x) = x

   1 从左至右图象上升还是下降 ______?

   2 在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ 。

（2）f(x) = -2x+1

   1 从左至右图象上升还是下降 ______?

   2 在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ 。

（3）f(x) = x2​

   1在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ 。

   2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ 。

1．借助图象，直观感知

问题1：通过观察上述三个函数的图象说出函数图象的变化情况，并说出函数在相应区间上随着 值的增大 的值如何变化。

引导学生观察图象，获得信息：第一段图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二段图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小；第三段图象在对称轴的左边从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小，在对称轴的右边从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大。然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数。通过讨论使学生明确函数的增减性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质。

对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念的相关属性，则能更好的理解和掌握概念，因此我设计了问题2。

问题2：能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

通过学生的交流、探讨、总结，得到单调性的“通俗定义”：

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2．抽象思维，形成概念

本环节在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程,完成对概念的第二次认识。

教学中，我引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比增函数的定义得到减函数的定义，然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念，对定义中关键词语进行强调。

3．例题讲解

例1：证明函数 在定义域R上是增函数。

先由学生对照增、减函数的定义说出证明步骤，然后学生动手证明，之后教师课件演示证明过程。

之后展示例2：判断函数 的单调递减区间，并证明。

引导学生画出函数图象的草图，然后从图象上观察，再采用定义法进行证明，并归纳出证明步骤。

4．课件展示用定义证明函数单调性的方法步骤

       利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

       1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

       2 作差f(x1)－f(x2)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

判定函数单调性的常见方法

（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法。

（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。

（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。

提醒：书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。

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教材39页A组1、2、3

• 优点:

  从学生熟知的函数入手，通过观察归纳函数在某个区间上图像的变化情况。

• 缺点:

  第二题3个已知函数的图像应该在课件上先画出来，再让学生观察。

• 优点:

  立足学情，因材施教，针对性强。

• 缺点:

  函数的单调性、最值与区间有关。

• 优点:

  教学目标设计符合课改理念，符合学生实际。

• 缺点:

  对学生进行辨证唯物主义思想教育不容易体现。