1.3.1 单调性与最大（小）值优质课一等奖

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

1．知识与技能

（1）理解函数单调性的定义，明确增函数、减函数的图象特征；

（2）能利用函数图象划分函数的单调区间.

2．过程与方法

由一次函数、二次函数的图象，让学生从图象上获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”，最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构建函数单调性的概念.

3．情感、态度与价值观

在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.

1. 知识结构

学生已经学习过一次函数，二次函数，反比例函数，函数的概念及函数的表示，能画出一些简单函数的图象，能从图象的直观变化，学生能得到函数增减性。

2. 能力结构

通过初中对函数的学习，学生已具备了一定的观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力。

3. 学习心理

函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生渴望进一步学习，这种积极心态是学生学好本节课的情感基础。

重点：函数单调性的概念，判断函数的单调性；

难点：归纳并抽象出函数单调性的定义.

师：如图为某市2013年元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？

生：看图，并说出自己对图象的直观认识，回答所提出的问题.

设计意图：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，从现实生活中抽象出数学问题．

观察一次函数f (x) = x的图象；

函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的. 

观察二次函数f (x) = ‍x² 的图象;

函数f (x) = x^2‍ 的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.

x∈(–∞，0)时，x增大，f (x)减少，图象下降.

x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也增大， 图象上升.

师：引导学生观察图象的升降.

生：看图，并说出自己对图象的直观认识.

师：函数值是随自变量的增大而增大，或随自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.

师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映.

生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由 – 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.

师：表格数值变化的一般规律是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数.

设计意图: 在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变”过渡到“数变”. 从定性分析到定量分析.

函数单调性的概念

一般地，设函数f (x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数；

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数.

师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？

师生合作：

对于函数f (x) = x2 在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22.

师：称f (x) = x2在(0，+∞)上为增函数.

设计意图：由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.

如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y =f(x)的单调区间．

判断1：函数 在 是单调增函数；(     )

判断2：函数f (x)在区间[1，2]上满足 f (1)＜f(2)，则

函数f (x)在[1，2]上是增函数.   (    )

复习初中所学习的三类重要函数：一次函数，二次函数，反比例函数，根据函数图象说出函数的单调区间.

生：相互讨论，作出判断

师：强调概念需要注意的问题

（1）函数单调性是针对定义域Ｉ内的某个子区间Ｄ而言的，是一个局部性质,在整个定义域上不一定具有单调性;

（2） 在区间Ｄ内取任意值，不能用特殊值来代替.

生：说出三类函数的单调区间.

设计意图：对函数单调性的定义进行剖析，内化定义.

例1： 根据图象说出函数的单调区间以及每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2 ：如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

随堂练习：

指出下列函数的单调区间？

（1）f(x)=3-2x

（2）f(x)=2x2-3x+1

（3）f(x)=-3/x

问题思考

师：投影例1.

生：合作交流完成例1.

例2【解】：y= f (x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.

随堂练习 答案：

（1）单调减区间

（2）单调减区间 ,

单调增区间

（3）单调增区间

师：强调函数的单调性是一个区间上的局部性质.

设计意图：掌握利用图象划分函数单调区间的方法. 内化定义，强化划分单调区间的方法.掌握利用图象划分函数单调区间的方法.

1°单调性的定义.

2°利用图象划分单调区间.

作业：1.3第一课时  导学案[达标练习]1-4题

师生合作：回顾单调性概念的形成.

学生独立完成作业

设计意图：反思回顾，整理知识，提升能力.巩固知识，培养能力.

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

师：如图为某市2013年元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？

生：看图，并说出自己对图象的直观认识，回答所提出的问题.

设计意图：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，从现实生活中抽象出数学问题．

观察一次函数f (x) = x的图象；

函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的. 

观察二次函数f (x) = ‍x² 的图象;

函数f (x) = x^2‍ 的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.

x∈(–∞，0)时，x增大，f (x)减少，图象下降.

x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也增大， 图象上升.

师：引导学生观察图象的升降.

生：看图，并说出自己对图象的直观认识.

师：函数值是随自变量的增大而增大，或随自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.

师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映.

生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由 – 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.

师：表格数值变化的一般规律是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数.

设计意图: 在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变”过渡到“数变”. 从定性分析到定量分析.

函数单调性的概念

一般地，设函数f (x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数；

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数.

师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？

师生合作：

对于函数f (x) = x2 在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22.

师：称f (x) = x2在(0，+∞)上为增函数.

设计意图：由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.

如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y =f(x)的单调区间．

判断1：函数 在 是单调增函数；(     )

判断2：函数f (x)在区间[1，2]上满足 f (1)＜f(2)，则

函数f (x)在[1，2]上是增函数.   (    )

复习初中所学习的三类重要函数：一次函数，二次函数，反比例函数，根据函数图象说出函数的单调区间.

生：相互讨论，作出判断

师：强调概念需要注意的问题

（1）函数单调性是针对定义域Ｉ内的某个子区间Ｄ而言的，是一个局部性质,在整个定义域上不一定具有单调性;

（2） 在区间Ｄ内取任意值，不能用特殊值来代替.

生：说出三类函数的单调区间.

设计意图：对函数单调性的定义进行剖析，内化定义.

例1： 根据图象说出函数的单调区间以及每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2 ：如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

随堂练习：

指出下列函数的单调区间？

（1）f(x)=3-2x

（2）f(x)=2x2-3x+1

（3）f(x)=-3/x

问题思考

师：投影例1.

生：合作交流完成例1.

例2【解】：y= f (x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.

随堂练习 答案：

（1）单调减区间

（2）单调减区间 ,

单调增区间

（3）单调增区间

师：强调函数的单调性是一个区间上的局部性质.

设计意图：掌握利用图象划分函数单调区间的方法. 内化定义，强化划分单调区间的方法.掌握利用图象划分函数单调区间的方法.

1°单调性的定义.

2°利用图象划分单调区间.

作业：1.3第一课时  导学案[达标练习]1-4题

师生合作：回顾单调性概念的形成.

学生独立完成作业

设计意图：反思回顾，整理知识，提升能力.巩固知识，培养能力.

• 优点:

  利用多媒体技术，较好的处理了“单调性”由直观感受到理论抽象的认识过程。

• 缺点:

  如在几何画板中作出直线x=x1与曲线的交点，重点观察随x1的变化对纵坐标的影响将更易贴近定义。