1.2.1 函数的概念教案板书设计

1.2.1　函数的概念 高中数学       人教A版2003课标版

知识与技能：

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间

的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识。了解反函数的定义，能够求某些常用函数的反函数。

2、过程与方法：

（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的要素；

重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；

    难点：符号“y=f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值。反函数的定义。

（一）创设情景，揭示课题

1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2、体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想；

3、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

4、根据函数的概念，判断两个变量间的关系是否是函数关系。

1、函数的有关概念

（1）函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

注意：

① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x

   思考：下列四个图象中，不是函数图象的是（ B   ）.

（2）构成函数的三要素是什么？什么是相等函数。

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

 （3）区间的概念

    设a、b是两个实数，且a<b，则：

  满足不等式 的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

     满足不等式 的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；

     满足不等式 的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为 ；

这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足 的实数x的集合分别表示为

。

    练习：用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0}

（4）初中学过哪些函数？

通过三个已知的函数：y=ax+b      (a≠0)

                    y=ax2+bx+c   (a≠0)

                    y=         (k≠0)

比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。

师：归纳总结

（5）分段函数

     若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数；

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

（6）反函数

一般地，设函数y=f(x) (x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y)。若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是y的函数，这样的函数y= g(x)(x∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1 (x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

例1、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域。

分析：由题意知，另一边长为 ，且边长为正数，所以0＜x＜40    

  所以s=  = （40－x）x   （0＜x＜40）

引导学生小结几类函数的定义域：

如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R 。

    （2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合。

如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合。

    （4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。（即求各集合的交集）

    （5）满足实际问题有意义。

例2、下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）y = ( )2 ;     （2）y = ( ) ;

（3）y =  ;     （4）y=

 分析：

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

解：（略）

       练习：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

        ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1

        ② f ( x ) = x； g ( x ) = 

        ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2

        ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 

   例3、若函数f(x)= 则f(10)等于(  )

        (A)lg 101   (B)2 (C)1 (D)0

      解析:f(10)=lg 10=1   

      故选B.

   例4、求y=5x-2的反函数。

     分析：求反函数要做的是x、y互换位置，得

           x=5y-2，

     整理得

           y=(x+2)/5

故原函数的反函数为y=(x+2)/5

练习:求y=x/(x-2)的反函数。

五）归纳小结

①理解函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；

②初步介绍了判断同一函数的基本方法，反函数的概念及求法，同时引出了区间的概念,分段函数的概念。

（六）设置问题，留下悬念

       举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数。

1、如图所示,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是(    )

2、下面各组函数中为相同函数的是(    )

(A)f(x)= ,g(x)=x-1

(B)f(x)= ,g(x)= ·

(C)f(x)=ln ex与g(x)=eln x

(D)f(x)=x0与g(x)=

某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y（元）表示为茶杯个数x（个）的函数，则y=       ，其定义域为      。

4、在国内投寄平信，每封信不超过20g重付邮资80分，超过20g重但不超过40g重付邮资160分，将每封信的应付邮资（分）表示为信重x（0﹤x≤40）g的函数，则f(x)=                  。

5、动点P从单位正方形ABCD的顶点A出发,顺次经过B,C,D绕边界一周,当x表示点P的行程,y表示PA的长时,求y关于x的函数。

1、下列图象中不能作为函数图象的是（      ）

2、集合A={ x∣0≤x≤4}，集合B={ y∣0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是（     ）

A．f：x→y= x                  B. f：x→y= x

C. f：x→y= x                   D. f：x→y=

3、某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数y与x的函数关系式为（ ）

A.y=2x       B. y=4x         C. y=         D. y=

4、给出下列五组函数：①y=x与y= ②y= 与y= ③y= 与 y= ④y= 与y= ⑤y= 与y=1，其中表示同一函数的有（ ）

A.1组       B. 2组         C. 3组        D.4组

5、已知 ，若 ，则 的值是（     ）

A.     　　 B.  或      　　C.  ， 或    　　  D. 

6、设计一个水渠,其横截面为等腰梯形(如图),要求满足条件AB+BC+CD=a(常数),∠ABC=120°,写出横截面的面积y关于腰长x的函数。

7、将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可买出100个，若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，销售单价应定为多少元？

1.2.1　函数的概念

1.2.1　函数的概念

（一）创设情景，揭示课题

1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2、体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想；

3、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

4、根据函数的概念，判断两个变量间的关系是否是函数关系。

1、函数的有关概念

（1）函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

注意：

① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x

   思考：下列四个图象中，不是函数图象的是（ B   ）.

（2）构成函数的三要素是什么？什么是相等函数。

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

 （3）区间的概念

    设a、b是两个实数，且a<b，则：

  满足不等式 的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

     满足不等式 的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；

     满足不等式 的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为 ；

这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足 的实数x的集合分别表示为

。

    练习：用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0}

（4）初中学过哪些函数？

通过三个已知的函数：y=ax+b      (a≠0)

                    y=ax2+bx+c   (a≠0)

                    y=         (k≠0)

比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。

师：归纳总结

（5）分段函数

     若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数；

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

（6）反函数

一般地，设函数y=f(x) (x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y)。若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是y的函数，这样的函数y= g(x)(x∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1 (x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

例1、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域。

分析：由题意知，另一边长为 ，且边长为正数，所以0＜x＜40    

  所以s=  = （40－x）x   （0＜x＜40）

引导学生小结几类函数的定义域：

如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R 。

    （2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合。

如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合。

    （4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。（即求各集合的交集）

    （5）满足实际问题有意义。

例2、下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）y = ( )2 ;     （2）y = ( ) ;

（3）y =  ;     （4）y=

 分析：

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

解：（略）

       练习：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

        ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1

        ② f ( x ) = x； g ( x ) = 

        ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2

        ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 

   例3、若函数f(x)= 则f(10)等于(  )

        (A)lg 101   (B)2 (C)1 (D)0

      解析:f(10)=lg 10=1   

      故选B.

   例4、求y=5x-2的反函数。

     分析：求反函数要做的是x、y互换位置，得

           x=5y-2，

     整理得

           y=(x+2)/5

故原函数的反函数为y=(x+2)/5

练习:求y=x/(x-2)的反函数。

五）归纳小结

①理解函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；

②初步介绍了判断同一函数的基本方法，反函数的概念及求法，同时引出了区间的概念,分段函数的概念。

（六）设置问题，留下悬念

       举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数。

1、如图所示,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是(    )

2、下面各组函数中为相同函数的是(    )

(A)f(x)= ,g(x)=x-1

(B)f(x)= ,g(x)= ·

(C)f(x)=ln ex与g(x)=eln x

(D)f(x)=x0与g(x)=

某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y（元）表示为茶杯个数x（个）的函数，则y=       ，其定义域为      。

4、在国内投寄平信，每封信不超过20g重付邮资80分，超过20g重但不超过40g重付邮资160分，将每封信的应付邮资（分）表示为信重x（0﹤x≤40）g的函数，则f(x)=                  。

5、动点P从单位正方形ABCD的顶点A出发,顺次经过B,C,D绕边界一周,当x表示点P的行程,y表示PA的长时,求y关于x的函数。

1、下列图象中不能作为函数图象的是（      ）

2、集合A={ x∣0≤x≤4}，集合B={ y∣0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是（     ）

A．f：x→y= x                  B. f：x→y= x

C. f：x→y= x                   D. f：x→y=

3、某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数y与x的函数关系式为（ ）

A.y=2x       B. y=4x         C. y=         D. y=

4、给出下列五组函数：①y=x与y= ②y= 与y= ③y= 与 y= ④y= 与y= ⑤y= 与y=1，其中表示同一函数的有（ ）

A.1组       B. 2组         C. 3组        D.4组

5、已知 ，若 ，则 的值是（     ）

A.     　　 B.  或      　　C.  ， 或    　　  D. 

6、设计一个水渠,其横截面为等腰梯形(如图),要求满足条件AB+BC+CD=a(常数),∠ABC=120°,写出横截面的面积y关于腰长x的函数。

7、将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可买出100个，若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，销售单价应定为多少元？