1.3.1 单调性与最大（小）值教学设计思路

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体验到数学概念的形成过程的，初步学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数的单调性的步骤，会求函数的单调区间。

3.能够用函数的性质解决生活中简单的实际问题，使学生感受到学习单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发其积极性

1、从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。

2、从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

3、从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

教学重点：函数的单调性的判断与证明；

教学难点：增、减函数形式化定义的形成及利用函数单调性的定义证明。

（一）情景引入

以日常生活中实例：一天24小时中的气温变化、某地年生产总值变化、某地日平均出生人数统计表等生活实例引课，能激发学生的好奇心和求知欲，让学生感受数学源于生活、又服务于生活的真谛。从实例观察图像，让学生想起初中学习函数图像具有上升与下降的趋势，从而引入新课。

（二）问题呈现

问题1.给定三个函数 及其图像

1、观察三个函数的图像上升与下降趋势，要求用图像上任一点 的横纵坐标来刻画这种趋势。

2、总结出：

当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；

当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。

归纳：函数的这种性质称为函数的单调性（给出课题并板书）

（三）观察实例，得出概念

问题2.给出一个不规则的函数图象，让学生观察它的上升与下降趋势，以其中的一段上升图像引出单调函数的概念。

1、这是用“形”来刻划“数”的变化规律

图像在区间D上逐渐上升区间D上随着x的增大，y也增大对区间D上的 ，当时 ，有

【设计意图】由图形语言转化为符号语言

2、怎样用“数”来刻划“形”的变化规律呢？也就是上面的关系能否反着推回去呢？

【设计意图】让学生发现要对两个自变量要有要求，必须是“任意”的两个自变量（不能特指，任意具有代表性）。

在课件中演示，让学生想明白，强调数学的严谨性。得出单调递增函数定义：

一般地，设函数 的定义域为I，区间D I：如果对于区间D内的任意两个值 ，当 时都有 ,那么就说 在这个区间上是单调增函数。这个区间为单调递增区间。

3、给出幻灯片，让学生对比说出单调递减函数的定义。

单调递减函数的定义：一般地，设函数 的定义域为I，区间D I：如果对于区间D内的任意两个值 ，当 时都有 ,那么就说 在这个区间上是单调增函数。这个区间为单调递增区间。

【设计意图】渗透类比的数学思想，锻炼学生的观察，归纳，语言表达能力。

4、对比观察不等号的变化。

【设计意图】让学生观察不等号发生了变化，总结出：增函数的不等号不改变方向，减函数的不等号改变了方向。

四）概念强化理解

你认为增、减函数定义中的关键词是什么？

教师点拨总结：某一区间 任意 都有 单调递增 单调递减

1、如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

2、判断：函数 在 是单调增函数；

得出结论：函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部

性质;

3、判断：定义在R上的函数 满足 ，则函

数 在R上是增函数；

得出结论：取值的任意性

【设计意图】加深对概念的理解与掌握，进一步突破难点。

（五）概念应用

例1.画出函数 图像，并写出单调区间：

设计意图:复习反比例函数的图像，设计陷阱两个“单调减区间”的书写格式，从而引出探究一。

探究1：能不能说 在定义域 上是单调减函数？

探究2：讨论 在定义域 上的单调性？

设计意图:渗透分类讨论的思想

例2．画出函数 的图像，并写出函数的单调区间。

探究3：讨论 的单调性

探究4：讨论 的单调性

设计意图:渗透分类讨论的思想

例3.证明函数 在区间 上是单调递增函数。

变式：用定义证明函数 在区间 是单调递增函数。

设计意图:利用函数单调性的定义证明函数单调性，进一步巩固对单调函数定义的理解运用，同时培养学生的严谨思维。

课本32页练习3,4,5

习题1.3的A组1，2题。

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

（一）情景引入

以日常生活中实例：一天24小时中的气温变化、某地年生产总值变化、某地日平均出生人数统计表等生活实例引课，能激发学生的好奇心和求知欲，让学生感受数学源于生活、又服务于生活的真谛。从实例观察图像，让学生想起初中学习函数图像具有上升与下降的趋势，从而引入新课。

（二）问题呈现

问题1.给定三个函数 及其图像

1、观察三个函数的图像上升与下降趋势，要求用图像上任一点 的横纵坐标来刻画这种趋势。

2、总结出：

当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；

当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。

归纳：函数的这种性质称为函数的单调性（给出课题并板书）

（三）观察实例，得出概念

问题2.给出一个不规则的函数图象，让学生观察它的上升与下降趋势，以其中的一段上升图像引出单调函数的概念。

1、这是用“形”来刻划“数”的变化规律

图像在区间D上逐渐上升区间D上随着x的增大，y也增大对区间D上的 ，当时 ，有

【设计意图】由图形语言转化为符号语言

2、怎样用“数”来刻划“形”的变化规律呢？也就是上面的关系能否反着推回去呢？

【设计意图】让学生发现要对两个自变量要有要求，必须是“任意”的两个自变量（不能特指，任意具有代表性）。

在课件中演示，让学生想明白，强调数学的严谨性。得出单调递增函数定义：

一般地，设函数 的定义域为I，区间D I：如果对于区间D内的任意两个值 ，当 时都有 ,那么就说 在这个区间上是单调增函数。这个区间为单调递增区间。

3、给出幻灯片，让学生对比说出单调递减函数的定义。

单调递减函数的定义：一般地，设函数 的定义域为I，区间D I：如果对于区间D内的任意两个值 ，当 时都有 ,那么就说 在这个区间上是单调增函数。这个区间为单调递增区间。

【设计意图】渗透类比的数学思想，锻炼学生的观察，归纳，语言表达能力。

4、对比观察不等号的变化。

【设计意图】让学生观察不等号发生了变化，总结出：增函数的不等号不改变方向，减函数的不等号改变了方向。

四）概念强化理解

你认为增、减函数定义中的关键词是什么？

教师点拨总结：某一区间 任意 都有 单调递增 单调递减

1、如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

2、判断：函数 在 是单调增函数；

得出结论：函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部

性质;

3、判断：定义在R上的函数 满足 ，则函

数 在R上是增函数；

得出结论：取值的任意性

【设计意图】加深对概念的理解与掌握，进一步突破难点。

（五）概念应用

例1.画出函数 图像，并写出单调区间：

设计意图:复习反比例函数的图像，设计陷阱两个“单调减区间”的书写格式，从而引出探究一。

探究1：能不能说 在定义域 上是单调减函数？

探究2：讨论 在定义域 上的单调性？

设计意图:渗透分类讨论的思想

例2．画出函数 的图像，并写出函数的单调区间。

探究3：讨论 的单调性

探究4：讨论 的单调性

设计意图:渗透分类讨论的思想

例3.证明函数 在区间 上是单调递增函数。

变式：用定义证明函数 在区间 是单调递增函数。

设计意图:利用函数单调性的定义证明函数单调性，进一步巩固对单调函数定义的理解运用，同时培养学生的严谨思维。

课本32页练习3,4,5

习题1.3的A组1，2题。

• 优点:

  课堂气氛活跃，重点突出，课程安排合理。

• 缺点:

  没有。

• 优点:

  课堂气氛活跃，重点难点突出，课堂各环节紧凑。

• 缺点:

  没有。