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共1课时
1.2.1 函数的概念 高中数学 人教A版2003课标版 1教学目标掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数 2学情分析高一学生能积极动脑筋，课堂气氛比较活跃，独立思考能力较好，但是计算能力比较薄弱，以后要多加注意。 3重点难点反函数的定义和求法 反函数的定义 一般地，设函数 的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y) (y C)叫做函数 的反函数，记作 ,习惯上改写成 开始的两个例子：s=vt记为 ，则它的反函数就可以写为 ，同样 记为 ，则它的反函数为： . 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？ 反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数 来说，不一定有反函数，如 ,只有“一一映射”确定的函数才有反函数， , 有反函数是 探讨2：互为反函数定义域、值域的关系 从映射的定义可知，函数 是定义域A到值域C的映射，而它的反函数 是集合C到集合A的映射，因此，函数 的定义域正好是它的反函数 的值域；函数 的值域正好是它的反函数 的定义域 （如下表）： 函数 反函数 定义域 A C 值 域 C A 探讨3： 的反函数是？ 若函数 有反函数 ，那么函数 的反函数就是 ，这就是说，函数 与 互为反函数 三、讲解例题： 例1．求下列函数的反函数： ① ； ② ； ③ ； ④ . 解：①由 解得 ∴函数 的反函数是 ， ②由 解得x= , ∴函数 的反函数是 ③由y= +1解得x= , ∵x 0，∴y 1. ∴函数 的反函数是x= (x 1); ④由 解得 ∵xc{x R|x 1}，∴y {y R|y 2} ∴函数 的反函数是 小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 ⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 ⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射 例2．求函数 （ ）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像 解：由 解得 ∴函数 的反函数是 ， 它们的图像为： 例3求函数 （-1<x<0）的反函数 解：∵ -1<x<0 ∴0< <1 ∴0<1 - < 1 ∴ 0 < < 1 ∴0 < y <1 由： 解得： (∵ -1< x < 0 ) ∴ (-1<x < 0)的反函数是： (0<x<1 ) 例4 已知 = -2x(x≥2),求 . 解法1：⑴令y= -2x，解此关于x的方程得 ， ∵x≥2，∴ ，即x=1+ --①, ⑵∵x≥2，由①式知 ≥1，∴y≥0--②, ⑶由①②得 =1+ （x≥0，x∈R）； 解法2：⑴令y= -2x= -1，∴ =1+y， ∵x≥2，∴x-1≥1，∴x-1= --①,即x=1+ , ⑵∵x≥2，由①式知 ≥1，∴y≥0, ⑶∴函数 = -2x(x≥2)的反函数是 =1+ （x≥0）； 说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x，也可以用配方法求x，但开方时必须注意原来函数的定义域. 四、课堂练习：课本P63练习：已知函数 ，求它的反函数 （1） （x∈R） （2） (x∈R，且x≠0) （3） （x≥0） （4） (x∈R，且x≠ ) 五、小结 让学生自己总结本节课所学内容。 六、课后作业：习题2.4：1 七、板书设计（略） 1.2.1 函数的概念 课时设计 课堂实录1.2.1 函数的概念 1第一学时 教学活动 活动1【讲授】反函数反函数的定义 一般地，设函数 的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y) (y C)叫做函数 的反函数，记作 ,习惯上改写成 开始的两个例子：s=vt记为 ，则它的反函数就可以写为 ，同样 记为 ，则它的反函数为： . 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？ 反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数 来说，不一定有反函数，如 ,只有“一一映射”确定的函数才有反函数， , 有反函数是 探讨2：互为反函数定义域、值域的关系 从映射的定义可知，函数 是定义域A到值域C的映射，而它的反函数 是集合C到集合A的映射，因此，函数 的定义域正好是它的反函数 的值域；函数 的值域正好是它的反函数 的定义域 （如下表）： 函数 反函数 定义域 A C 值 域 C A 探讨3： 的反函数是？ 若函数 有反函数 ，那么函数 的反函数就是 ，这就是说，函数 与 互为反函数 三、讲解例题： 例1．求下列函数的反函数： ① ； ② ； ③ ； ④ . 解：①由 解得 ∴函数 的反函数是 ， ②由 解得x= , ∴函数 的反函数是 ③由y= +1解得x= , ∵x 0，∴y 1. ∴函数 的反函数是x= (x 1); ④由 解得 ∵xc{x R|x 1}，∴y {y R|y 2} ∴函数 的反函数是 小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 ⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 ⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射 例2．求函数 （ ）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像 解：由 解得 ∴函数 的反函数是 ， 它们的图像为： 例3求函数 （-1<x<0）的反函数 解：∵ -1<x<0 ∴0< <1 ∴0<1 - < 1 ∴ 0 < < 1 ∴0 < y <1 由： 解得： (∵ -1< x < 0 ) ∴ (-1<x < 0)的反函数是： (0<x<1 ) 例4 已知 = -2x(x≥2),求 . 解法1：⑴令y= -2x，解此关于x的方程得 ， ∵x≥2，∴ ，即x=1+ --①, ⑵∵x≥2，由①式知 ≥1，∴y≥0--②, ⑶由①②得 =1+ （x≥0，x∈R）； 解法2：⑴令y= -2x= -1，∴ =1+y， ∵x≥2，∴x-1≥1，∴x-1= --①,即x=1+ , ⑵∵x≥2，由①式知 ≥1，∴y≥0, ⑶∴函数 = -2x(x≥2)的反函数是 =1+ （x≥0）； 说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x，也可以用配方法求x，但开方时必须注意原来函数的定义域. 四、课堂练习：课本P63练习：已知函数 ，求它的反函数 （1） （x∈R） （2） (x∈R，且x≠0) （3） （x≥0） （4） (x∈R，且x≠ ) 五、小结 让学生自己总结本节课所学内容。 六、课后作业：习题2.4：1 七、板书设计（略） Tags：1.2.1,函数,概念,优质,教案
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