1.3.1 单调性与最大（小）值优秀教学设计

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

1.问题情景，引出新知

观察一次函数f (x) = x的图象：

函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的.

[师生互动]：师：引导学生观察图象的升降.生：看图. 并说出自己对图象的直观认识.

师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.

 [设计意图]：在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.

观察二次函数f (x) = x2 的图象：

函数f (x) = x2 在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.

列表：

1

2

3

4

…

1

4

9

16

…

x

…

– 4

–3

–2

–1

0

f (x) =x2

16

9

4

1

0

x∈(–∞，0]，x增大，f (x)减少，图象下降.  x∈(0，+∞)，x增大，f (x)也增大，图象上升.

[师生互动]：师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映.

生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由 – 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.

师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数

[设计意图]：体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变”过渡到“数变”. 从定性分析到定量分析.

函数单调性的概念：一般地，设函数f (x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量

的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说

函数f (x)在区间D上是增函数（increasing fun_ction）；

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的

值x1、x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说函数

f (x)在区间D上是减函数（decreasing fun_ction）.

[师生互动]：师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？

师生合作：对于函数f (x) = x2 在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22.师：称f (x) = x2在(0，+∞)上为增函数.

[设计意图]：由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.

例1  如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，

根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，

它是增函数还是减函数？

训练题1：

（1）请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系.

（2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 

（3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.

[师生互动]：师：投影例1.生：合作交流完成例1.师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题. 师：投影训练题1生：学生通过合作交流自主完成.

例1【解】：y= f (x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.

训练题1 答案：（1）在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.

（2）

增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20].

（3）函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数.

[设计意图]：掌握利用图象划分函数单调区间的方法.

掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法

例2  物理学中的玻意耳定律 (k为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性证明之.

训练题2：证明函数f (x) = –2x +1在R上是减函数.

 [师生互动]：师：打出例2，请学生阐明应用定义证明（判定）并总结证明单调性的基本步骤.生：学生代表板书证明过程，教师点评.

例2 分析：按题意，只要证明函数 在区间（0，+∞）上是减函数即可.

证明：根据单调性的定义，设V31;1，V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V1＜V2，即 .由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V2＞0.

由V1＜V2，得V2 – V1＞0.又k＞0，于是p (V1) – p (V2)＞0，

即  p (V1) ＞p (V2).

所以，函数 ，V?(0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.

师：投影训练题2生：自主完成

训练题2 证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

因为f (x1) – f (x2) =2 (x2 –x1)＞0，即f (x1)＞f (x2)，所以f (x) = –2x +1在R上是减函数.

 [设计意图]：强化记题步骤与格式.

1°体会函数单调性概念的形成过程.2°单调性定义.3°利用图象划分单调区间.

4°利用定义证明单调性步骤.

[师生互动]：师生合作：回顾单调性概念的形式与发展.

师：阐述单调性的意义与作用.

[设计意图]：反思回顾整理知识，提升能力.

分层次要求，分层次作业，其中A组学生基础较差占 ，其余为B组学生．

[师生互动]：学生独立完成

[设计意图]：巩固知识培养能力

ze:10.5000pt; mso-font-kerning:1.0000pt; " >]：反思回顾整理知识，提升能力.

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.问题情景，引出新知

观察一次函数f (x) = x的图象：

函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的.

[师生互动]：师：引导学生观察图象的升降.生：看图. 并说出自己对图象的直观认识.

师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.

 [设计意图]：在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.

观察二次函数f (x) = x2 的图象：

函数f (x) = x2 在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.

列表：

1

2

3

4

…

1

4

9

16

…

x

…

– 4

–3

–2

–1

0

f (x) =x2

16

9

4

1

0

x∈(–∞，0]，x增大，f (x)减少，图象下降.  x∈(0，+∞)，x增大，f (x)也增大，图象上升.

[师生互动]：师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映.

生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由 – 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.

师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数

[设计意图]：体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变”过渡到“数变”. 从定性分析到定量分析.

函数单调性的概念：一般地，设函数f (x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量

的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说

函数f (x)在区间D上是增函数（increasing fun_ction）；

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的

值x1、x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说函数

f (x)在区间D上是减函数（decreasing fun_ction）.

[师生互动]：师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？

师生合作：对于函数f (x) = x2 在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22.师：称f (x) = x2在(0，+∞)上为增函数.

[设计意图]：由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.

例1  如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，

根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，

它是增函数还是减函数？

训练题1：

（1）请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系.

（2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 

（3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.

[师生互动]：师：投影例1.生：合作交流完成例1.师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题. 师：投影训练题1生：学生通过合作交流自主完成.

例1【解】：y= f (x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.

训练题1 答案：（1）在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.

（2）

增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20].

（3）函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数.

[设计意图]：掌握利用图象划分函数单调区间的方法.

掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法

例2  物理学中的玻意耳定律 (k为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性证明之.

训练题2：证明函数f (x) = –2x +1在R上是减函数.

 [师生互动]：师：打出例2，请学生阐明应用定义证明（判定）并总结证明单调性的基本步骤.生：学生代表板书证明过程，教师点评.

例2 分析：按题意，只要证明函数 在区间（0，+∞）上是减函数即可.

证明：根据单调性的定义，设V31;1，V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V1＜V2，即 .由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V2＞0.

由V1＜V2，得V2 – V1＞0.又k＞0，于是p (V1) – p (V2)＞0，

即  p (V1) ＞p (V2).

所以，函数 ，V?(0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.

师：投影训练题2生：自主完成

训练题2 证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

因为f (x1) – f (x2) =2 (x2 –x1)＞0，即f (x1)＞f (x2)，所以f (x) = –2x +1在R上是减函数.

 [设计意图]：强化记题步骤与格式.

1°体会函数单调性概念的形成过程.2°单调性定义.3°利用图象划分单调区间.

4°利用定义证明单调性步骤.

[师生互动]：师生合作：回顾单调性概念的形式与发展.

师：阐述单调性的意义与作用.

[设计意图]：反思回顾整理知识，提升能力.

分层次要求，分层次作业，其中A组学生基础较差占 ，其余为B组学生．

[师生互动]：学生独立完成

[设计意图]：巩固知识培养能力

ze:10.5000pt; mso-font-kerning:1.0000pt; " >]：反思回顾整理知识，提升能力.