1.2.1 函数的概念优质课教案整理

1.2.1　函数的概念 高中数学       人教A版2003课标版

1.学会用集合对应的观点刻画函数概念。

2.理解并掌握函数符号及函数的三要素。

3.掌握区间的概念，会求简单的定义域。

4.发展学生的思维能力。

5.培养学生的表达能力及抽象概括能力。

1.    通过初中学习学生对函数的概念有一定的了解，能以运动变化的观点来理解函数，这对进一步研究函数概念奠定了基础。

2.    通过第一章集合的学习，对本节课用对应的观点理解函数奠定了一定的基础。

3.    高一学生的求知欲很强，表现欲强，对本节学习，讨论能积极参与。

4.    高中数学有一定的抽象性，要把握好度，做好初中与高中的学习方法的衔接。

 保存

理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；

教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

一）引入问题

问题1  初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数）

问题2  初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x和y，，如果给定了一个x的值，相应地确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量）。

问题3  举函数的例子.

（二）函数的感性认识

教材例子（1）：股票图

例子（2）中数集 ， ，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应。

例子（3）中数集 ，且对于数集A中的每一个时间（年份），按表格，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。

（三）归纳总结给函数“定性”

归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A、B间的一种对应关系：对数集A中的每一个x，按照某个对应关系，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作 。

（四)理性认识函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数，记作 ，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。

☆ 1.下列图像中不能作为函数的是（   ）

定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；

（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”，在不同的函数中，f的具体含义不一样；

   y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；

自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x2+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=22+3×2+1=11。

注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。

（2）定义域是自变量x的取值范围；

    注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；

如：y=x2(x y=x2(x>0)； y=1与y=x0

        ②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；

如：一个矩形的宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x>0,而不是 。

（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。

(五)区间的概念

设a、b是两个实数，且a<b，规定：（投影1）

（1）满足不等式 的实数的x集合叫做闭区间，表示为 ；

（2）满足不等式 的实数的x集合叫做开区间，表示为 ；

（3）满足不等式 的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为 ；

（4）满足不等式 的实数的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为 ；

说明：① 对于 ， ， ， 都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度；

② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：

不等式表示法：3<x<7（一般不用）；集合表示法： ；区间表示法： ；

③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；

④ 实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x a, x>a, x b, x<b的实数x的集合分别表示为[a,+∞]、（a,+∞）、(-∞,b)、(-∞,b)。 

例题分析：（投影2）

例1．已知函数 ，（教材第17页例1）

（1）求函数的定义域；

（2）求 的值；

（3）当a>0时，求 的值。

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。如果只给出解析式 ，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。（解略）

例2．求下列函数的定义域。

分析：给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。

从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；

（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；

（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。

由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。

例3．下列函数中，哪个与函数y=x是同一函数？（教材18页例2）

 (1) y=( )2 ;        (2) y=  ;          (3) y= ;          (4)y= .

分析：判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同。只有完全一致时，这两个函数才算相同。（解略）

课堂练习：

1 课本课后练习第2题

2 （课堂练习见学案）判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2               

 （2）f ( x ) = | x | ；g ( x ) =

③求下列函数的定义域

（1）                            （2）

（3）                     （4）

（5）                      （6）

想一想：

课时小结：

本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）及求函数定义域的方法。函数定义中注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视。

课后作业

1、书面作业：课本P₂₄习题1.2A组题第1，2，3，4题；B组第1、2题。

2、预习作业：

集

 (

1.2.1　函数的概念

1.2.1　函数的概念

一）引入问题

问题1  初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数）

问题2  初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x和y，，如果给定了一个x的值，相应地确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量）。

问题3  举函数的例子.

（二）函数的感性认识

教材例子（1）：股票图

例子（2）中数集 ， ，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应。

例子（3）中数集 ，且对于数集A中的每一个时间（年份），按表格，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。

（三）归纳总结给函数“定性”

归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A、B间的一种对应关系：对数集A中的每一个x，按照某个对应关系，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作 。

（四)理性认识函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数，记作 ，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。

☆ 1.下列图像中不能作为函数的是（   ）

定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；

（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”，在不同的函数中，f的具体含义不一样；

   y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；

自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x2+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=22+3×2+1=11。

注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。

（2）定义域是自变量x的取值范围；

    注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；

如：y=x2(x y=x2(x>0)； y=1与y=x0

        ②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；

如：一个矩形的宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x>0,而不是 。

（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。

(五)区间的概念

设a、b是两个实数，且a<b，规定：（投影1）

（1）满足不等式 的实数的x集合叫做闭区间，表示为 ；

（2）满足不等式 的实数的x集合叫做开区间，表示为 ；

（3）满足不等式 的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为 ；

（4）满足不等式 的实数的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为 ；

说明：① 对于 ， ， ， 都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度；

② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：

不等式表示法：3<x<7（一般不用）；集合表示法： ；区间表示法： ；

③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；

④ 实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x a, x>a, x b, x<b的实数x的集合分别表示为[a,+∞]、（a,+∞）、(-∞,b)、(-∞,b)。 

例题分析：（投影2）

例1．已知函数 ，（教材第17页例1）

（1）求函数的定义域；

（2）求 的值；

（3）当a>0时，求 的值。

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。如果只给出解析式 ，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。（解略）

例2．求下列函数的定义域。

分析：给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。

从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；

（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；

（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。

由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。

例3．下列函数中，哪个与函数y=x是同一函数？（教材18页例2）

 (1) y=( )2 ;        (2) y=  ;          (3) y= ;          (4)y= .

分析：判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同。只有完全一致时，这两个函数才算相同。（解略）

课堂练习：

1 课本课后练习第2题

2 （课堂练习见学案）判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2               

 （2）f ( x ) = | x | ；g ( x ) =

③求下列函数的定义域

（1）                            （2）

（3）                     （4）

（5）                      （6）

想一想：

课时小结：

本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）及求函数定义域的方法。函数定义中注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视。

课后作业

1、书面作业：课本P₂₄习题1.2A组题第1，2，3，4题；B组第1、2题。

2、预习作业：

集

 (