实验与探究 π的估计获奖说课稿

地区： 重庆市 - 重庆市 - 江津区

学校：重庆市江津区朱杨初级中学校

实验与探究　π的估计 初中数学       人教2011课标版

1、经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。

2、能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。

3、通过活动，参与操作，培养学生动手能力和解决问题的能力。

4、情感与价值观：经历将一些复杂数学问题，用实验的方法解决的过程。让学生亲历从事一项具有探秘色彩的游戏活动，体会参与过程的乐趣，从而更加接近科学真理。让数学教育真正走进学生的世界，为他们所关注、喜爱、认同和向往。让所有学生都产生一种对数学探究的欲望。

通过以前的学习，学生已经认识到当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可据此估

计某一事件发生的概率。有了前面学习的著名的布丰投针试验作为基础，学生从思想上认同了在大量重复试验后，可以用频率的稳定值估计事件发生的概率，但还没有这方面的亲身体验。本节选取了一个历史悠久、影响深远，具有浓厚兴趣的题材，力图让学生获得深刻体验。

用简单的动手实验来得出结论，让基础差的学生也能产生兴趣。

重点 掌握实验方法估计一些复杂的随机事件发生的概率

难点 对复杂事件发生的概率的体验教学方法

1、前面的摸牌游戏中,两张纸牌,数字分别为1和2,第一次摸到1,放回去后, 第二次又摸到1,能说摸到1的可能性是百分之百吗？（不能）那是多少？（50﹪）,怎么样通过实验说明可能性是50﹪？（可以通过大量重复实验）

2、布丰投针试验告诉我们什么？

回顾：平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离都为 =4cm，向此平面任投一长度为 =3cm的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们都不相交。

（1）相交和不相交的可能性相同吗？你能通过列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率吗？（不能）

（2）那么布丰是怎样得出 ≈ ?（通过大量重复实验，频率的稳定值可以估计事件发生的概率）纸上两平行线间相距为 ，小针长为 ，投针的次数为 ，所投的针当中与平行线相交的次数是 ，那么当 相当大时有：π≈ ．

（3）从这里看到了通过实验可以求出圆周率π的近似值。大家知道计算π有哪些方法吗？同学们要不要自己尝试呢？对，我们今天亲身感受一下可以通过大量重复实验，用频率估计事件发生的概率，来估计π的值，让我们自己也来当一回数学家。

（1）布丰先生画好了一条条等距离的平行线。抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。（2）请大家一定要看清楚扔下的针是否与纸上的平行线相交。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。（3）一直数着、记着。将近一个钟头。（4）投针结果，共投针2212次，而这其中与平行线相交的共有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”这就是圆周率π的近似值!（5）“再增加投针的次数．还能够得到的更为精确的π近似值”。（6）若纸上两平行线间相距为d，小针长为l、投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，则当n相当大时有：π≈2ln/dm
针长l等于平行线距离d的一半，入上面公式简化得：π≈n/m。

提出问题：实验有哪些条件?实验过程中注意哪些要求？统计哪些实验数据？频率在什么情况下用来估计概率？

活动二：通过图形的面积求随机事件发生的概率

每小组（6人）准备一个七等分圆盘，一枚飞镖。随意向其投掷一枚飞镖，则飞镖会落在圆盘中的什么位置?

由于各个小扇形大小一样，飞镖落在红、黄、绿区域上的概率分别为

； ； 。

这里概率的大小是各颜色区域的面积占整个区域的面积的比值。

启发：随机事件的概率，如果涉及发生的可能结果的区域面积与所有结果的区域面积，可以通过面积所占的比来计算。

活动三：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计落在圆内的米粒数 与正方形内的米粒数 ，并计算 。

活动目的：利用当“试验次数较大时，试验频率稳定于某一试验概率”并据此估计米粒落在圆内的概率 ，再通过 ≈ ，估计出π≈ 。

1、活动用具：

（1）白纸，圆规，刻度尺；若干大小均匀的米粒。

（2）表格。

﹙3﹚计算器。

2、活动方式：小组合作交流，全班研讨。

3、活动步骤：

（1）将学生分成6人一组，1人撒米粒，4人数数，剩下1人统计。

（2）利用一张大白纸，在纸上画出正方形及其内切圆（在正中央）图2；

（3）正方形不能太小，也不能过大。四人可以分区域数数，再合起来统计。图3、图4。

（4）撒米粒时高度适中，要避风。确保在相同条件下进行，减小误差。

落在圆内的米粒数

落在正方形内的米粒数

频率

π的估计值

（5）统计数据，记录 和 ，一定要做一次及时记录一次，要准确。

4、注意问题：在试验中有米粒恰好在边线上，较难判断是圆内还是圆外，正方形内还是正方形外。采取的方法：

（1）忽略这次试验；

（2）认为内外各计半次，等等。

（3）每个小组投针100次，而后将各数据填入表格。

学生安上述实验方案进行实验。自主合作交流，汇总数据，探究问题的结果。

5、同学们会发现组与组之间的数据相差悬殊

问：根据什么情形的频率估计π的值概率?﹙累加，可使次数变大﹚

问:：会发现什么结论?﹙ 的值接近3.14﹚此时同学们的情绪会高涨。

引导学生猜想：

①是否次数越多，值越接近圆周率？

②改变撒米粒数的多少，结果会怎样?

③米粒可以用其他的物体代替吗？

④改变正方形的边长，结果会怎样? 

为了提高π的估计值，你认为还可以怎么做？带着问题,学生会急于探究结果

问：能否将各组数据进行累加，估计该事件发生的概率?

﹙不同条件下的实验数据不能累加﹚

[21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站] 引导学生猜想：概率与m、n有关,与圆周率是否有关?

让学生课外阅读圆周率的相关计算方法，深层次扩大知识程度。

1、如图5，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm， 6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是多少？

2、如图6，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转 动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则

P(3)         [21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站]   P(4),(填“>”、“=”或“<”)。

1、如图5，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm， 6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是多少？

2、如图6，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转 动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则

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联系前几节的试验，你得到哪些启示？﹙引导学生﹚

1、事件发生的可能结果有无限多个，怎么求概率？

①试验次数较大时，试验频率稳定于某一试验概率。

②可以通过大量重复实验估计事件发生的概率。

2、你对在试验中的合作交流，动手操作，有何体会？

①数学有趣，复杂的问题中有朴素的数学思想。

②以后会更加积极地投入数学学习。

书152页 综合运用

实验与探究　π的估计

实验与探究　π的估计

1、前面的摸牌游戏中,两张纸牌,数字分别为1和2,第一次摸到1,放回去后, 第二次又摸到1,能说摸到1的可能性是百分之百吗？（不能）那是多少？（50﹪）,怎么样通过实验说明可能性是50﹪？（可以通过大量重复实验）

2、布丰投针试验告诉我们什么？

回顾：平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离都为 =4cm，向此平面任投一长度为 =3cm的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们都不相交。

（1）相交和不相交的可能性相同吗？你能通过列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率吗？（不能）

（2）那么布丰是怎样得出 ≈ ?（通过大量重复实验，频率的稳定值可以估计事件发生的概率）纸上两平行线间相距为 ，小针长为 ，投针的次数为 ，所投的针当中与平行线相交的次数是 ，那么当 相当大时有：π≈ ．

（3）从这里看到了通过实验可以求出圆周率π的近似值。大家知道计算π有哪些方法吗？同学们要不要自己尝试呢？对，我们今天亲身感受一下可以通过大量重复实验，用频率估计事件发生的概率，来估计π的值，让我们自己也来当一回数学家。

（1）布丰先生画好了一条条等距离的平行线。抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。（2）请大家一定要看清楚扔下的针是否与纸上的平行线相交。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。（3）一直数着、记着。将近一个钟头。（4）投针结果，共投针2212次，而这其中与平行线相交的共有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”这就是圆周率π的近似值!（5）“再增加投针的次数．还能够得到的更为精确的π近似值”。（6）若纸上两平行线间相距为d，小针长为l、投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，则当n相当大时有：π≈2ln/dm
针长l等于平行线距离d的一半，入上面公式简化得：π≈n/m。

提出问题：实验有哪些条件?实验过程中注意哪些要求？统计哪些实验数据？频率在什么情况下用来估计概率？

活动二：通过图形的面积求随机事件发生的概率

每小组（6人）准备一个七等分圆盘，一枚飞镖。随意向其投掷一枚飞镖，则飞镖会落在圆盘中的什么位置?

由于各个小扇形大小一样，飞镖落在红、黄、绿区域上的概率分别为

； ； 。

这里概率的大小是各颜色区域的面积占整个区域的面积的比值。

启发：随机事件的概率，如果涉及发生的可能结果的区域面积与所有结果的区域面积，可以通过面积所占的比来计算。

活动三：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计落在圆内的米粒数 与正方形内的米粒数 ，并计算 。

活动目的：利用当“试验次数较大时，试验频率稳定于某一试验概率”并据此估计米粒落在圆内的概率 ，再通过 ≈ ，估计出π≈ 。

1、活动用具：

（1）白纸，圆规，刻度尺；若干大小均匀的米粒。

（2）表格。

﹙3﹚计算器。

2、活动方式：小组合作交流，全班研讨。

3、活动步骤：

（1）将学生分成6人一组，1人撒米粒，4人数数，剩下1人统计。

（2）利用一张大白纸，在纸上画出正方形及其内切圆（在正中央）图2；

（3）正方形不能太小，也不能过大。四人可以分区域数数，再合起来统计。图3、图4。

（4）撒米粒时高度适中，要避风。确保在相同条件下进行，减小误差。

落在圆内的米粒数

落在正方形内的米粒数

频率

π的估计值

（5）统计数据，记录 和 ，一定要做一次及时记录一次，要准确。

4、注意问题：在试验中有米粒恰好在边线上，较难判断是圆内还是圆外，正方形内还是正方形外。采取的方法：

（1）忽略这次试验；

（2）认为内外各计半次，等等。

（3）每个小组投针100次，而后将各数据填入表格。

学生安上述实验方案进行实验。自主合作交流，汇总数据，探究问题的结果。

5、同学们会发现组与组之间的数据相差悬殊

问：根据什么情形的频率估计π的值概率?﹙累加，可使次数变大﹚

问:：会发现什么结论?﹙ 的值接近3.14﹚此时同学们的情绪会高涨。

引导学生猜想：

①是否次数越多，值越接近圆周率？

②改变撒米粒数的多少，结果会怎样?

③米粒可以用其他的物体代替吗？

④改变正方形的边长，结果会怎样? 

为了提高π的估计值，你认为还可以怎么做？带着问题,学生会急于探究结果

问：能否将各组数据进行累加，估计该事件发生的概率?

﹙不同条件下的实验数据不能累加﹚

[21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站] 引导学生猜想：概率与m、n有关,与圆周率是否有关?

让学生课外阅读圆周率的相关计算方法，深层次扩大知识程度。

1、如图5，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm， 6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是多少？

2、如图6，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转 动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则

P(3)         [21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站]   P(4),(填“>”、“=”或“<”)。

1、如图5，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm， 6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是多少？

2、如图6，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转 动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则

P(3)         [21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站]   P(4),(填“>”、“=”或“<”)。

联系前几节的试验，你得到哪些启示？﹙引导学生﹚

1、事件发生的可能结果有无限多个，怎么求概率？

①试验次数较大时，试验频率稳定于某一试验概率。

②可以通过大量重复实验估计事件发生的概率。

2、你对在试验中的合作交流，动手操作，有何体会？

①数学有趣，复杂的问题中有朴素的数学思想。

②以后会更加积极地投入数学学习。

书152页 综合运用