25.3 用频率估计概率教案和课堂实录

地区： 天津市 - 天津市 - 和平区

学校：天津市第十九中学

25.3 用频率估计概率 初中数学       人教2011课标版

1．理解大量重复试验时，用频率估计概率的合理性；能够选取随机事件发生频率的稳定值估计概率。

2. 通过 “掷硬币”试验和模拟试验，探究频率的稳定性规律，培养学生根据频率的集中趋势估计概率的能力。

3.通过亲身参与数学实践活动，积累数学活动的经验，感受学习的快乐，不断养成独立思考、合作交流的学习习惯。

在七年级时学生学习了用全面调查、抽样调查的方法收集数据，用简单的统计图表整理和描述数据，对统计活动的基本过程已经比较熟悉，有能力开展试验活动，统计分析试验数据。在本章前两节，学习了利用列举法求古典概率，具备了学习本节课的基础。但是如何去研究不能用列举法计算的随机事件的概率，学生没有这方面的学习经历，这就需要教师创设探究活动，让学生积极参与，主动探究，发现规律，积累活动经验。

重点：理解会用频率去估计概率的合理性。

难点：1.大量重复试验得到频率的稳定值的分析；2.频率与概率的区别与联系

1．理解大量重复试验时，用频率估计概率的合理性；能够选取随机事件发生频率的稳定值估计概率。

2. 通过 “掷硬币”试验和模拟试验，探究频率的稳定性规律，培养学生根据频率的集中趋势估计概率的能力。

3.通过亲身参与数学实践活动，积累数学活动的经验，感受学习的快乐，不断养成独立思考、合作交流的学习习惯。

重点：理解会用频率去估计概率的合理性。

难点：1.大量重复试验得到频率的稳定值的分析；2.频率与概率的区别与联系

问题1： 当一次试验中，所有可能出现的结果是有限多个，并且各种结果出现的可能性相等，我们可以用什么方法求概率？

问题2：从一定高度落下的图钉，落地后可能钉尖着地，也可能钉尖不着地，能用列举法求钉尖着地的概率吗？为什么？

    设计意图：通过回答问题1，复习列举法求概率的条件即古典概率的含义，为本节课的学习做铺垫；通过问题2的回答，使学生意识到古典概率不能求出所有随机事件的概率，像这样“出现的可能结果不是有限个，或者各种结果出现的可能性不相等”的随机事件概率又该如何去求？使学生认知发生冲突。

    继而教师指出，我们可以利用多次重复试验，通过统计试验结果的频率去估计概率。那么为什么可以这样做呢？引出课题“用频率估计概率”

    设计意图：使学生体会到学习“用频率估计概率”的必要性，通过一句反问，激发学生继续学习的欲望。

    1.分组试验（抛掷硬币）：把全班分成10组，每组三人，每组一枚硬币，统计“抛掷一枚硬币正面向上”的情况。

①每组一人抛掷硬币50次，组长做记录，第三名同学观察试验必须在同样条件下进行。

②每个小组的组长汇总50次试验的结果，并报给老师，完成统计表1：表1

完成表1后师生一起合作完成表2.③把第1组的试验数据记录在表格第一列，第1、2组的试验数据之和记录在表格第二列，第1、2、3组的试验数据之和记录在表格第三列……，完成统计表2：

表2

填写表2时，利用Excel计算出频率，并自动绘制频率折线图。略

教师提出问题：

思考1：同样抛50次，为什么各组正面向上的次数不完全相等？（加深对正面向上的随机性的理解，从而知道频率是随机的）

    思考2：观察频率折线图，思考“正面向上”的频率有什么规律？（随着试验次数的不同，频率呈现出波动性，并且次数越大，波动越小）

2. 历史上，有些科学家曾经做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果见表3.并利用Excel绘制频率折线图。

表3

   观察频率折线图，回答：

思考3：与刚才的试验数据对比，随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率变化趋势有什么规律？（随着抛掷次数的增加，正面向上的频率呈现一定的稳定性，在0.5左右摆动的幅度越来越小。这时，我们称正面向上的频率稳定于0.5）

思考4：频率的这个稳定值与用列举法得出的概率值有什么关系？（同一数值因此，可以把频率稳定值作为概率。）

    设计意图：让学生经历抛硬币的试验，体验正面向上的随机性，给出历史数据并与之前的试验数据对比，体会到虽然不同次数的试验中正面向上的频率会有所波动，但当试验次数增加时，频率趋于稳定，而且稳定于它的古典概率值。从而体会到用频率估计概率是合理的。

    教师说明：用频率估计概率得到的是概率的估计值，要想使得到的概率值更精确，就需要进行大量的重复试验，而我们做的试验次数远远不够多，并且做大量重复试验比较费时费力，为了解决这个问题，我们可以借助多媒体技术，进行模拟。下面就一起来体验用计算机模拟“摸球”、“转转盘”的试验：

要求：（1）先用列举法求出事件的概率；（2）选一位同学扮演试验操作员输入试验次数，试验次数由其他同学选取，要求输入的次数要比上一次试验次数多；（3）让电脑模拟试验，绘制图形，所有学生观察随着试验次数的增加，频率的变化规律。

    设计意图：师生一起借助多媒体技术，多次进行大量的重复试验，并绘制事件的频率折线图，让学生直观形象的看到事件发生的频率随着试验次数的增加而呈现出的稳定性，即频率会随着试验次数的变化而变化，但随着试验次数的增加，频率越来越集中在一个常数附近，这个常数就是它的概率。至此学生进一步理解了用频率估计概率的合理性与正确性，突破了难点

1.归纳提炼：

    师生一起归纳得出概率的统计定义并板书在黑板上。

概率的统计定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p

    提出问题思考1：概率的统计定义给出了估计随机事件概率的方法。那么这种方法应用的前提条件是什么？解决问题的关键是什么？

（这种方法应用的前提条件是：在同等条件下，需要做大量的重复试验。解决问题的关键是通过大量重复试验找出频率的稳定值）

思考2：概率的统计定义与概率的古典定义都给出了求随机事件概率的方法。那么两种方法各有社么特点？

（概率的古典定义应用时需要满足有限性与等可能性，应用范围较窄，但是求出的是概率的准确值。概率的统计定义应用时没有条件限制，应用范围较广，但通常情况下求出的是概率的估计值）

设计意图：通过两个思考的讨论交流，更深刻的认识概率的统计定义应用的范围及步骤，辨析它与古典概率的区别与联系，进一步的突出重点，突破难点。

2.运用规律

下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果。

(1)计算表中的投中频率（精确到0.01）

(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？

设计意图：设计这个问题让学生求出投中的频率，然后能够根据要求选择频率的稳定值估计投中的概率，体会用频率估计概率的方法解决问题。

小结：这节课你学到了什么？谈一谈你的认识与体会。

弄清了一种关系：频率与概率的关系

了解了一种方法：用多次试验的频率去估计概率

注意一个细节：频率的精确度与概率的精确度

体会了一种思想：用频率去估计概率，用样本去估计总体

设计意图：鼓励学生大胆发言，可以从知识、过程、方法等各个方面进行小结反思，在此过程中让学生互相倾听，互相交流，建立知识结构，教师可以通过学生的总结，反思本节课目标的达成。

作业：教材145页习题1，回答出即可；145页习题2，学小组生动手试验，组内交流；146页习题3

设计意图：巩固用频率估计概率的知识，也是为了将数学学习由课堂延伸到课后。

25.3 用频率估计概率

25.3 用频率估计概率

1．理解大量重复试验时，用频率估计概率的合理性；能够选取随机事件发生频率的稳定值估计概率。

2. 通过 “掷硬币”试验和模拟试验，探究频率的稳定性规律，培养学生根据频率的集中趋势估计概率的能力。

3.通过亲身参与数学实践活动，积累数学活动的经验，感受学习的快乐，不断养成独立思考、合作交流的学习习惯。

重点：理解会用频率去估计概率的合理性。

难点：1.大量重复试验得到频率的稳定值的分析；2.频率与概率的区别与联系

问题1： 当一次试验中，所有可能出现的结果是有限多个，并且各种结果出现的可能性相等，我们可以用什么方法求概率？

问题2：从一定高度落下的图钉，落地后可能钉尖着地，也可能钉尖不着地，能用列举法求钉尖着地的概率吗？为什么？

    设计意图：通过回答问题1，复习列举法求概率的条件即古典概率的含义，为本节课的学习做铺垫；通过问题2的回答，使学生意识到古典概率不能求出所有随机事件的概率，像这样“出现的可能结果不是有限个，或者各种结果出现的可能性不相等”的随机事件概率又该如何去求？使学生认知发生冲突。

    继而教师指出，我们可以利用多次重复试验，通过统计试验结果的频率去估计概率。那么为什么可以这样做呢？引出课题“用频率估计概率”

    设计意图：使学生体会到学习“用频率估计概率”的必要性，通过一句反问，激发学生继续学习的欲望。

    1.分组试验（抛掷硬币）：把全班分成10组，每组三人，每组一枚硬币，统计“抛掷一枚硬币正面向上”的情况。

①每组一人抛掷硬币50次，组长做记录，第三名同学观察试验必须在同样条件下进行。

②每个小组的组长汇总50次试验的结果，并报给老师，完成统计表1：表1

完成表1后师生一起合作完成表2.③把第1组的试验数据记录在表格第一列，第1、2组的试验数据之和记录在表格第二列，第1、2、3组的试验数据之和记录在表格第三列……，完成统计表2：

表2

填写表2时，利用Excel计算出频率，并自动绘制频率折线图。略

教师提出问题：

思考1：同样抛50次，为什么各组正面向上的次数不完全相等？（加深对正面向上的随机性的理解，从而知道频率是随机的）

    思考2：观察频率折线图，思考“正面向上”的频率有什么规律？（随着试验次数的不同，频率呈现出波动性，并且次数越大，波动越小）

2. 历史上，有些科学家曾经做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果见表3.并利用Excel绘制频率折线图。

表3

   观察频率折线图，回答：

思考3：与刚才的试验数据对比，随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率变化趋势有什么规律？（随着抛掷次数的增加，正面向上的频率呈现一定的稳定性，在0.5左右摆动的幅度越来越小。这时，我们称正面向上的频率稳定于0.5）

思考4：频率的这个稳定值与用列举法得出的概率值有什么关系？（同一数值因此，可以把频率稳定值作为概率。）

    设计意图：让学生经历抛硬币的试验，体验正面向上的随机性，给出历史数据并与之前的试验数据对比，体会到虽然不同次数的试验中正面向上的频率会有所波动，但当试验次数增加时，频率趋于稳定，而且稳定于它的古典概率值。从而体会到用频率估计概率是合理的。

    教师说明：用频率估计概率得到的是概率的估计值，要想使得到的概率值更精确，就需要进行大量的重复试验，而我们做的试验次数远远不够多，并且做大量重复试验比较费时费力，为了解决这个问题，我们可以借助多媒体技术，进行模拟。下面就一起来体验用计算机模拟“摸球”、“转转盘”的试验：

要求：（1）先用列举法求出事件的概率；（2）选一位同学扮演试验操作员输入试验次数，试验次数由其他同学选取，要求输入的次数要比上一次试验次数多；（3）让电脑模拟试验，绘制图形，所有学生观察随着试验次数的增加，频率的变化规律。

    设计意图：师生一起借助多媒体技术，多次进行大量的重复试验，并绘制事件的频率折线图，让学生直观形象的看到事件发生的频率随着试验次数的增加而呈现出的稳定性，即频率会随着试验次数的变化而变化，但随着试验次数的增加，频率越来越集中在一个常数附近，这个常数就是它的概率。至此学生进一步理解了用频率估计概率的合理性与正确性，突破了难点

1.归纳提炼：

    师生一起归纳得出概率的统计定义并板书在黑板上。

概率的统计定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p

    提出问题思考1：概率的统计定义给出了估计随机事件概率的方法。那么这种方法应用的前提条件是什么？解决问题的关键是什么？

（这种方法应用的前提条件是：在同等条件下，需要做大量的重复试验。解决问题的关键是通过大量重复试验找出频率的稳定值）

思考2：概率的统计定义与概率的古典定义都给出了求随机事件概率的方法。那么两种方法各有社么特点？

（概率的古典定义应用时需要满足有限性与等可能性，应用范围较窄，但是求出的是概率的准确值。概率的统计定义应用时没有条件限制，应用范围较广，但通常情况下求出的是概率的估计值）

设计意图：通过两个思考的讨论交流，更深刻的认识概率的统计定义应用的范围及步骤，辨析它与古典概率的区别与联系，进一步的突出重点，突破难点。

2.运用规律

下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果。

(1)计算表中的投中频率（精确到0.01）

(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？

设计意图：设计这个问题让学生求出投中的频率，然后能够根据要求选择频率的稳定值估计投中的概率，体会用频率估计概率的方法解决问题。

小结：这节课你学到了什么？谈一谈你的认识与体会。

弄清了一种关系：频率与概率的关系

了解了一种方法：用多次试验的频率去估计概率

注意一个细节：频率的精确度与概率的精确度

体会了一种思想：用频率去估计概率，用样本去估计总体

设计意图：鼓励学生大胆发言，可以从知识、过程、方法等各个方面进行小结反思，在此过程中让学生互相倾听，互相交流，建立知识结构，教师可以通过学生的总结，反思本节课目标的达成。

作业：教材145页习题1，回答出即可；145页习题2，学小组生动手试验，组内交流；146页习题3

设计意图：巩固用频率估计概率的知识，也是为了将数学学习由课堂延伸到课后。