信息技术应用 探索二次函数的性质课时教学实录

地区： 河南省 - 许昌市 - 鄢陵县

学校：鄢陵县初级中学

信息技术应用　探索二次函… 初中数学       人教2011课标版

 [活动1] 检查预习  引出课题

预习作业：

1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0; (4) x2－2x－2=0.

2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解.

[活动2] 创设情境 探究新知

问题

1．课本P16  问题.

2．结合图形指出，为什么有两个时间球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间球的高度是20m?

（结合预习题1，完成课本P16 观察中的题目。）

二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点

一元二次方程ax2+bx+c=0的根

一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2－4ac

 两个交点

两个相异的实数根

 b2－4ac > 0

 一个交点

 两个相等的实数根

 b2－4ac = 0

 没有交点

 没有实数根

 b2－4ac < 0

[活动3] 例题学习 巩固提高

问题： 例  利用函数图象求方程x2－2x－2=0的实数根（精确到0.1）.

。例1、 (江西)已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程 的解为         ．

解析：因为二次方程 的根为二次函数 的图象与x轴交点横坐标。根据已知条件  ，可知抛物线的对称轴为直线 ；根据图象可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标为 ，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程 的解为3和－1。本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。

例2．（宁夏） 二次函数 是常数 中，自变量 与函数 的对应值如下表：

1

2

3

1

1

（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．

（2）一元二次方程 是常数 的两个根 的取值范围是下列选项中的哪一个              ．

①                ②

③                ④

解析：本题以表格的形式给出二次函数 的部分对应值，解题时可以选定三对值，求出二次函数解析式，再判断开口方向，求出顶点坐标。但这样去做计算量较大，观察表格的特征发现，与 等距离的x对应的函数值相等，所以直线 是抛物线的对称轴，因此抛物线的顶点坐标为（1，2）；观察表格发现：当 时，y随着x的增大而减小，当 时，y随着x的增大而增大，所以抛物线的开口向下。（2）一元二次方程 是常数 的根即为抛物线 与x轴交点的横坐标，观察表格发现： 与0之间一定有一个x的值，使 ＝0；2与 之间一定有一个x的值，使 ＝0，所以 的两根 的取值范围是 ，故答案为③

例3．（内江）已知函数 的图象如图所示，那么关于 的方程 的根的情况是（    ）

A．无实数根                                 B．有两个相等实数根

C．有两个异号实数根                 D．有两个同号不等实数根

解析：本题以图象的形式给出信息,要判断关于 的方程 的根的情况，因为 可化为 ，即 ，所以，方程 的根即为抛物线与直线y＝－2的交点横坐标，作直线y=－2，观察图象可知直线与抛物线的交点在第四象限，因此交点横坐标都为正，故答案为D。本题把方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标。

例4．(贵阳)二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程 的两个根．　

（2）写出不等式 的解集．　

（3）写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围．　

（4）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围．　

解析：本题以图象的形式给出信息,考查了二次函数、二次方程、二次不等式这三个二次之间的关系。（1）方程 的根即抛物线 与x轴交点的横坐标，观察图象得方程 的两根为 ， ；（2）不等式 的解集即抛物线 位于x轴上方的那一段的x的范围，观察图象得不等式 的解集为 ；（3）抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为 ，结合图象得对称轴右边 随 的增大而减小，所以 ；（4）方程 的解为抛物线 与直线 的交点，所以当 时，抛物线与直线有两个交点，即方程 有两个不相等的实数根的 的取值范围是 。[活动4] 练习反馈  巩固新知

问题：（1）  P97．习题 1、2（1）。

[活动5] 自主小结，深化提高：

1．通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识和方法？

2．这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知识的方法和经验。

活动6] 分层作业，发展个性：

信息技术应用　探索二次函数的性质

信息技术应用　探索二次函数的性质

 [活动1] 检查预习  引出课题

预习作业：

1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0; (4) x2－2x－2=0.

2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解.

[活动2] 创设情境 探究新知

问题

1．课本P16  问题.

2．结合图形指出，为什么有两个时间球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间球的高度是20m?

（结合预习题1，完成课本P16 观察中的题目。）

二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点

一元二次方程ax2+bx+c=0的根

一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2－4ac

 两个交点

两个相异的实数根

 b2－4ac > 0

 一个交点

 两个相等的实数根

 b2－4ac = 0

 没有交点

 没有实数根

 b2－4ac < 0

[活动3] 例题学习 巩固提高

问题： 例  利用函数图象求方程x2－2x－2=0的实数根（精确到0.1）.

。例1、 (江西)已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程 的解为         ．

解析：因为二次方程 的根为二次函数 的图象与x轴交点横坐标。根据已知条件  ，可知抛物线的对称轴为直线 ；根据图象可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标为 ，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程 的解为3和－1。本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。

例2．（宁夏） 二次函数 是常数 中，自变量 与函数 的对应值如下表：

1

2

3

1

1

（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．

（2）一元二次方程 是常数 的两个根 的取值范围是下列选项中的哪一个              ．

①                ②

③                ④

解析：本题以表格的形式给出二次函数 的部分对应值，解题时可以选定三对值，求出二次函数解析式，再判断开口方向，求出顶点坐标。但这样去做计算量较大，观察表格的特征发现，与 等距离的x对应的函数值相等，所以直线 是抛物线的对称轴，因此抛物线的顶点坐标为（1，2）；观察表格发现：当 时，y随着x的增大而减小，当 时，y随着x的增大而增大，所以抛物线的开口向下。（2）一元二次方程 是常数 的根即为抛物线 与x轴交点的横坐标，观察表格发现： 与0之间一定有一个x的值，使 ＝0；2与 之间一定有一个x的值，使 ＝0，所以 的两根 的取值范围是 ，故答案为③

例3．（内江）已知函数 的图象如图所示，那么关于 的方程 的根的情况是（    ）

A．无实数根                                 B．有两个相等实数根

C．有两个异号实数根                 D．有两个同号不等实数根

解析：本题以图象的形式给出信息,要判断关于 的方程 的根的情况，因为 可化为 ，即 ，所以，方程 的根即为抛物线与直线y＝－2的交点横坐标，作直线y=－2，观察图象可知直线与抛物线的交点在第四象限，因此交点横坐标都为正，故答案为D。本题把方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标。

例4．(贵阳)二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程 的两个根．　

（2）写出不等式 的解集．　

（3）写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围．　

（4）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围．　

解析：本题以图象的形式给出信息,考查了二次函数、二次方程、二次不等式这三个二次之间的关系。（1）方程 的根即抛物线 与x轴交点的横坐标，观察图象得方程 的两根为 ， ；（2）不等式 的解集即抛物线 位于x轴上方的那一段的x的范围，观察图象得不等式 的解集为 ；（3）抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为 ，结合图象得对称轴右边 随 的增大而减小，所以 ；（4）方程 的解为抛物线 与直线 的交点，所以当 时，抛物线与直线有两个交点，即方程 有两个不相等的实数根的 的取值范围是 。[活动4] 练习反馈  巩固新知

问题：（1）  P97．习题 1、2（1）。

[活动5] 自主小结，深化提高：

1．通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识和方法？

2．这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知识的方法和经验。

活动6] 分层作业，发展个性：