陈强 地区: 四川省 - 自贡市 - 沿滩区 学校:四川省自贡市沿滩区沿滩中学校 共1课时信息技术应用 探索二次函… 初中数学 人教2011课标版 1教学目标二次函数的复习 二次函数的系数符号问题 1.(10广东深圳)如图,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,其中A(-2,0),B(-1, -3). (1)求抛物线的解析式; (2)点M为y轴上任意一点,当点M到A、B两点的距离之和为最小时,求此时点M的坐标; (3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立,求点P的坐标. 答案:(1)、因为点A、B均在抛物线上,故点A、B的坐标适合抛物线方程 ∴ 解之得: ;故 为所求 (2)如图2,连接BD,交y轴于点M,则点M就是所求作的点 设BD的解析式为 ,则有 , , 故BD的解析式为 ;令 则 ,故 (3)、如图3,连接AM,BC交y轴于点N,由(2)知,OM=OA=OD=2, 易知BN=MN=1, 易求 ;设 , 依题意有: ,即: 解之得: , ,故 符合条件的P点有三个: 2 . (10北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y= - x2+ x+m2-3m+2 与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上。 (1) 求点B的坐标; (2) 点P在线段OA上,从O点出发向点运动,过P点作x轴的 垂线,与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。 以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动 时,C点、D点也随之运动) j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求 OP的长; k 若P点从O点出发向A点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止 运动,P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线,与直线AB交于点F。延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时,M点,N点也随之运动)。若P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值。 答案:解:(1) ∵拋物线y= - x2+ x+m2-3m+2经过原点, ∴m2-3m+2=0,解得m1=1,m2=2, 由题意知m¹1,∴m=2, ∴拋物线的解析式为y= - x2+ x, ∵点B(2,n)在拋物线 y= - x2+ x上, ∴n=4,∴B点的坐标为(2,4)。 (2) j 设直线OB的解析式为y=k1x,求得直线OB的解析式为 y=2x, ∵A点是拋物线与x轴的一个交点, 可求得A点的坐标为(10,0), 设P点的坐标为(a,0),则E点的坐标为(a,2a), 根据题意作等腰直角三角形PCD,如图1。 可求得点C的坐标为(3a,2a), 由C点在拋物线上,得2a= - ´(3a)2+ ´3a, 即 a2- a=0,解得a1= ,a2=0 (舍去), ∴OP= 。 k 依题意作等腰直角三角形QMN,设直线AB的解析式为y=k2x+b, 由点A(10,0),点B(2,4), 求得直线AB的解析式为y= - x+5, 当P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上, 有以下三种情况: 第一种情况:CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。 此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。 ∴PQ=DP=4t,∴t+4t+2t=10,∴t= 。 第二种情况:PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。 此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10-2t, ∵F点在直线AB上,∴FQ=t,∴MQ=2t,∴PQ=MQ=CQ=2t,∴t+2t+2t=10,∴t=2。 第三种情况:点P、Q重合时,PD、QM在同一条直线上,如图4所示。 此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。 ∴t+2t=10,∴t= 。 综上,符合题意的 t值分别为 ,2, 。 3.(10贵州遵义)如图,已知抛物线 的顶点坐 标为Q ,且与 轴交于点C ,与 轴交于A、B两 点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上一动点,从点C 沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD∥ 轴, 交AC于点D. (1)求该抛物线的函数关系式; (2)当△ADP是直角三角形时,求点P的坐标; (3)在问题(2)的结论下,若点E在 轴上,点F在抛物线上, 问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?若存在, 求点F的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1) ∵抛物线的顶点为Q(2,-1) ∴设 将C(0,3)代入上式,得 ∴ , 即 (2)分两种情况: ①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图) 令 =0, 得 解之得 , ∵点A在点B的右边, ∴B(1,0), A(3,0) ∴P1(1,0) ②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图) ∵OA=OC, ∠AOC= , ∴∠OAD2= 当∠D2AP2= 时, ∠OAP2= , ∴AO平分∠D2AP2 又∵P2D2∥ 轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于 轴对称. 设直线AC的函数关系式为 将A(3,0), C(0,3)代入上式得 , ∴ ∴ ∵D2在 上, P2在 上, ∴设D2( , ), P2( , ) ∴( )+( )=0 , ∴ , (舍) ∴当 =2时, = =-1 ∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点) ∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1) (3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形 当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时, 平移直线AP(如图)交 轴于点E,交抛物线于点F. 当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形 ∵P(2,-1), ∴可令F( ,1) ∴ 解之得: , ∴F点有两点,即F1( ,1), F2( ,1) 4.(10湖北黄冈)已知抛物线 顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线 作垂线,垂足为M,连FM(如图). (1)求字母a,b,c的值; (2)在直线x=1上有一点 ,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形; (3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由. 答案:(1)a=-1,b=2,c=0 (2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为 ,横坐标为 .此时,MP=MF=PF=1,故△MPF为正三角形. (3)不存在.因为当t< ,x<1时,PM与PN不可能相等,同理,当t> ,x>1时,PM与PN不可能相等. 5.(10辽宁丹东)如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4). (1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A, 点N的对应点为B, 点H的对应点为C); (2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式; (3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由; (4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由. 答案:(1) 利用中心对称性质,画出梯形OABC. ∵A,B,C三点与M,N,H分别关于点O中心对称, ∴A(0,4),B(6,4),C(8,0) (写错一个点的坐标扣1分) (2)设过A,B,C三点的抛物线关系式为 , ∵抛物线过点A(0,4), ∴ .则抛物线关系式为 . 将B(6,4), C(8,0)两点坐标代入关系式,得
解得 所求抛物线关系式为: . (3)∵OA=4,OC=8,∴AF=4-m,OE=8-m. ∴ OA(AB+OC) AF·AG OE·OF CE·OA
( 0< <4) ∵ . ∴当 时,S的取最小值. 又∵0<m<4,∴不存在m值,使S的取得最小值. (4)当 时,GB=GF,当 时,BE=BG. 6.已知:函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点. (1)求这个函数关系式; (2)如图所示,设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A,P为图象上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标; (3)在(2)中,若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上,若在抛物线上,求出M点的坐标;若不在,请说明理由. 答案:解:(1)当a = 0时,y = x+1,图象与x轴只有一个公共点……… 当a≠0时,△=1- 4a=0,a = ,此时,图象与x轴只有一个公共点. ∴函数的解析式为:y=x+1 或`y=x2+x+1…… (2)设P为二次函数图象上的一点,过点P作PC⊥x 轴于点C. ∵是二次函数,由(1)知该函数关系式为: y=x2+x+1,则顶点为B(-2,0),图象与y轴的交点 坐标为A(0,1)∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ∴ ,故PC=2BC,设P点的坐标为(x,y),∵∠ABO是锐角,∠PBA是直角,∴∠PBO是钝角,∴x<-2 ∴BC=-2-x,PC=-4-2x,即y=-4-2x, P点的坐标为(x,-4-2x) ∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上,∴-4-2x=x2+x+1解之得:x1=-2,x2=-10 ∵x<-2 ∴x=-10,∴P点的坐标为:(-10,16)(3)点M不在抛物线上由(2)知:C为圆与x 轴的另一交点,连接CM,CM与直线PB的交点为Q,过点M作x轴的垂线,垂足为D,取CD的中点E,连接QE,则CM⊥PB,且CQ=MQ ∴QE∥MD,QE=MD,QE⊥CE ∵CM⊥PB,QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB ∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = CE=2QE=2×2BE=4BE,又CB=8,故BE=,QE= ∴Q点的坐标为(-,) 可求得M点的坐标为(,) ∵=≠ ∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上 7.(10重庆潼南)如图, 已知抛物线 与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1). (1)求抛物线的解析式; (2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标; (3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由. 答案:解:(1)∵二次函数 的图像经过点A(2,0)C(0,-1) ∴ 解得: b=- c=-1 ∴二次函数的解析式为 (2)设点D的坐标为(m,0) (0<m<2) ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得, ∴ ∴DE= ∴△CDE的面积= × ×m = = 当m=1时,△CDE的面积最大 ∴点D的坐标为(1,0) (3)存在 由(1)知:二次函数的解析式为 设y=0则 解得:x1=2 x2=-1 ∴点B的坐标为(-1,0) C(0,-1) 设直线BC的解析式为:y=kx+b ∴ 解得:k=-1 b=-1 ∴直线BC的解析式为: y=-x-1 在Rt△AOC中,∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得:AC= ∵点B(-1,0) 点C(0,-1) ∴OB=OC ∠BCO=450 ①当以点C为顶点且PC=AC= 时, 设P(k, -k-1) 过点P作PH⊥y轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2= 解得k1= , k2=- ∴P1( ,- ) P2(- , ) ②以A为顶点,即AC=AP= 设P(k, -k-1) 过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2-k∣ GP=∣-k-1∣ 在Rt△APG中 AG2+PG2=AP2 (2-k)2+(-k-1)2=5 解得:k1=1,k2=0(舍) ∴P3(1, -2) ③以P为顶点,PC=AP设P(k, -k-1) 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ∴L(k,0) ∴△QPC为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA= k ∴AL=∣k-2∣, PL=|-k-1| 在Rt△PLA中 ( k)2=(k-2)2+(k+1)2 解得:k= ∴P4( ,- ) 综上所述: 存在四个点:P1( ,- ) P2(- , ) P3(1, -2) P4( ,- ) 8 . (10山东临沂)如图,二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(- ,0)、 B(2,0)两点,且与y轴交于点C; (1) 求该拋物线的解析式,并判断△ABC的形状; (2) 在x轴上方的拋物线上有一点D,且以A、C、D、B四 点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出D点的坐标; (3) 在此拋物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点 为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。 答案:[解] (1) 根据题意,将A(- ,0),B(2,0)代入y= -x2+ax+b中,得 ,解这个 方程,得a= ,b=1,∴该拋物线的解析式为y= -x2+ x+1,当 x=0时,y=1, ∴点C的坐标为(0,1)。∴在△AOC中,AC= = = 。 在△BOC中,BC= = = 。 AB=OA+OB= +2= ,∵AC 2+BC 2= +5= =AB 2,∴△ABC是直角三角形。 (2) 点D的坐标为( ,1)。 (3) 存在。由(1)知,AC^BC。 j 若以BC为底边,则BC//AP,如图1所示,可求得直线 BC的解析式为y= - x+1,直线AP可以看作是由直线 BC平移得到的,所以设直线AP的解析式为y= - x+b, 把点A(- ,0)代入直线AP的解析式,求得b= - , ∴直线AP的解析式为y= - x- 。∵点P既在拋物线上,又在直线AP上, ∴点P的纵坐标相等,即-x2+ x+1= - x- ,解得x1= , x2= - (舍去)。当x= 时,y= - ,∴点P( ,- )。 k 若以AC为底边,则BP//AC,如图2所示。 可求得直线AC的解析式为y=2x+1。 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的, 所以设直线BP的解析式为y=2x+b,把点B(2,0)代 入直线BP的解析式,求得b= -4, ∴直线BP的解析式为y=2x-4。∵点P既在拋物线 上,又在直线BP上,∴点P的纵坐标相等, 即-x2+ x+1=2x-4,解得x1= - ,x2=2(舍去)。 当x= - 时,y= -9,∴点P的坐标为(- ,-9)。 综上所述,满足题目条件的点P为( ,- )或(- ,-9)。 9.(10山东潍坊)如图所示,抛物线与 轴交于点 两点,与 轴交于点 以 为直径作 过抛物线上一点 作 的切线 切点为 并与 的切线 相交于点 连结 并延长交 于点 连结 (1)求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标; (2)若四边形 的面积为 求直线 的函数关系式; (3)抛物线上是否存在点 ,使得四边形 的面积等于 的面积?若存在,求出点 的坐标;若不存在,说明理由. 答案:解:(1)因为抛物线与 轴交于点 两点,设抛物线的函数关系式为: ∵抛物线与 轴交于点 ∴ ∴ 所以,抛物线的函数关系式为: 又 因此,抛物线的顶点坐标为 (2)连结 ∵ 是 的两条切线, ∴ ∴ 又四边形 的面积为 ∴ ∴ 又 ∴ 因此,点 的坐标为 或 当 点在第二象限时,切点 在第一象限. 在直角三角形 中, ∴ ∴ 过切点 作 垂足为点 ∴ 因此,切点 的坐标为 设直线 的函数关系式为 将 的坐标代入得 解之,得 所以,直线 的函数关系式为 当 点在第三象限时,切点 在第四象限. 同理可求:切点 的坐标为 直线 的函数关系式为 因此,直线 的函数关系式为 或 (3)若四边形 的面积等于 的面积 又 ∴ ∴ 两点到 轴的距离相等, ∵ 与 相切,∴点 与点 在 轴同侧, ∴切线 与 轴平行, 此时切线 的函数关系式为 或 当 时,由 得, 当 时,由 得, 故满足条件的点 的位置有4个,分别是
说明:本参考答案给出了一种解题方法,其它正确方法应参考标准给出相应分数. 10.(10山东省淄博)已知直角坐标系中有一点A(-4,3),点B在x轴上,△AOB是等腰三角形. (1)求满足条件的所有点B的坐标; (2)求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数表达式(只需求出满足条件的一条即可); (3)在(2)中求出的抛物线上存在点P,使得以O,A,B,P四点为顶点的四边形是梯形,求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积. 【答案】解:作AC⊥x轴,由已知得OC=4,AC=3,OA= =5. (1)当OA=OB=5时, 如果点B在x轴的负半轴上,如图(1),点B的坐标为(-5,0). 如果点B在x轴的正半轴上,如图(2),点B的坐标为(5,0). 当OA=AB时,点B在x轴的负半轴上,如图(3),BC=OC,则OB=8,点B的坐标为(-8,0). 当AB=OB时,点B在x轴的负半轴上,如图(4),在x轴上取点D,使AD=OA,可知OD=8.由∠AOB=∠OAB=∠ODA,可知△AOB∽△ODA,则 ,解得OB= ,点B的坐标为(- ,0). (2)当AB=OA时,抛物线过O(0,0),A(-4,3),B(-8,0)三点,设抛物线的函数表达式为 ,可得方程组 ,解得a= , , . (当OA=OB时,同理得 . (3)当OA=AB时,若BP∥OA,如图(5),作PE⊥x轴,则∠AOC=∠PBE,∠ACO=∠PEB=90°,△AOC∽△PBE, .设BE=4m,PE=3m,则点P的坐标为(4m-8,-3m),代入 ,解得m=3. 则点P的坐标为(4,-9), S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=48. 若OP∥AB(图略),根据抛物线的对称性可得点P的坐标为(-12,-9), S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=48. (当OA=OB时,若BP∥OA,如图(6),作PF⊥x轴,则∠AOC=∠PBF,∠ACO=∠PFB=90°,△AOC∽△PBF, .设BF=4m,PF=3m,则点P的坐标为(4m-5,-3m),代入 ,解得m= . 则点P的坐标为(1,- ), S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO= . 若OP∥AB(图略),作PF⊥x轴,则∠ABC=∠POF,∠ACB=∠PFO=90°,△ABC∽△POF, .设点P的坐标为(-n,-3n),代入 ,解得n=9.则点P的坐标为(-9,-27),S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=75. 11. (10广西河池) 如图11,在直角梯形 中, ∥ , ,点 为坐标原点,点 在 轴的正半轴上,对角线 , 相交于点 , , . (1)线段 的长为 ,点 的坐标为 ; (2)求△ 的面积; (3)求过 , , 三点的抛物线的解析式; (4)若点 在(3)的抛物线的对称轴上,点 为该 抛物线上的点,且以 , , , 四点为顶点的四边形 为平行四边形,求点 的坐标. 答案:解:(1)4 ; . (2)在直角梯形OABC中,OA=AB=4, ∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM 又 ∵ OA=2BC ∴ AM=2CM ,CM= AC 所以 (注:另有其它解法同样可得结果,正确得本小题满分.) (3)设抛物线的解析式为 由抛物线的图象经过点 , , .所以
解这个方程组,得 , , 所以抛物线的解析式为 (4)∵ 抛物线 的对称轴是CD, ① 当点E在 轴的下方时,CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形,此时点F和点C重合,点F的坐标即为点 ; ② 当点E在 轴的下方,点F在对称轴 的右侧,存在平行四边形 , ∥ ,且 ,此时点F的横坐标为6,将 代入 ,可得 .所以 . 同理,点F在对称轴 的左侧,存在平行四边形 , ∥ ,且 ,此时点F的横坐标为 ,将 代入 ,可得 .所以 . 综上所述,点F的坐标为 , . 12.(10广西桂林)如图,过A(8,0)、B(0, [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] )两点的直线与直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 交于点C.平行于 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 轴的直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 轴向右平移,到C点时停止; [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 分别交线段BC、OC于点D、E,以DE为边向左侧作等边△ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] DEF,设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S(平方单位),直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 的运动时间为t( [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 秒). (1)直接写出C点坐标和t的取值范围; (2)求S与t的函数关系式; (3)设直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 与 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 轴交于点P,是否存在这样的点P,使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形,若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:解(1)C(4, [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ) [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 的取值范围是:0≤ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ≤4 (2)∵D点的坐标是( [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] , [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ),E的坐标是( [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] , [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ) ∴DE= [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] - [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ∴等边△DEF的DE边上的高为: [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ∴当点F在BO边上时: [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ,∴ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] =3 ① 当0≤ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] <3时,重叠部分为等腰梯形,可求梯形上底为: [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] - [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] S= [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ② 当3≤ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ≤4时,重叠部分为等边三角形 S= [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] (3)存在,P( [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ,0) 说 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 明:∵FO≥ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ,FP≥ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ,OP≤4 ∴以P,O,F以顶点的等腰三角形,腰只有可能是FO,FP, 若FO=FP时, [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] =2(12-3 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ), [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ,∴P( [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ,0) 信息技术应用 探索二次函数的性质 课时设计 课堂实录信息技术应用 探索二次函数的性质 1第一学时 教学活动 活动1【讲授】二次函数的复习1.(10广东深圳)如图,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,其中A(-2,0),B(-1, -3). (1)求抛物线的解析式; (2)点M为y轴上任意一点,当点M到A、B两点的距离之和为最小时,求此时点M的坐标; (3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立,求点P的坐标. 答案:(1)、因为点A、B均在抛物线上,故点A、B的坐标适合抛物线方程 ∴ 解之得: ;故 为所求 (2)如图2,连接BD,交y轴于点M,则点M就是所求作的点 设BD的解析式为 ,则有 , , 故BD的解析式为 ;令 则 ,故 (3)、如图3,连接AM,BC交y轴于点N,由(2)知,OM=OA=OD=2, 易知BN=MN=1, 易求 ;设 , 依题意有: ,即: 解之得: , ,故 符合条件的P点有三个: 2 . (10北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y= - x2+ x+m2-3m+2 与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上。 (1) 求点B的坐标; (2) 点P在线段OA上,从O点出发向点运动,过P点作x轴的 垂线,与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。 以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动 时,C点、D点也随之运动) j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求 OP的长; k 若P点从O点出发向A点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止 运动,P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线,与直线AB交于点F。延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时,M点,N点也随之运动)。若P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值。 答案:解:(1) ∵拋物线y= - x2+ x+m2-3m+2经过原点, ∴m2-3m+2=0,解得m1=1,m2=2, 由题意知m¹1,∴m=2, ∴拋物线的解析式为y= - x2+ x, ∵点B(2,n)在拋物线 y= - x2+ x上, ∴n=4,∴B点的坐标为(2,4)。 (2) j 设直线OB的解析式为y=k1x,求得直线OB的解析式为 y=2x, ∵A点是拋物线与x轴的一个交点, 可求得A点的坐标为(10,0), 设P点的坐标为(a,0),则E点的坐标为(a,2a), 根据题意作等腰直角三角形PCD,如图1。 可求得点C的坐标为(3a,2a), 由C点在拋物线上,得2a= - ´(3a)2+ ´3a, 即 a2- a=0,解得a1= ,a2=0 (舍去), ∴OP= 。 k 依题意作等腰直角三角形QMN,设直线AB的解析式为y=k2x+b, 由点A(10,0),点B(2,4), 求得直线AB的解析式为y= - x+5, 当P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上, 有以下三种情况: 第一种情况:CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。 此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。 ∴PQ=DP=4t,∴t+4t+2t=10,∴t= 。 第二种情况:PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。 此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10-2t, ∵F点在直线AB上,∴FQ=t,∴MQ=2t,∴PQ=MQ=CQ=2t,∴t+2t+2t=10,∴t=2。 第三种情况:点P、Q重合时,PD、QM在同一条直线上,如图4所示。 此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。 ∴t+2t=10,∴t= 。 综上,符合题意的 t值分别为 ,2, 。 3.(10贵州遵义)如图,已知抛物线 的顶点坐 标为Q ,且与 轴交于点C ,与 轴交于A、B两 点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上一动点,从点C 沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD∥ 轴, 交AC于点D. (1)求该抛物线的函数关系式; (2)当△ADP是直角三角形时,求点P的坐标; (3)在问题(2)的结论下,若点E在 轴上,点F在抛物线上, 问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?若存在, 求点F的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1) ∵抛物线的顶点为Q(2,-1) ∴设 将C(0,3)代入上式,得 ∴ , 即 (2)分两种情况: ①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图) 令 =0, 得 解之得 , ∵点A在点B的右边, ∴B(1,0), A(3,0) ∴P1(1,0) ②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图) ∵OA=OC, ∠AOC= , ∴∠OAD2= 当∠D2AP2= 时, ∠OAP2= , ∴AO平分∠D2AP2 又∵P2D2∥ 轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于 轴对称. 设直线AC的函数关系式为 将A(3,0), C(0,3)代入上式得 , ∴ ∴ ∵D2在 上, P2在 上, ∴设D2( , ), P2( , ) ∴( )+( )=0 , ∴ , (舍) ∴当 =2时, = =-1 ∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点) ∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1) (3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形 当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时, 平移直线AP(如图)交 轴于点E,交抛物线于点F. 当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形 ∵P(2,-1), ∴可令F( ,1) ∴ 解之得: , ∴F点有两点,即F1( ,1), F2( ,1) 4.(10湖北黄冈)已知抛物线 顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线 作垂线,垂足为M,连FM(如图). (1)求字母a,b,c的值; (2)在直线x=1上有一点 ,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形; (3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由. 答案:(1)a=-1,b=2,c=0 (2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为 ,横坐标为 .此时,MP=MF=PF=1,故△MPF为正三角形. (3)不存在.因为当t< ,x<1时,PM与PN不可能相等,同理,当t> ,x>1时,PM与PN不可能相等. 5.(10辽宁丹东)如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4). (1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A, 点N的对应点为B, 点H的对应点为C); (2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式; (3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由; (4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由. 答案:(1) 利用中心对称性质,画出梯形OABC. ∵A,B,C三点与M,N,H分别关于点O中心对称, ∴A(0,4),B(6,4),C(8,0) (写错一个点的坐标扣1分) (2)设过A,B,C三点的抛物线关系式为 , ∵抛物线过点A(0,4), ∴ .则抛物线关系式为 . 将B(6,4), C(8,0)两点坐标代入关系式,得
解得 所求抛物线关系式为: . (3)∵OA=4,OC=8,∴AF=4-m,OE=8-m. ∴ OA(AB+OC) AF·AG OE·OF CE·OA
( 0< <4) ∵ . ∴当 时,S的取最小值. 又∵0<m<4,∴不存在m值,使S的取得最小值. (4)当 时,GB=GF,当 时,BE=BG. 6.已知:函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点. (1)求这个函数关系式; (2)如图所示,设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A,P为图象上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标; (3)在(2)中,若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上,若在抛物线上,求出M点的坐标;若不在,请说明理由. 答案:解:(1)当a = 0时,y = x+1,图象与x轴只有一个公共点……… 当a≠0时,△=1- 4a=0,a = ,此时,图象与x轴只有一个公共点. ∴函数的解析式为:y=x+1 或`y=x2+x+1…… (2)设P为二次函数图象上的一点,过点P作PC⊥x 轴于点C. ∵是二次函数,由(1)知该函数关系式为: y=x2+x+1,则顶点为B(-2,0),图象与y轴的交点 坐标为A(0,1)∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ∴ ,故PC=2BC,设P点的坐标为(x,y),∵∠ABO是锐角,∠PBA是直角,∴∠PBO是钝角,∴x<-2 ∴BC=-2-x,PC=-4-2x,即y=-4-2x, P点的坐标为(x,-4-2x) ∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上,∴-4-2x=x2+x+1解之得:x1=-2,x2=-10 ∵x<-2 ∴x=-10,∴P点的坐标为:(-10,16)(3)点M不在抛物线上由(2)知:C为圆与x 轴的另一交点,连接CM,CM与直线PB的交点为Q,过点M作x轴的垂线,垂足为D,取CD的中点E,连接QE,则CM⊥PB,且CQ=MQ ∴QE∥MD,QE=MD,QE⊥CE ∵CM⊥PB,QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB ∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = CE=2QE=2×2BE=4BE,又CB=8,故BE=,QE= ∴Q点的坐标为(-,) 可求得M点的坐标为(,) ∵=≠ ∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上 7.(10重庆潼南)如图, 已知抛物线 与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1). (1)求抛物线的解析式; (2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标; (3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由. 答案:解:(1)∵二次函数 的图像经过点A(2,0)C(0,-1) ∴ 解得: b=- c=-1 ∴二次函数的解析式为 (2)设点D的坐标为(m,0) (0<m<2) ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得, ∴ ∴DE= ∴△CDE的面积= × ×m = = 当m=1时,△CDE的面积最大 ∴点D的坐标为(1,0) (3)存在 由(1)知:二次函数的解析式为 设y=0则 解得:x1=2 x2=-1 ∴点B的坐标为(-1,0) C(0,-1) 设直线BC的解析式为:y=kx+b ∴ 解得:k=-1 b=-1 ∴直线BC的解析式为: y=-x-1 在Rt△AOC中,∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得:AC= ∵点B(-1,0) 点C(0,-1) ∴OB=OC ∠BCO=450 ①当以点C为顶点且PC=AC= 时, 设P(k, -k-1) 过点P作PH⊥y轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2= 解得k1= , k2=- ∴P1( ,- ) P2(- , ) ②以A为顶点,即AC=AP= 设P(k, -k-1) 过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2-k∣ GP=∣-k-1∣ 在Rt△APG中 AG2+PG2=AP2 (2-k)2+(-k-1)2=5 解得:k1=1,k2=0(舍) ∴P3(1, -2) ③以P为顶点,PC=AP设P(k, -k-1) 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ∴L(k,0) ∴△QPC为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA= k ∴AL=∣k-2∣, PL=|-k-1| 在Rt△PLA中 ( k)2=(k-2)2+(k+1)2 解得:k= ∴P4( ,- ) 综上所述: 存在四个点:P1( ,- ) P2(- , ) P3(1, -2) P4( ,- ) 8 . (10山东临沂)如图,二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(- ,0)、 B(2,0)两点,且与y轴交于点C; (1) 求该拋物线的解析式,并判断△ABC的形状; (2) 在x轴上方的拋物线上有一点D,且以A、C、D、B四 点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出D点的坐标; (3) 在此拋物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点 为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。 答案:[解] (1) 根据题意,将A(- ,0),B(2,0)代入y= -x2+ax+b中,得 ,解这个 方程,得a= ,b=1,∴该拋物线的解析式为y= -x2+ x+1,当 x=0时,y=1, ∴点C的坐标为(0,1)。∴在△AOC中,AC= = = 。 在△BOC中,BC= = = 。 AB=OA+OB= +2= ,∵AC 2+BC 2= +5= =AB 2,∴△ABC是直角三角形。 (2) 点D的坐标为( ,1)。 (3) 存在。由(1)知,AC^BC。 j 若以BC为底边,则BC//AP,如图1所示,可求得直线 BC的解析式为y= - x+1,直线AP可以看作是由直线 BC平移得到的,所以设直线AP的解析式为y= - x+b, 把点A(- ,0)代入直线AP的解析式,求得b= - , ∴直线AP的解析式为y= - x- 。∵点P既在拋物线上,又在直线AP上, ∴点P的纵坐标相等,即-x2+ x+1= - x- ,解得x1= , x2= - (舍去)。当x= 时,y= - ,∴点P( ,- )。 k 若以AC为底边,则BP//AC,如图2所示。 可求得直线AC的解析式为y=2x+1。 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的, 所以设直线BP的解析式为y=2x+b,把点B(2,0)代 入直线BP的解析式,求得b= -4, ∴直线BP的解析式为y=2x-4。∵点P既在拋物线 上,又在直线BP上,∴点P的纵坐标相等, 即-x2+ x+1=2x-4,解得x1= - ,x2=2(舍去)。 当x= - 时,y= -9,∴点P的坐标为(- ,-9)。 综上所述,满足题目条件的点P为( ,- )或(- ,-9)。 9.(10山东潍坊)如图所示,抛物线与 轴交于点 两点,与 轴交于点 以 为直径作 过抛物线上一点 作 的切线 切点为 并与 的切线 相交于点 连结 并延长交 于点 连结 (1)求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标; (2)若四边形 的面积为 求直线 的函数关系式; (3)抛物线上是否存在点 ,使得四边形 的面积等于 的面积?若存在,求出点 的坐标;若不存在,说明理由. 答案:解:(1)因为抛物线与 轴交于点 两点,设抛物线的函数关系式为: ∵抛物线与 轴交于点 ∴ ∴ 所以,抛物线的函数关系式为: 又 因此,抛物线的顶点坐标为 (2)连结 ∵ 是 的两条切线, ∴ ∴ 又四边形 的面积为 ∴ ∴ 又 ∴ 因此,点 的坐标为 或 当 点在第二象限时,切点 在第一象限. 在直角三角形 中, ∴ ∴ 过切点 作 垂足为点 ∴ 因此,切点 的坐标为 设直线 的函数关系式为 将 的坐标代入得 解之,得 所以,直线 的函数关系式为 当 点在第三象限时,切点 在第四象限. 同理可求:切点 的坐标为 直线 的函数关系式为 因此,直线 的函数关系式为 或 (3)若四边形 的面积等于 的面积 又 ∴ ∴ 两点到 轴的距离相等, ∵ 与 相切,∴点 与点 在 轴同侧, ∴切线 与 轴平行, 此时切线 的函数关系式为 或 当 时,由 得, 当 时,由 得, 故满足条件的点 的位置有4个,分别是
说明:本参考答案给出了一种解题方法,其它正确方法应参考标准给出相应分数. 10.(10山东省淄博)已知直角坐标系中有一点A(-4,3),点B在x轴上,△AOB是等腰三角形. (1)求满足条件的所有点B的坐标; (2)求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数表达式(只需求出满足条件的一条即可); (3)在(2)中求出的抛物线上存在点P,使得以O,A,B,P四点为顶点的四边形是梯形,求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积. 【答案】解:作AC⊥x轴,由已知得OC=4,AC=3,OA= =5. (1)当OA=OB=5时, 如果点B在x轴的负半轴上,如图(1),点B的坐标为(-5,0). 如果点B在x轴的正半轴上,如图(2),点B的坐标为(5,0). 当OA=AB时,点B在x轴的负半轴上,如图(3),BC=OC,则OB=8,点B的坐标为(-8,0). 当AB=OB时,点B在x轴的负半轴上,如图(4),在x轴上取点D,使AD=OA,可知OD=8.由∠AOB=∠OAB=∠ODA,可知△AOB∽△ODA,则 ,解得OB= ,点B的坐标为(- ,0). (2)当AB=OA时,抛物线过O(0,0),A(-4,3),B(-8,0)三点,设抛物线的函数表达式为 ,可得方程组 ,解得a= , , . (当OA=OB时,同理得 . (3)当OA=AB时,若BP∥OA,如图(5),作PE⊥x轴,则∠AOC=∠PBE,∠ACO=∠PEB=90°,△AOC∽△PBE, .设BE=4m,PE=3m,则点P的坐标为(4m-8,-3m),代入 ,解得m=3. 则点P的坐标为(4,-9), S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=48. 若OP∥AB(图略),根据抛物线的对称性可得点P的坐标为(-12,-9), S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=48. (当OA=OB时,若BP∥OA,如图(6),作PF⊥x轴,则∠AOC=∠PBF,∠ACO=∠PFB=90°,△AOC∽△PBF, .设BF=4m,PF=3m,则点P的坐标为(4m-5,-3m),代入 ,解得m= . 则点P的坐标为(1,- ), S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO= . 若OP∥AB(图略),作PF⊥x轴,则∠ABC=∠POF,∠ACB=∠PFO=90°,△ABC∽△POF, .设点P的坐标为(-n,-3n),代入 ,解得n=9.则点P的坐标为(-9,-27),S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=75. 11. (10广西河池) 如图11,在直角梯形 中, ∥ , ,点 为坐标原点,点 在 轴的正半轴上,对角线 , 相交于点 , , . (1)线段 的长为 ,点 的坐标为 ; (2)求△ 的面积; (3)求过 , , 三点的抛物线的解析式; (4)若点 在(3)的抛物线的对称轴上,点 为该 抛物线上的点,且以 , , , 四点为顶点的四边形 为平行四边形,求点 的坐标. 答案:解:(1)4 ; . (2)在直角梯形OABC中,OA=AB=4, ∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM 又 ∵ OA=2BC ∴ AM=2CM ,CM= AC 所以 (注:另有其它解法同样可得结果,正确得本小题满分.) (3)设抛物线的解析式为 由抛物线的图象经过点 , , .所以
解这个方程组,得 , , 所以抛物线的解析式为 (4)∵ 抛物线 的对称轴是CD, ① 当点E在 轴的下方时,CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形,此时点F和点C重合,点F的坐标即为点 ; ② 当点E在 轴的下方,点F在对称轴 的右侧,存在平行四边形 , ∥ ,且 ,此时点F的横坐标为6,将 代入 ,可得 .所以 . 同理,点F在对称轴 的左侧,存在平行四边形 , ∥ ,且 ,此时点F的横坐标为 ,将 代入 ,可得 .所以 . 综上所述,点F的坐标为 , . 12.(10广西桂林)如图,过A(8,0)、B(0, [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] )两点的直线与直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 交于点C.平行于 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 轴的直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 轴向右平移,到C点时停止; [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 分别交线段BC、OC于点D、E,以DE为边向左侧作等边△ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] DEF,设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S(平方单位),直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 的运动时间为t( [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 秒). (1)直接写出C点坐标和t的取值范围; (2)求S与t的函数关系式; (3)设直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 与 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 轴交于点P,是否存在这样的点P,使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形,若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:解(1)C(4, [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ) [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 的取值范围是:0≤ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ≤4 (2)∵D点的坐标是( [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] , [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ),E的坐标是( [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] , [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ) ∴DE= [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] - [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ∴等边△DEF的DE边上的高为: [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ∴当点F在BO边上时: [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ,∴ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] =3 ① 当0≤ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] <3时,重叠部分为等腰梯形,可求梯形上底为: [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] - [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] S= [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ② 当3≤ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ≤4时,重叠部分为等边三角形 S= [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] (3)存在,P( [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ,0) 说 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] 明:∵FO≥ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ,FP≥ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ,OP≤4 ∴以P,O,F以顶点的等腰三角形,腰只有可能是FO,FP, 若FO=FP时, [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] =2(12-3 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ), [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ,∴P( [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!] ,0) Tags:信息,技术应用,探索,二次,函数 |
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