14.3因式分解（通用）教学设计一等奖

地区： 湖南省 - 益阳市 - 安化县

学校：马路镇中学

14.3　因式分解 初中数学       人教2011课标版

~三维目标 1.使学生正确理解因式分解的概念； 2.了解因式分解与整式乘法的关系； 3.了解因式分解的作用. 教学重点和难点 重点：因式分解的概念. 难点：因式分解与整式乘法的关系. 教学过程设计 一、导入新课 在小学时，我们学过了把一个整数分解成质因数的方法，例如： 24=2×12=4×6=2×2×2×3＝23×3 (*) 问：哪些数是24的因数?哪些数是24的质因数?为什么? 答：2，3，4，6，12都能整除24，所以都是24的因数；但其中的4，6，12还可以继续分解，故它们都不是24的质因数；而2与3不能再分解了，所以把它们称为24的质因数. 指出：(*)式中，两个或两个以上的数相乘得到的积中的每一个数都是乘积的因数，能整除某数的数，都是这个数的因数. 问：42的因数和质因数是什么?为什么? 答：2，3，6，7，14都是42的因数，因为这些数都能整除42.其中2，3，7是42的质因数，因为这些数只能被1和自身整除. 指出：求一个数的因数，把一个数写成它的因数的积的形式，叫做因数分解法. 因数分解在分数运算中有重要作用. 注意： 1.乘、除运算中，首先把除法转化为乘法，再进行因数分解、约分，然后再进行乘法运算. 2.异分母的加减法运算规律是，利用因数分解求出各分母的最小公倍数作为公分母，通分后变为同分母的分数，再进行加、减运算. 请同学观察下面两个等式： a3＋b3=(a＋b)(a2-ab＋b2)， 3ｍ2-3ｎ2＝3(ｍ＋ｎ)(ｍ-ｎ). 可以看出，这两个等式的左边都是多项式，右边都是整式乘积的形式，并且右边的每一个因式都能整除左边的式项式. 我们把上面这种从左式到右式的恒等变形叫做多项式的因式分解. 在复习了整数的因数分解的基础上，我们将进一步学习多项式的因式分解. 二、讲授新课 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 像把ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ写成ｍ(a＋b＋ｃ)那样，就是把多项式因式分解. 又如，把ａ2－ｂ2写成(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)等等，都是把多项式因式分解. 我们写成等式形式，就是： ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)， ａ2－ｂ2＝(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ). 这两个等式的左边都是多项式，而右边都是整式积的形式. 问：下列各题中，从左式到右式的变形，哪些是因式分解?哪些不是因式分解?为什么? (1)ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2； (2)ｘ2－3ｘ＋2＝(ｘ－1)(ｘ－2)； (3)(ｘ＋2)(ｘ－1)＝ｘ2＋ｘ－2； (4)ｘ(ｘ＋2)＝ｘ2＋2ｘ； (5)ｘ2－ｙ2＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)； (6)ｍ2＋ｍ－4＝(ｍ＋3)(ｍ－2)＋2. 指出：多项式的因式分解，必须是把一个多项式化成几个整式乘积的形式. 因式分解与整式乘法之间有什么关系?我们曾经学过整式乘法及乘法公式，如单项式与 多项式相乘，得 ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)＝ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ； 多项式与多项式相乘，得 (ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ)＝ｘ2+(ｍ＋n)ｘ＋ｍn. 乘法公式有： 平方差公式：(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝ａ2－ｂ2. 完全平方公式(ａ＋ｂ)2＝ａ2＋2ａｂ＋ｂ2，(ａ－ｂ)2＝ａ2－2ａｂ＋ｂ 问：观察乘法运算及乘法公式中，等号的左边和右边各是什么式子? 答：各式的等号左边都是整式乘积形式，而各式的等号右边都是多项式. 如果我们把上面的乘法运算及乘法公式中的等号左边的式子与等号右边的式子互换，就得到 ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)， ｘ2＋(ｍ＋ｎ)ｘ＋ｍｎ＝(ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ)， ａ2-ｂ2＝(ａ＋ｂ)(ａ-ｂ)， ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2， ａ2－2ａｂ＋ｂ2＝(ａ－ｂ)2， 这些式子中，从等式左边到等式右边的变形就是多项式的因式分解. 由此可得出：多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特征是向着积化和差的形式发展；而多项式的因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发展. 问：下列各题从左式到右式的变形中，哪些是因式分解?哪些是整式乘法? (1)ｍ3ｎ2－ｎ3ｍ2＝ｍ2ｎ2(ｍ－ｎ)； (2)(ａ＋ｂ)(ｍ＋ｎ)＝ａｍ＋ａｎ＋ｂｍ＋ｂｎ； (3)ｘ2－ｘ－6＝(ｘ＋2)(ｘ－3)； (4)ｘ(2ｘ－ｙ)＝2ｘ2-ｘｙ； (5)9ａ2－ｂ2＝(3ａ＋ｂ)(3ａ－ｂ)； (6)3ａ2(ａ－ｂ＋ｃ)-6ａ3＝3ａ2(ｃ－ｂ－ａ). 三、课堂练习 1.选择题. (1)下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是( ). Ａ.12ａ2ｂ＝3ａ•4ａｂ Ｂ.(ｘ＋2)(ｘ－2)＝ｘ2－4 Ｃ.4ｘ2－8ｘ－1＝4ｘ(ｘ－2)-1 Ｄ.12ａｘ－12ａｙ＝12ａ(ｘ－ｙ) (2)下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ). Ａ.(ｘ＋5)(ｘ－1)＝ｘ2＋4ｘ－5 Ｂ.ｘ2－ｙ2－1＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－１)-1 Ｃ.ｘ2－10ｘｙ＋25ｙ2＝(ｘ－5ｙ)2 Ｄａｘ2－ｂｘ2－ｘ＝ｘ2(ａ－ｂ) －ｘ (3)下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ). Ａ.ａｂ(ａ－ｂ)＝ａ2ｂ－ａｂ2 Ｂ.(ｘ－3)(ｘ＋3)＝ｘ2－9? Ｃ.ａｘ＋ｂｘ－ａ＝ｘ(ａ＋ｂ) －ａ Ｄ.ａｂ＋ａｃ－ａ2＝ａ(ｂ＋ｃ－ａ) 2.判断下列各题从左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么? (1)(ｘ＋ｙ)2＝ｘ2＋2ｘｙ＋ｙ2； (2)ｙ2－16＝(ｙ＋4)(ｙ－4)； (3)ｘ2-4ｘ＋5＝(ｘ－2)2＋1； (4)ｍ2－2ｍ＋1＝(ｍ－1)2； (5)ａ2－25＋ａ－1＝(ａ＋5)(ａ－5)＋ａ－1； (6)ｘ2－5ｘ－6＝(ｘ－6)(ｘ＋1). 四、小结 1.多项式的因式分解的概念是，把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解. 2.多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形. 五、作业 1.判断正误. (1)把一个代数式化为乘积形式，叫做把这个代数式因式分解；( ) (2)把一个整式化为乘积形式，叫做把这个整式因式分解；( ) (3)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式解.( ) 2.下列由左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么? (1)ｘ2＋2ｘｙ+y2－1＝(ｘ＋ｙ＋1)(ｘ＋ｙ－1)； (2)ｘ2－ｙ2－3＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ) －3； (3)ｍ2＋2ｍn＋ｎ2-2ｍ－2ｎ＝(ｍ＋ｎ)2－2(ｍ＋ｎ)； (4)9(ａ2－1)＝9(ａ＋1)(ａ－1)； (5)ｂｘ2－3ｂ＝ｂ(ｘ2－3)； (6)(ａ＋2)(ａ－3)+5＝ａ2－ａ－1； (7)9ｘ2－ｙ2＝(3ｘ+ｙ)(3ｘ－ｙ).

14.3　因式分解

14.3　因式分解

~三维目标 1.使学生正确理解因式分解的概念； 2.了解因式分解与整式乘法的关系； 3.了解因式分解的作用. 教学重点和难点 重点：因式分解的概念. 难点：因式分解与整式乘法的关系. 教学过程设计 一、导入新课 在小学时，我们学过了把一个整数分解成质因数的方法，例如： 24=2×12=4×6=2×2×2×3＝23×3 (*) 问：哪些数是24的因数?哪些数是24的质因数?为什么? 答：2，3，4，6，12都能整除24，所以都是24的因数；但其中的4，6，12还可以继续分解，故它们都不是24的质因数；而2与3不能再分解了，所以把它们称为24的质因数. 指出：(*)式中，两个或两个以上的数相乘得到的积中的每一个数都是乘积的因数，能整除某数的数，都是这个数的因数. 问：42的因数和质因数是什么?为什么? 答：2，3，6，7，14都是42的因数，因为这些数都能整除42.其中2，3，7是42的质因数，因为这些数只能被1和自身整除. 指出：求一个数的因数，把一个数写成它的因数的积的形式，叫做因数分解法. 因数分解在分数运算中有重要作用. 注意： 1.乘、除运算中，首先把除法转化为乘法，再进行因数分解、约分，然后再进行乘法运算. 2.异分母的加减法运算规律是，利用因数分解求出各分母的最小公倍数作为公分母，通分后变为同分母的分数，再进行加、减运算. 请同学观察下面两个等式： a3＋b3=(a＋b)(a2-ab＋b2)， 3ｍ2-3ｎ2＝3(ｍ＋ｎ)(ｍ-ｎ). 可以看出，这两个等式的左边都是多项式，右边都是整式乘积的形式，并且右边的每一个因式都能整除左边的式项式. 我们把上面这种从左式到右式的恒等变形叫做多项式的因式分解. 在复习了整数的因数分解的基础上，我们将进一步学习多项式的因式分解. 二、讲授新课 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 像把ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ写成ｍ(a＋b＋ｃ)那样，就是把多项式因式分解. 又如，把ａ2－ｂ2写成(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)等等，都是把多项式因式分解. 我们写成等式形式，就是： ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)， ａ2－ｂ2＝(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ). 这两个等式的左边都是多项式，而右边都是整式积的形式. 问：下列各题中，从左式到右式的变形，哪些是因式分解?哪些不是因式分解?为什么? (1)ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2； (2)ｘ2－3ｘ＋2＝(ｘ－1)(ｘ－2)； (3)(ｘ＋2)(ｘ－1)＝ｘ2＋ｘ－2； (4)ｘ(ｘ＋2)＝ｘ2＋2ｘ； (5)ｘ2－ｙ2＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)； (6)ｍ2＋ｍ－4＝(ｍ＋3)(ｍ－2)＋2. 指出：多项式的因式分解，必须是把一个多项式化成几个整式乘积的形式. 因式分解与整式乘法之间有什么关系?我们曾经学过整式乘法及乘法公式，如单项式与 多项式相乘，得 ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)＝ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ； 多项式与多项式相乘，得 (ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ)＝ｘ2+(ｍ＋n)ｘ＋ｍn. 乘法公式有： 平方差公式：(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝ａ2－ｂ2. 完全平方公式(ａ＋ｂ)2＝ａ2＋2ａｂ＋ｂ2，(ａ－ｂ)2＝ａ2－2ａｂ＋ｂ 问：观察乘法运算及乘法公式中，等号的左边和右边各是什么式子? 答：各式的等号左边都是整式乘积形式，而各式的等号右边都是多项式. 如果我们把上面的乘法运算及乘法公式中的等号左边的式子与等号右边的式子互换，就得到 ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)， ｘ2＋(ｍ＋ｎ)ｘ＋ｍｎ＝(ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ)， ａ2-ｂ2＝(ａ＋ｂ)(ａ-ｂ)， ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2， ａ2－2ａｂ＋ｂ2＝(ａ－ｂ)2， 这些式子中，从等式左边到等式右边的变形就是多项式的因式分解. 由此可得出：多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特征是向着积化和差的形式发展；而多项式的因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发展. 问：下列各题从左式到右式的变形中，哪些是因式分解?哪些是整式乘法? (1)ｍ3ｎ2－ｎ3ｍ2＝ｍ2ｎ2(ｍ－ｎ)； (2)(ａ＋ｂ)(ｍ＋ｎ)＝ａｍ＋ａｎ＋ｂｍ＋ｂｎ； (3)ｘ2－ｘ－6＝(ｘ＋2)(ｘ－3)； (4)ｘ(2ｘ－ｙ)＝2ｘ2-ｘｙ； (5)9ａ2－ｂ2＝(3ａ＋ｂ)(3ａ－ｂ)； (6)3ａ2(ａ－ｂ＋ｃ)-6ａ3＝3ａ2(ｃ－ｂ－ａ). 三、课堂练习 1.选择题. (1)下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是( ). Ａ.12ａ2ｂ＝3ａ•4ａｂ Ｂ.(ｘ＋2)(ｘ－2)＝ｘ2－4 Ｃ.4ｘ2－8ｘ－1＝4ｘ(ｘ－2)-1 Ｄ.12ａｘ－12ａｙ＝12ａ(ｘ－ｙ) (2)下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ). Ａ.(ｘ＋5)(ｘ－1)＝ｘ2＋4ｘ－5 Ｂ.ｘ2－ｙ2－1＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－１)-1 Ｃ.ｘ2－10ｘｙ＋25ｙ2＝(ｘ－5ｙ)2 Ｄａｘ2－ｂｘ2－ｘ＝ｘ2(ａ－ｂ) －ｘ (3)下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ). Ａ.ａｂ(ａ－ｂ)＝ａ2ｂ－ａｂ2 Ｂ.(ｘ－3)(ｘ＋3)＝ｘ2－9? Ｃ.ａｘ＋ｂｘ－ａ＝ｘ(ａ＋ｂ) －ａ Ｄ.ａｂ＋ａｃ－ａ2＝ａ(ｂ＋ｃ－ａ) 2.判断下列各题从左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么? (1)(ｘ＋ｙ)2＝ｘ2＋2ｘｙ＋ｙ2； (2)ｙ2－16＝(ｙ＋4)(ｙ－4)； (3)ｘ2-4ｘ＋5＝(ｘ－2)2＋1； (4)ｍ2－2ｍ＋1＝(ｍ－1)2； (5)ａ2－25＋ａ－1＝(ａ＋5)(ａ－5)＋ａ－1； (6)ｘ2－5ｘ－6＝(ｘ－6)(ｘ＋1). 四、小结 1.多项式的因式分解的概念是，把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解. 2.多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形. 五、作业 1.判断正误. (1)把一个代数式化为乘积形式，叫做把这个代数式因式分解；( ) (2)把一个整式化为乘积形式，叫做把这个整式因式分解；( ) (3)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式解.( ) 2.下列由左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么? (1)ｘ2＋2ｘｙ+y2－1＝(ｘ＋ｙ＋1)(ｘ＋ｙ－1)； (2)ｘ2－ｙ2－3＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ) －3； (3)ｍ2＋2ｍn＋ｎ2-2ｍ－2ｎ＝(ｍ＋ｎ)2－2(ｍ＋ｎ)； (4)9(ａ2－1)＝9(ａ＋1)(ａ－1)； (5)ｂｘ2－3ｂ＝ｂ(ｘ2－3)； (6)(ａ＋2)(ａ－3)+5＝ａ2－ａ－1； (7)9ｘ2－ｙ2＝(3ｘ+ｙ)(3ｘ－ｙ).