20.1 数据的集中趋势第二课时教学实录

地区： 浙江省 - 台州市 - 临海市

学校：台州初级中学

20.1　数据的集中趋势 初中数学       人教2011课标版

加权平均数.

数据分析是统计的重要环节，平均数是衡量一组数据集中趋势的重要统计量，它反映了一组数据的平均水平.

在赋权的形式下，当一组数据中各个数据重要程度不同时，加权平均数能更好的反映对某些数据的侧重.权反映的是数据的相对重要程度，一方面，权可以是客观存在的，另一方面，权也可以是人为规定的；在加权平均数的应用过程中，权可以用频数、比、百分数等来呈现.当一组数据中的每个数据的权相同时，加权平均数就是算术平均数.

（1）理解加权平均数的意义.

（2）会用加权平均数分析一组数据的集中趋势，发展数据分析能力，逐步形成数据分析观念.

目标（1）是让学生能理解“权”是数据的相对“重要程度”，体会“权”的差异对平均数的影响，会计算加权平均数，能了解算术平均数和加权平均数的区别与联系及适用范围.      

目标（2）是当学生面对一组收集和整理后得到的数据时，能用平均数分析数据的集中趋势，解释其实际意义.

由于生活经验的局限，同时受认知水平的影响，学生对权的意义和作用的理解可能会有困难，学生运用加权平均数分析数据，容易混淆“数据”和 “权”.另外学生会受到先前算术平均数学习经验的负迁移，在需要用加权平均数分析数据时却选用算术平均数.部分学生往往只会记住公式，而不会解释数据分析结果的实际意义(统计意义)，把统计问题的学习仅仅停留在计算层面.

对加权平均数意义的理解.

对权的意义的理解，用加权平均数描述数据的集中趋势.

当我们收集到数据后，通常是用统计图表整理和描述数据，为了进一步获取信息，还需要对数据进行分析.以前我们学习过平均数，知道它可以反映一组数据的平均水平.本节课我们将在实际问题情境中，进一步探讨平均数的统计意义.

设计意图：通过教师讲述章前语（师生共同阅读），让学生回顾调查统计的一般步骤，了解本节课的学习内容，同时体会到数据分析是统计的重要环节，而平均数是数据分析中常用的统计量,增强统计观念的渗透.

问题1 一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名候选人进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如下：

应试者

听

说

读

写

甲

85

78

85

73

乙

73

80

82

83

如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，该录用谁？录用依据是什么？

师生活动：学生提出评判依据，若学生提出以总分作为依据，教师要将学生的回答引导到算术平均数，再通过师生共同计算，理解公式： 的意义是所有数据的和与数据个数的商，体会公式中分子与分母意义，为后继学习提供帮助.

设计意图：回顾小学平均数的意义:一组数据的平均数是这组数据的总和与数据个数的商.说明算术平均数在统计学中能反映一组数据总体的平均水平(集中趋势)，为后面与加权平均数进行对比提供铺垫.

问题2  如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2：1：3：4的比确定，应该录取谁？

追问1：用算术平均数解决问题2合理吗？为什么？

追问2：“听、说、读、写成绩按照2：1：3：4的比例确定”说明在计算平均数中哪一项最重要？

追问3：如何在计算平均数时体现“听、说、读、写”的差别？

说明：追问3尽量让学生独立解决，给学生充分思考、尝试的时间，由于学生的学习基础与认知能力的差异，若学生还存在困难，再进行小组合作讨论，让学生经历加权平均数学产生的过程，体验“权”的产生是自然的也是必须的，体会计算的合理性.当学生理解追问2后，提出权的意义是反映数据的重要程度，指出2，1，3，4分别表示听、说、读、写四项成绩的权. 指出这样计算的平均数79.5，80.4分别称为甲和乙的听、说、读、写四项成绩的加权平均数（weighted average）

师生活动：教师提出问题，学生思考问题解决方案，若不能提出合适的方案，教师再通过3个追问进行引导.

设计意图：追问1可引导学生从生活经验入手感性的进行分析；追问2让学生明白参与运算的各项“重要程度”不同，且这个不同点需要体现；追问3让学生自主研究问题的解决方法，将“重要程度”不同的数据纳入计算，并能说明这种计算方式的合理性；初步体会“重要程度”的作用，最后列出正确算式，给出权的意义.从追问1到时追问3，循序渐进，层层深入，为“权”的产生提供自然合理的背景，激发学生进一步思考，获得解决问题的方案——修订平均数的计算方法.

思考：这个问题中,各个数据的重要程度不同（权不同），这种计算平均数的方法是否能推广到一般?

追问1:以乙的成绩为例， ，若听、说、读、写的成绩的权分别为 ，则乙的平均数该如何表示？

追问2:在此基础上，若各项成绩也一般化，表示为 ，则乙的平均成绩又该如何表示？

追问3:若n个数据 的权分别为 ，这n个数据的平均数该如何计算？

师生活动:教师引导学生层层拓展，得到加权平均数公式：一般的，若 个数 ， ，…， 的权分别是 ，则这 个数的加权平均数是： .

问题3：如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3：3：2：2的比确定两人的测试成绩，那么谁将被录取？与上述问题中的（1）（2）相比较，你能体会到权的作用吗？

师生活动：学生独立完成计算过程，难点是对权的作用的讨论，得到结论“同样的一组数据，如果规定的权变化，则加权平均数随之改变”.学生已有进一步的体会，但较难用语言来表达，教师要进行指导，同时归纳并指出，问题中的权是通过“比”的形式呈现的.

设计意图：在实例中根据需要，改变权的数值，得到不同的结果，让学生再次感受到了加权平均数中权的作用.

问题4：你认为问题1中各数据的权有什么关系？通过上述问题的解决，说说你对权的认识.

师生活动：引导学生概括：问题1中的各数可看作是权是相同的，指出两种平均数之间的联系.

设计意图：帮助学生理解两种平均数的区别与联系，再一次体验权的作用.

例1 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制，然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%的比例，计算选手的综合成绩（百分制）.进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：

选手

演讲内容

演讲能力

演讲效果

A

85

95

95

B

95

85

95

请确定两人的名次.

师生活动：教师指导学生阅读例题并自主进行分析，提示学生：演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩在总成绩中的重要程度用什么数据体现的？它们的权分别是什么？要确定两人的总成绩，实质是求他们各项成绩的加权平均数，如何计算？提示学生权是以百分数的形式呈现的；学生根据加权平均数的计算公式先分别计算出两名选手的总成绩，教师引导并板书解答过程，规范解题格式.

设计意图：继续以“权的意义理解”为目标，选取典型的生活实例为背景，通过教师指导，学生自主阅读、分析、解题，提高学生独立分析问题、解决问题的能力，并规范解题格式.

追问：A、B两名选手的单项成绩都是两个95分，一个85分，为什么他们的最后得分不同呢？

师生活动：教师引导学生进行解题反思，同时引导学生不计算，仅分析数据及其权，可否估计两人的名次.

设计意图：通过追问，让学生深入体会权的作用，培养学生的估算能力.

练习1：某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位应试者进行了面试与笔试，他们的成绩(百分制)如下表所示.

应试者

面试

笔试

甲

86

90

乙

92

83

(1)如果公司认为面试和笔试同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？

(2)如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？

师生活动：教师展示练习，提示权是以具体的数来呈现的；学生解决，可让学生板书解题过程.

设计意图：加权平均数的概念提出后，直接进行巩固应用，加深学生对概念的理解.

练习2：某广告公司欲招聘职员一名，对A、B、C三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示.

应试者

测试成绩

创新能力

计算机能力

公关能力

A

72

50

88

B

85

74

45

C

67

70

67

（1）公司可从网络维护员、客户经理、创作总监这三种岗位中招聘一名职员，给三项成绩赋予相同的权合理吗？

（2）请你设计合理的权重，为公司招聘一名职员.

师生活动：教师呈现开放题，学生赋权，重点让学生在加权平均数的应用过程中，主动赋权，体会利用权的作用体现对某些数据的侧重.

设计意图：设置开放性问题，让学生主动运用权的作用，影响一组数据的平均水平，帮助学生内化权的意义的理解，发展数据分析观念.

教师与学生一起结合以下问题回顾本节课所学主要内容：

①加权平均数在数据分析中的作用是什么？

②权的作用是什么？

设计意图：问题①引导学生回顾加权平均数的意义，体会它产生的必要性；问题②引导学生回顾权的意义和作用.

20.1　数据的集中趋势

20.1　数据的集中趋势

当我们收集到数据后，通常是用统计图表整理和描述数据，为了进一步获取信息，还需要对数据进行分析.以前我们学习过平均数，知道它可以反映一组数据的平均水平.本节课我们将在实际问题情境中，进一步探讨平均数的统计意义.

设计意图：通过教师讲述章前语（师生共同阅读），让学生回顾调查统计的一般步骤，了解本节课的学习内容，同时体会到数据分析是统计的重要环节，而平均数是数据分析中常用的统计量,增强统计观念的渗透.

问题1 一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名候选人进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如下：

应试者

听

说

读

写

甲

85

78

85

73

乙

73

80

82

83

如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，该录用谁？录用依据是什么？

师生活动：学生提出评判依据，若学生提出以总分作为依据，教师要将学生的回答引导到算术平均数，再通过师生共同计算，理解公式： 的意义是所有数据的和与数据个数的商，体会公式中分子与分母意义，为后继学习提供帮助.

设计意图：回顾小学平均数的意义:一组数据的平均数是这组数据的总和与数据个数的商.说明算术平均数在统计学中能反映一组数据总体的平均水平(集中趋势)，为后面与加权平均数进行对比提供铺垫.

问题2  如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2：1：3：4的比确定，应该录取谁？

追问1：用算术平均数解决问题2合理吗？为什么？

追问2：“听、说、读、写成绩按照2：1：3：4的比例确定”说明在计算平均数中哪一项最重要？

追问3：如何在计算平均数时体现“听、说、读、写”的差别？

说明：追问3尽量让学生独立解决，给学生充分思考、尝试的时间，由于学生的学习基础与认知能力的差异，若学生还存在困难，再进行小组合作讨论，让学生经历加权平均数学产生的过程，体验“权”的产生是自然的也是必须的，体会计算的合理性.当学生理解追问2后，提出权的意义是反映数据的重要程度，指出2，1，3，4分别表示听、说、读、写四项成绩的权. 指出这样计算的平均数79.5，80.4分别称为甲和乙的听、说、读、写四项成绩的加权平均数（weighted average）

师生活动：教师提出问题，学生思考问题解决方案，若不能提出合适的方案，教师再通过3个追问进行引导.

设计意图：追问1可引导学生从生活经验入手感性的进行分析；追问2让学生明白参与运算的各项“重要程度”不同，且这个不同点需要体现；追问3让学生自主研究问题的解决方法，将“重要程度”不同的数据纳入计算，并能说明这种计算方式的合理性；初步体会“重要程度”的作用，最后列出正确算式，给出权的意义.从追问1到时追问3，循序渐进，层层深入，为“权”的产生提供自然合理的背景，激发学生进一步思考，获得解决问题的方案——修订平均数的计算方法.

思考：这个问题中,各个数据的重要程度不同（权不同），这种计算平均数的方法是否能推广到一般?

追问1:以乙的成绩为例， ，若听、说、读、写的成绩的权分别为 ，则乙的平均数该如何表示？

追问2:在此基础上，若各项成绩也一般化，表示为 ，则乙的平均成绩又该如何表示？

追问3:若n个数据 的权分别为 ，这n个数据的平均数该如何计算？

师生活动:教师引导学生层层拓展，得到加权平均数公式：一般的，若 个数 ， ，…， 的权分别是 ，则这 个数的加权平均数是： .

问题3：如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3：3：2：2的比确定两人的测试成绩，那么谁将被录取？与上述问题中的（1）（2）相比较，你能体会到权的作用吗？

师生活动：学生独立完成计算过程，难点是对权的作用的讨论，得到结论“同样的一组数据，如果规定的权变化，则加权平均数随之改变”.学生已有进一步的体会，但较难用语言来表达，教师要进行指导，同时归纳并指出，问题中的权是通过“比”的形式呈现的.

设计意图：在实例中根据需要，改变权的数值，得到不同的结果，让学生再次感受到了加权平均数中权的作用.

问题4：你认为问题1中各数据的权有什么关系？通过上述问题的解决，说说你对权的认识.

师生活动：引导学生概括：问题1中的各数可看作是权是相同的，指出两种平均数之间的联系.

设计意图：帮助学生理解两种平均数的区别与联系，再一次体验权的作用.

例1 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制，然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%的比例，计算选手的综合成绩（百分制）.进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：

选手

演讲内容

演讲能力

演讲效果

A

85

95

95

B

95

85

95

请确定两人的名次.

师生活动：教师指导学生阅读例题并自主进行分析，提示学生：演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩在总成绩中的重要程度用什么数据体现的？它们的权分别是什么？要确定两人的总成绩，实质是求他们各项成绩的加权平均数，如何计算？提示学生权是以百分数的形式呈现的；学生根据加权平均数的计算公式先分别计算出两名选手的总成绩，教师引导并板书解答过程，规范解题格式.

设计意图：继续以“权的意义理解”为目标，选取典型的生活实例为背景，通过教师指导，学生自主阅读、分析、解题，提高学生独立分析问题、解决问题的能力，并规范解题格式.

追问：A、B两名选手的单项成绩都是两个95分，一个85分，为什么他们的最后得分不同呢？

师生活动：教师引导学生进行解题反思，同时引导学生不计算，仅分析数据及其权，可否估计两人的名次.

设计意图：通过追问，让学生深入体会权的作用，培养学生的估算能力.

练习1：某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位应试者进行了面试与笔试，他们的成绩(百分制)如下表所示.

应试者

面试

笔试

甲

86

90

乙

92

83

(1)如果公司认为面试和笔试同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？

(2)如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？

师生活动：教师展示练习，提示权是以具体的数来呈现的；学生解决，可让学生板书解题过程.

设计意图：加权平均数的概念提出后，直接进行巩固应用，加深学生对概念的理解.

练习2：某广告公司欲招聘职员一名，对A、B、C三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示.

应试者

测试成绩

创新能力

计算机能力

公关能力

A

72

50

88

B

85

74

45

C

67

70

67

（1）公司可从网络维护员、客户经理、创作总监这三种岗位中招聘一名职员，给三项成绩赋予相同的权合理吗？

（2）请你设计合理的权重，为公司招聘一名职员.

师生活动：教师呈现开放题，学生赋权，重点让学生在加权平均数的应用过程中，主动赋权，体会利用权的作用体现对某些数据的侧重.

设计意图：设置开放性问题，让学生主动运用权的作用，影响一组数据的平均水平，帮助学生内化权的意义的理解，发展数据分析观念.

教师与学生一起结合以下问题回顾本节课所学主要内容：

①加权平均数在数据分析中的作用是什么？

②权的作用是什么？

设计意图：问题①引导学生回顾加权平均数的意义，体会它产生的必要性；问题②引导学生回顾权的意义和作用.