14.3因式分解（通用）教案推荐

地区： 福建省 - 莆田市 - 涵江区

学校：蒲坂华侨初级中学

14.3　因式分解 初中数学       人教2011课标版

（一）教学知识点

使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.

（二）能力训练要求

通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.

（三）情感与价值观要求

通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.

1、本节课要求学生感知现实世界中存在的一些平方差公式题型，这种题型是学生应该知道的，在此基础上，让他们善于观察其特征并掌握运用平方差公式法解题。
2、平方差公式法的定义是在活动中学习，主要是通过模仿演示，动手操作使学生感知并了解平方差公式的基本特征，因此，让学生初步认识平方差公式的基本特征是重要的；以此掌握判断平方差公式方法的运用是不难的。
3、为了能更好地从形象到抽象逐步过渡的过程，本节课我主要采用了直观教学法和模仿探究法，在学生已有知识经验的基础上创设教学情境，引导学生自己观察、发现、探索，从对因式分解的进一步认识，到对因式分解的深入认识，使学生经历运用公式法分解因式解决现实生活实际问题的过程，进一步发展学生的抽象思维能力和综合应用能力。同时充分利用多种变式教学，丰富学生的感性认识，增强直观效果，提高教学效率。

●教学重点

1.理解因式分解的意义.

2.识别分解因式与整式乘法的关系.

●教学难点

通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？

［生］会.（a+b）（a－b）=a²－b².

［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a²－b²=（a+b）（a－b）是否成立呢？

［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.

［师］很好，a²－b²=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？

［生］会.（a+b）（a－b）=a²－b².

［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a²－b²中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a²－b²=（a+b）（a－b）是否成立呢？

［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a²－b²与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.

［师］很好，a²－b²=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.

Ⅱ.讲授新课

1.讨论99³－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.

［生］99³－99能被100整除.

因为99³－99

=99×99²－99

=99×（99²－1）

=99×9800

=99×98×100

其中有一个因数为100，所以99³－99能被100整除.

［师］99³－99还能被哪些正整数整除？

［生］还能被99，98,980,990,970等整除.

［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.

2.议一议

你能尝试把a³－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.

［师］大家可以观察a³－a与99³－99这两个代数式.

［生］a³－a=a（a²－1）=a（a－1）（a+1）

3.做一做

（1）计算下列各式：

①（m+4）（m－4）=__________;

②（y－3）2=__________;

③3x（x－1）=__________;

④m（a+b+c）=__________;

⑤a（a+1）（a－1）=__________.

［生］解：①（m+4）（m－4）=m2－16;

②（y－3）²=y2－6y+9;

③3x（x－1）=3x²－3x;

④m（a+b+c）=ma+mb+mc;

⑤a（a+1）（a－1）=a（a²－1）=a³－a.

（2）根据上面的算式填空：

①3x²－3x=（    ）（    ）;

②m²－16=（    ）（    ）;

③ma+mb+mc=（    ）（    ）;

④y²－6y+9=（    ）2.

⑤a3－a=（    ）（    ）.

［生］把等号左右两边的式子调换一下即可.即：

①3x2－3x=3x（x－1）;

②m2－16=（m+4）（m－4）;

③ma+mb+mc=m（a+b+c）;

④y²－6y+9=（y－3）²;

⑤a³－a=a（a²－1）=a（a+1）（a－1）.

［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？

［生］在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.

［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）.

4.想一想

由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a³－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？

［生］由a（a+1）（a－1）得到a³－a的变形是整式乘法，由a³－a得到a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.

［生］由（a+b）（a－b）=a²－b²可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a²－b^​2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.

［师］非常棒.下面我们一起来总结一下.

如：m（a+b+c）=ma+mb+mc （1）

ma+mb+mc=m（a+b+c） （2）

联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.

区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.

等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.

即ma+mb+mc  m（a+b+c）.

所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.

5.例题

下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;

（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;

（3）a2－4=（a+2）（a－2）;

（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.

连一连

解：​

本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.

习题14。3

14.3　因式分解

14.3　因式分解

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？

［生］会.（a+b）（a－b）=a²－b².

［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a²－b²=（a+b）（a－b）是否成立呢？

［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.

［师］很好，a²－b²=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？

［生］会.（a+b）（a－b）=a²－b².

［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a²－b²中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a²－b²=（a+b）（a－b）是否成立呢？

［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a²－b²与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.

［师］很好，a²－b²=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.

Ⅱ.讲授新课

1.讨论99³－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.

［生］99³－99能被100整除.

因为99³－99

=99×99²－99

=99×（99²－1）

=99×9800

=99×98×100

其中有一个因数为100，所以99³－99能被100整除.

［师］99³－99还能被哪些正整数整除？

［生］还能被99，98,980,990,970等整除.

［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.

2.议一议

你能尝试把a³－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.

［师］大家可以观察a³－a与99³－99这两个代数式.

［生］a³－a=a（a²－1）=a（a－1）（a+1）

3.做一做

（1）计算下列各式：

①（m+4）（m－4）=__________;

②（y－3）2=__________;

③3x（x－1）=__________;

④m（a+b+c）=__________;

⑤a（a+1）（a－1）=__________.

［生］解：①（m+4）（m－4）=m2－16;

②（y－3）²=y2－6y+9;

③3x（x－1）=3x²－3x;

④m（a+b+c）=ma+mb+mc;

⑤a（a+1）（a－1）=a（a²－1）=a³－a.

（2）根据上面的算式填空：

①3x²－3x=（    ）（    ）;

②m²－16=（    ）（    ）;

③ma+mb+mc=（    ）（    ）;

④y²－6y+9=（    ）2.

⑤a3－a=（    ）（    ）.

［生］把等号左右两边的式子调换一下即可.即：

①3x2－3x=3x（x－1）;

②m2－16=（m+4）（m－4）;

③ma+mb+mc=m（a+b+c）;

④y²－6y+9=（y－3）²;

⑤a³－a=a（a²－1）=a（a+1）（a－1）.

［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？

［生］在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.

［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）.

4.想一想

由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a³－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？

［生］由a（a+1）（a－1）得到a³－a的变形是整式乘法，由a³－a得到a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.

［生］由（a+b）（a－b）=a²－b²可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a²－b^​2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.

［师］非常棒.下面我们一起来总结一下.

如：m（a+b+c）=ma+mb+mc （1）

ma+mb+mc=m（a+b+c） （2）

联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.

区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.

等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.

即ma+mb+mc  m（a+b+c）.

所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.

5.例题

下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;

（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;

（3）a2－4=（a+2）（a－2）;

（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.

连一连

解：​

本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.

习题14。3