21.1 一元二次方程教案板书设计

地区： 湖北省 - 天门市 -

学校：天门市竟陵初级中学

21.1　一元二次方程 初中数学       人教2011课标版

本节是在配方法解一元二次方程的基础上学习公式法解方程

1，难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；

  2，重点：

对文字系数二次三项式进行配方；

求根公式的结构比较复杂，

不易记忆；

系数和常数为负数时

,

代入求根公式常出符号错误。

【问题】（学生总结，老师点评）

1.用配方法解下列方程

    （1）6x2－7x+1=0   （2）4x2－3x=52

2．总结用配方法解一元二次方程的步骤。

（1）移项；

    （2）化二次项系数为1；

    （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

    （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；

    （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

探索新知

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

【问题】

已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2－4ac≥0，试推导它的两个根为x1= ，x2=

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

    解：移项，得：ax2+bx=－c

    二次项系数化为1，得x2+ x=－

    配方，得：x2+ x+（ ）2=－ +（ ）2

    即（x+ ）2=

    ∵b2－4ac≥0且4a2>0

    ∴ ≥0

    直接开平方，得：x+ =±

    即x=

    ∴x1= ，x2=

【说明】

这里  （ ）是一元二次方程的求根公式

【活动方略】

鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式．

【设计意图】

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。

【思考】

利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？

（1）   （2）   （3）

【活动方略】

在教师的引导下，学生回答，教师板书

引导学生总结步骤：确定 的值、算出 的值、代入求根公式求解．

在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：

（1）一元二次方程 的根是由一元二次方程的系数 确定的；

（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在 的前提下，把 的值代入  （ ）中，可求得方程的两个根；

（3）我们把公式 （ ）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；

（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．

【设计意图】

主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．

反馈练习

教材P42  练习第1、2题．

补充习题：

用公式法解下列方程．

    （1）x2－5x－6=0    （2）7x2+2x－1=0    （3）3x2－5x+2=0

    （4）5x2+2x－6=0   （5）4x2－7x+2=0    （6）2x2－ x－ =0

　　【活动方略】

学生独立思考、独立解题．

    教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

【设计意图】

检查学生对知识的掌握情况.

应用拓展

 例：某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m－2）x－1=0提出了下列问题．

    （1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．

    （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．

    你能解决这个问题吗？

    分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．

    （2）要使它为一元一次方程，必须满足:

① 或② 或③

    解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2

                               m2=1  m=±1

      当m=1时，m+1=1+1=2≠0

      当m=－1时，m+1=－1+1=0（不合题意，舍去）

      ∴当m=1时，方程为2x2－1－x=0

      a=2，b=－1，c=－1

      b2－4ac=（－1）2－4×2×（－1）=1+8=9

      x=

      x1=1，x2=－

      因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=－ ．

    （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0

    因为当m=0时，（m+1）+（m－2）=2m－1=－1≠0

    所以m=0满足题意．

    ②当m2+1=0，m不存在．

    ③当m+1=0，即m=－1时，m－2=－3≠0

    所以m=－1也满足题意．

    当m=0时，一元一次方程是x－2x－1=0，

    解得：x=－1

    当m=－1时，一元一次方程是－3x－1=0

    解得x=－

    因此，当m=0或－1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=－1；当m=－1时，其一元一次方程的根为x=－ ．

【活动方略】

教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．

学生活动：合作交流，讨论解答。

【设计意图】

使学生应用方程有关的有关舦知识解题，进一步掌握公式法。

小结作业

1．问题：

本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？

本节课应掌握：

    （1）求根公式的概念及其推导过程；

    （2）公式法的概念；

    （3）应用公式法解一元二次方程；

2．作业：课本P45  习题22．2 　 第4、6题

21.1　一元二次方程

21.1　一元二次方程

【问题】（学生总结，老师点评）

1.用配方法解下列方程

    （1）6x2－7x+1=0   （2）4x2－3x=52

2．总结用配方法解一元二次方程的步骤。

（1）移项；

    （2）化二次项系数为1；

    （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

    （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；

    （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

探索新知

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

【问题】

已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2－4ac≥0，试推导它的两个根为x1= ，x2=

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

    解：移项，得：ax2+bx=－c

    二次项系数化为1，得x2+ x=－

    配方，得：x2+ x+（ ）2=－ +（ ）2

    即（x+ ）2=

    ∵b2－4ac≥0且4a2>0

    ∴ ≥0

    直接开平方，得：x+ =±

    即x=

    ∴x1= ，x2=

【说明】

这里  （ ）是一元二次方程的求根公式

【活动方略】

鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式．

【设计意图】

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。

【思考】

利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？

（1）   （2）   （3）

【活动方略】

在教师的引导下，学生回答，教师板书

引导学生总结步骤：确定 的值、算出 的值、代入求根公式求解．

在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：

（1）一元二次方程 的根是由一元二次方程的系数 确定的；

（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在 的前提下，把 的值代入  （ ）中，可求得方程的两个根；

（3）我们把公式 （ ）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；

（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．

【设计意图】

主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．

反馈练习

教材P42  练习第1、2题．

补充习题：

用公式法解下列方程．

    （1）x2－5x－6=0    （2）7x2+2x－1=0    （3）3x2－5x+2=0

    （4）5x2+2x－6=0   （5）4x2－7x+2=0    （6）2x2－ x－ =0

　　【活动方略】

学生独立思考、独立解题．

    教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

【设计意图】

检查学生对知识的掌握情况.

应用拓展

 例：某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m－2）x－1=0提出了下列问题．

    （1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．

    （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．

    你能解决这个问题吗？

    分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．

    （2）要使它为一元一次方程，必须满足:

① 或② 或③

    解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2

                               m2=1  m=±1

      当m=1时，m+1=1+1=2≠0

      当m=－1时，m+1=－1+1=0（不合题意，舍去）

      ∴当m=1时，方程为2x2－1－x=0

      a=2，b=－1，c=－1

      b2－4ac=（－1）2－4×2×（－1）=1+8=9

      x=

      x1=1，x2=－

      因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=－ ．

    （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0

    因为当m=0时，（m+1）+（m－2）=2m－1=－1≠0

    所以m=0满足题意．

    ②当m2+1=0，m不存在．

    ③当m+1=0，即m=－1时，m－2=－3≠0

    所以m=－1也满足题意．

    当m=0时，一元一次方程是x－2x－1=0，

    解得：x=－1

    当m=－1时，一元一次方程是－3x－1=0

    解得x=－

    因此，当m=0或－1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=－1；当m=－1时，其一元一次方程的根为x=－ ．

【活动方略】

教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．

学生活动：合作交流，讨论解答。

【设计意图】

使学生应用方程有关的有关舦知识解题，进一步掌握公式法。

小结作业

1．问题：

本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？

本节课应掌握：

    （1）求根公式的概念及其推导过程；

    （2）公式法的概念；

    （3）应用公式法解一元二次方程；

2．作业：课本P45  习题22．2 　 第4、6题