21.1 一元二次方程课堂实录及点评

地区： 四川省 - 自贡市 - 自流井

学校：四川省自贡市第三十五中学

21.1　一元二次方程 初中数学       人教2011课标版

知识与技能：探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识

过程与方法：在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系

情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．

一元二次方程是方程在一元一次方程基础上 “次”的推广，同时它是解决诸多实际问题的需要，为勾股定理、相似等知识提供运算工具，是二次函数的基础．

针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足 “二次”的要求，从另一个侧面为理解一元二次方程的概念提供了契机．

一元二次方程是学生学习的第四个方程知识，首先在初一学习了一元一次方程，接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习，初二分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现，到一元二次方程第一次实现 “次”的提升．学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方程是二次的呢？教学中要直面学生的疑问，显化学生的疑问，启发学生自己解释疑问，才能避免“灌输”，体现知识存在的必要性，增强学好的信念．培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，让学生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，对初三学生是必须的，也是适可的．

问题1  如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
　　　　　　　　　　
    学生通过分析设出合适的未知数，列出方程．问题1考虑从不同角度列方程，角度一：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是x cm，则有方程(100－2x)(50－2x)＝3 600；角度二：等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积，再减去四个长方形的面积，同样设正方形的长是x cm，则有方程5000-4x²-2x(50-2x)-2x(100-2x) =3600'通过整理得到方程x²-75x+350=0 ．

问题2  要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛共28场，若设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 1/2x(x-1)场，于是得到方程1/2x(x-1)=28 ，经过整理得到方程x²-x-56=0 ．

教师应注意：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题．

说明：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．

观察下列得到的方程：

（1）x²+2x-4=0

（2）x²-75x+350=0

（3）x²-x=56

学生活动：请口答下面问题．

    （1）上面几个方程整理后含有几个未知数？

    （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

结论：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．

归纳定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

     一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a≠0）．

其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

思考：为什么规定a≠0

强调：一元二次方程定义中的三个条件：（1）是整式方程，（2）含有一个未知数，（3）未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可

说明：主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．

例：将方程 3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．

解：去括号得

  3x²-3x=5x+10      ，

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式

3x²-8x-10=0．

其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．

学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．

教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．

说明：进一步巩固一元二次方程的基本概念．

课本P4  练习1，2　　

补充习题：将方程（x+1）²+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

课堂小结

1.一元二次方程的概念.

一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围

2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念

作业

    课本P4   习题1、2、

21.1　一元二次方程

21.1　一元二次方程

问题1  如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
　　　　　　　　　　
    学生通过分析设出合适的未知数，列出方程．问题1考虑从不同角度列方程，角度一：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是x cm，则有方程(100－2x)(50－2x)＝3 600；角度二：等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积，再减去四个长方形的面积，同样设正方形的长是x cm，则有方程5000-4x²-2x(50-2x)-2x(100-2x) =3600'通过整理得到方程x²-75x+350=0 ．

问题2  要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛共28场，若设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 1/2x(x-1)场，于是得到方程1/2x(x-1)=28 ，经过整理得到方程x²-x-56=0 ．

教师应注意：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题．

说明：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．

观察下列得到的方程：

（1）x²+2x-4=0

（2）x²-75x+350=0

（3）x²-x=56

学生活动：请口答下面问题．

    （1）上面几个方程整理后含有几个未知数？

    （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

结论：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．

归纳定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

     一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a≠0）．

其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

思考：为什么规定a≠0

强调：一元二次方程定义中的三个条件：（1）是整式方程，（2）含有一个未知数，（3）未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可

说明：主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．

例：将方程 3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．

解：去括号得

  3x²-3x=5x+10      ，

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式

3x²-8x-10=0．

其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．

学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．

教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．

说明：进一步巩固一元二次方程的基本概念．

课本P4  练习1，2　　

补充习题：将方程（x+1）²+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

课堂小结

1.一元二次方程的概念.

一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围

2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念

作业

    课本P4   习题1、2、