21.3 实际问题与一元二次方程教学设计(教案)

地区： 四川省 - 绵阳市 - 江油市

学校：江油市青莲镇初级中学

21.3　实际问题与一元二次… 初中数学       人教2011课标版

1.会利用一元二次方程解决简单的图形问题.

2.培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识

本节前已经学习了一元二次方程的概念和一元二次方程的解法及根与系数的关系，学生已经有了一定的基础。

1.重点：利用一元二次方程解决简单的图形问题.

2.难点：根据图形问题列方程.

师：前面我们学习了有关一元二次方程的知识，我们学习了什么是一元二次方程，学习了什么是一元二次方程的根，学习了如何解一元二次方程.现在，老师要同学们想这样一个问题：为什么要学习这些知识？学习这些知识的目的是什么？（稍停后再叫学生）

生：……（多让几名同学发表看法）

师：和一元一次方程一样，一元二次方程也是解决实际问题的工具.学习一元二次方程不是为了什么，而是为了解决实际问题.从这节课开始，我们来学习如何利用一元二 次方程解决实际问题（板书课题：22.3实际问题与一元二次方程）.

师：下面我们来看一个例子.

例 扎西家有一个长方形院子，它的长比宽多3米，面积为54平方米，院子的长和宽各是多少米？

师：大家把这个题目默读几遍.（生默读）

师：题目要求院子的长和宽，我们设院子的长为x米，则院子的宽为多少米？

生：(x-3)米（师板书：解：设院子的长为x米，则院子的宽为(x-3)米）.

师：读了题目，又设好了未知数，你能按题目的意思画一个图吗？大家试一试.

  （生画图，师巡视）

师：我们一起来画图.扎西家有一个长方形的院子（边讲边画一个长方形），现在设这个院子的长为x米（边讲边标：x米），则宽为 (x-3)米（边讲边标：(x-3)米），院子的面积为54平方米（边讲边标：面积54平方米，画好的图如下所示）.

师：根据这个图，大家列一列方程.

  （生列方程，师巡视）

师：（板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？

生：x(x-3)=54.（多让几名同学回答，然后师板书：x(x-3)=54）

师：（指方程）列出的方程是一个一元二次方程，大家把它整理成一 般形式.（生整理方程）

师：整理后的方程是什么？

生：x2-3x-54=0（师板书：整理，得x2-3x-54=0）.

师：（指x2-3x-54=0）大家用公式法解这个方程.

  （生解方程，师 巡视）

师：方程的两个根x1等于什么？x2等于什么？

生：x1=9，x2=-6（师板书：解方程，得x1=9，x2=-6，如有必要师可在黑板的其它地方板演解方程过程）

师：（指准x(x-3)=54）这里的x表示什么？（稍停）表示院子的长，院子的长不能是负数，（指准x1=9，x2=-6）所以x2=-6不符合题目的意思，要舍去（板书 ：（不合题意，舍去））.所以院子的长为9米（板书：答：院子的长为9米）.

师：院子的宽为多少米？

生：宽为6米.（师板书：宽为6米）

师：这道题目做完了，做了这道题目，谁来归纳一下怎么利用一元二次方程解决实际问题？（让生思考一会儿后再叫学生）

生：……（让几名同学回答）

师：（指准例题）利用一元二次方程解决实际问题，第一步要读题，反复地读题，有的时候还可以画一画图，通过读题画图弄清题目的意思；第二步设未知数；第三步根据题目的意思列出一元二次方程；第四步解一元二次方程，一元二次方程的根有两个，要根据题意来取舍解出的根，-6这个根不符合题目意思，要舍去；第五步答 .

师：利用一元二次方程解决实际问题就这么五步，实际上与利用一元一次方程解决实际问题的步骤是一样的.

师：下面就请同学们自己来做两个练习.

1.完成下面的解题过程：

  一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2,求两条直角边的长.

  解：设一条直角边的长为      cm，则另一条直角边的长为          cm.

      根据题意列方程，得                        .

      整理，得                             .

      解方程，得  x1=      ，x2=      （不合题意，舍去）.

  答：一条直角边的长为      cm，则另一条直角边的长为      cm.

2.一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，

  (1)求菱形的两条对角线长；

  (2)求菱形的周长.

  （提示：菱形的面积=两条对角线积的一半）

师：（指例题）本节课我们 学习了一个例题，大家再看一看这个例题，回顾一下利用一元二次方程解决问题有哪几个步骤.

（作业：P48习题1(1)(2)2.3.）

21.3　实际问题与一元二次方程

21.3　实际问题与一元二次方程

师：前面我们学习了有关一元二次方程的知识，我们学习了什么是一元二次方程，学习了什么是一元二次方程的根，学习了如何解一元二次方程.现在，老师要同学们想这样一个问题：为什么要学习这些知识？学习这些知识的目的是什么？（稍停后再叫学生）

生：……（多让几名同学发表看法）

师：和一元一次方程一样，一元二次方程也是解决实际问题的工具.学习一元二次方程不是为了什么，而是为了解决实际问题.从这节课开始，我们来学习如何利用一元二 次方程解决实际问题（板书课题：22.3实际问题与一元二次方程）.

师：下面我们来看一个例子.

例 扎西家有一个长方形院子，它的长比宽多3米，面积为54平方米，院子的长和宽各是多少米？

师：大家把这个题目默读几遍.（生默读）

师：题目要求院子的长和宽，我们设院子的长为x米，则院子的宽为多少米？

生：(x-3)米（师板书：解：设院子的长为x米，则院子的宽为(x-3)米）.

师：读了题目，又设好了未知数，你能按题目的意思画一个图吗？大家试一试.

  （生画图，师巡视）

师：我们一起来画图.扎西家有一个长方形的院子（边讲边画一个长方形），现在设这个院子的长为x米（边讲边标：x米），则宽为 (x-3)米（边讲边标：(x-3)米），院子的面积为54平方米（边讲边标：面积54平方米，画好的图如下所示）.

师：根据这个图，大家列一列方程.

  （生列方程，师巡视）

师：（板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？

生：x(x-3)=54.（多让几名同学回答，然后师板书：x(x-3)=54）

师：（指方程）列出的方程是一个一元二次方程，大家把它整理成一 般形式.（生整理方程）

师：整理后的方程是什么？

生：x2-3x-54=0（师板书：整理，得x2-3x-54=0）.

师：（指x2-3x-54=0）大家用公式法解这个方程.

  （生解方程，师 巡视）

师：方程的两个根x1等于什么？x2等于什么？

生：x1=9，x2=-6（师板书：解方程，得x1=9，x2=-6，如有必要师可在黑板的其它地方板演解方程过程）

师：（指准x(x-3)=54）这里的x表示什么？（稍停）表示院子的长，院子的长不能是负数，（指准x1=9，x2=-6）所以x2=-6不符合题目的意思，要舍去（板书 ：（不合题意，舍去））.所以院子的长为9米（板书：答：院子的长为9米）.

师：院子的宽为多少米？

生：宽为6米.（师板书：宽为6米）

师：这道题目做完了，做了这道题目，谁来归纳一下怎么利用一元二次方程解决实际问题？（让生思考一会儿后再叫学生）

生：……（让几名同学回答）

师：（指准例题）利用一元二次方程解决实际问题，第一步要读题，反复地读题，有的时候还可以画一画图，通过读题画图弄清题目的意思；第二步设未知数；第三步根据题目的意思列出一元二次方程；第四步解一元二次方程，一元二次方程的根有两个，要根据题意来取舍解出的根，-6这个根不符合题目意思，要舍去；第五步答 .

师：利用一元二次方程解决实际问题就这么五步，实际上与利用一元一次方程解决实际问题的步骤是一样的.

师：下面就请同学们自己来做两个练习.

1.完成下面的解题过程：

  一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2,求两条直角边的长.

  解：设一条直角边的长为      cm，则另一条直角边的长为          cm.

      根据题意列方程，得                        .

      整理，得                             .

      解方程，得  x1=      ，x2=      （不合题意，舍去）.

  答：一条直角边的长为      cm，则另一条直角边的长为      cm.

2.一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，

  (1)求菱形的两条对角线长；

  (2)求菱形的周长.

  （提示：菱形的面积=两条对角线积的一半）

师：（指例题）本节课我们 学习了一个例题，大家再看一看这个例题，回顾一下利用一元二次方程解决问题有哪几个步骤.

（作业：P48习题1(1)(2)2.3.）