19.1函数（通用）教案设计（一等奖）

地区： 江苏省 - 南通市 - 海安县

学校：海安县海陵中学

19.1 函数 初中数学       人教2011课标版

知识与技能

了解常量和变量的意义，弄懂常量和变量的区别和联系，能分清实例中的常量和变量；

能结合实例，初步掌握函数的概念，会判断两个变量间的关系是否可以看作函数；

了解函数的三种表示方法．

过程与方法

体会事物是相互联系、运动变化的，体验函数是研究运动、变化的数学模型；

培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力．

情感与态度

激发学习兴趣和学习的主动性．

以函数概念产生为标志的变量数学时期，是数学漫长的发展历史中经历的四个时期之一，这之后才进入了以集合论为标志的现代数学时期． “函数”从量的侧面去描述了客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．函数是刻画变量间的一种特殊关系——单值对应关系的数学模型，它是中学数学中最重要的概念之一． 在学习生活中，学生对实际问题里出现的变量之间的单值对应关系已有所感知，但未正式明确和提出相关概念，本节课是中学整个函数概念教学的起始课，对后继一些特殊函数概念的理解和掌握，具有奠基作用． 教科书从五个具有实际背景的问题入手，引导学生通过填表和列式表示问题中的相关量，从中认识常量和变量的主要特征，学会区别它们．接着，教科书通过“归纳”栏目总结出这些问题中变量间关系的对应值．教科书又继续用心电图、人口统计表等问题对这种变化与对应关系进行了补充和强化，这也为后面的函数表示法写下伏笔．在此基础上，教科书第一次给出了函数的一般概念以及自变量、函数值等概念．教科书给出的函数定义是突出变化和对应的，其中主要有两层意思：（一）两个变量互相联系，一个变量变化时另一个变量也发生变化；

（二）函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的．这样的定义是函数的最基本、最朴素的刻画．

函数概念的理解

 教   学   过   程

从Microsoft  Office  PowerPoint 2003制作的课件中链接到Windows Media Player及Macromedia  Flash 8软件，播放一组视频画面：

① 行星在宇宙中的位置随时间变化；

② 细胞分裂图；

③ 水滴下的圆逐渐扩大；

④ 摩天轮的座椅高度随运动时间而变化；

⑤ 汽车运动．

〖师白〗

大千世界处在不停的运动变化之中，为了更深刻地认识千变万化的世界，人们经归纳总结，得出一个重要的数学工具——函数，用它来描述变化中的数量关系．本节课我们将研究“变量与函数”．（开门见山，揭示课题）

问题1 （从生活中熟悉的汽车运动问题开始）

  一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶的里程为S千米,行驶时间为t小时.

(1) 在这个运动过程中,变化的量是                      .           .

没有变化的量是                .

(2) 用含有t的代数式表示s为                  .             .

 问题2 （弹簧长度随所挂物重而变化问题） 如果弹簧原长为10cm，每1kg的重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含有重物质量m(kg)的式子表示受力后弹簧的长度l(cm)？

问题3 （水滴动画，圆的周长与面积 随半径而变化问题） 半径R(cm) 1 2 3 4 周长C(cm) 2π 面积S(cm2 ) π

〖师白〗 上述问题反应了不同的事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化的，有些量的值是始终不变的．“在一个变化过程中，数值发生变化的量，数值始终不变的量”分别叫什么呢？ 请学生“起名”．

〖练一练〗 1．某班共有54人，在为灾区人民“献爱心”捐款活动中, 平均每人捐款n元,该班捐款总金额m元与人均捐款n元的关系可 表示为            ,其中常量是            ,变量 是             .

2. 秀水村的耕地面积是150公顷, 这个村人均占有耕地面积y公顷随这个村人数n变化的关系可表示为 , 其中常量是           , 变量是              .

3．举一个变化的实例，指出其中的常量与变量． （学生交流，教师对学生回答中表达有误的地方进行修正）

教 学 过 程 1．围绕函数概念中的三个要点，剖析实例．

（回到问题1、2、3，再认识概念） 问题1 一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米.行驶时间为t小时.

（1）在这个运动过程中,变化的量是 时间和路程， 没有变化的量是 速 度 .

（2）用含有t的代数式表示s为 s ＝ 60t .

 问题2 如果弹簧原长10 cm.每1kg重物使弹簧伸长0.5 cm，如果所挂重物质量为m(kg) ,受力后的弹簧长度为l (cm), 请填写下表:

l ＝0.5m＋10 所挂重物m (kg) 1     2     3     4     5

                        弹簧长度l (cm)

问题3

半 径 (cm)    1     2     3     4     5

面积 ( cm2)  π   4π   9π 16π  25π

2．分析三个变化过程中的共同特征．

（1）都有两个变量；

（2）变量之间是相互联系的，一个变量的变化会引起另一个量的相应变化．

（3）其中的一个变量取一个确定的值，另一个变量的值有唯一 确定的值与之相对应．

3．抽象得出函数概念． 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

4．函数值的概念． 如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量x为a时y的函数值.

5．函数与函数值的区别． 函数是对变量而言的，函数值是变量所取的某个具体数值而言的，一个函数可能有许多不同的函数值．

例如y＝2x，y是可以随x的变化而变化的量，变量y是变量x的函数，但x＝1时，函数y＝2x的函数值等于2，当x＝-2时，函数y＝2x的函数值等于-4．

〖看一看〗

在下面的我国人口数统计表中，年份和人口数可以记作两个变量x与y． 中国人口数统计表 年份( x ) 人口数/亿( y ) 1984 10.34 1989 11.06 1994 11.76 1999 12.52 在我国人口数统计表中，y是x的函数吗？为什么？ 当x＝1999时，函数值y＝_______ ．

〖函数的表示方法〗

1．通过以上几题，引导学生总结归纳三种常见的函数表示方法 ：

（1）列表法；（2）解析法（关系式法）；（3）图象法．

2．思考交流：几种表示方法的各自有哪些优、缺点？ （有时间可列表说明，视时间情况而定）

〖独立思考与交流讨论〗

〖粒粒归仓〗 提问：通过这一节课的学习，你有哪些收获？

1．知识点：

（1）四个概念：常量与变量、自变量与函数；

（2）函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．

2．结构框图：

课后作业：讲义。

19.1 函数

19.1 函数

 教   学   过   程

从Microsoft  Office  PowerPoint 2003制作的课件中链接到Windows Media Player及Macromedia  Flash 8软件，播放一组视频画面：

① 行星在宇宙中的位置随时间变化；

② 细胞分裂图；

③ 水滴下的圆逐渐扩大；

④ 摩天轮的座椅高度随运动时间而变化；

⑤ 汽车运动．

〖师白〗

大千世界处在不停的运动变化之中，为了更深刻地认识千变万化的世界，人们经归纳总结，得出一个重要的数学工具——函数，用它来描述变化中的数量关系．本节课我们将研究“变量与函数”．（开门见山，揭示课题）

问题1 （从生活中熟悉的汽车运动问题开始）

  一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶的里程为S千米,行驶时间为t小时.

(1) 在这个运动过程中,变化的量是                      .           .

没有变化的量是                .

(2) 用含有t的代数式表示s为                  .             .

 问题2 （弹簧长度随所挂物重而变化问题） 如果弹簧原长为10cm，每1kg的重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含有重物质量m(kg)的式子表示受力后弹簧的长度l(cm)？

问题3 （水滴动画，圆的周长与面积 随半径而变化问题） 半径R(cm) 1 2 3 4 周长C(cm) 2π 面积S(cm2 ) π

〖师白〗 上述问题反应了不同的事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化的，有些量的值是始终不变的．“在一个变化过程中，数值发生变化的量，数值始终不变的量”分别叫什么呢？ 请学生“起名”．

〖练一练〗 1．某班共有54人，在为灾区人民“献爱心”捐款活动中, 平均每人捐款n元,该班捐款总金额m元与人均捐款n元的关系可 表示为            ,其中常量是            ,变量 是             .

2. 秀水村的耕地面积是150公顷, 这个村人均占有耕地面积y公顷随这个村人数n变化的关系可表示为 , 其中常量是           , 变量是              .

3．举一个变化的实例，指出其中的常量与变量． （学生交流，教师对学生回答中表达有误的地方进行修正）

教 学 过 程 1．围绕函数概念中的三个要点，剖析实例．

（回到问题1、2、3，再认识概念） 问题1 一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米.行驶时间为t小时.

（1）在这个运动过程中,变化的量是 时间和路程， 没有变化的量是 速 度 .

（2）用含有t的代数式表示s为 s ＝ 60t .

 问题2 如果弹簧原长10 cm.每1kg重物使弹簧伸长0.5 cm，如果所挂重物质量为m(kg) ,受力后的弹簧长度为l (cm), 请填写下表:

l ＝0.5m＋10 所挂重物m (kg) 1     2     3     4     5

                        弹簧长度l (cm)

问题3

半 径 (cm)    1     2     3     4     5

面积 ( cm2)  π   4π   9π 16π  25π

2．分析三个变化过程中的共同特征．

（1）都有两个变量；

（2）变量之间是相互联系的，一个变量的变化会引起另一个量的相应变化．

（3）其中的一个变量取一个确定的值，另一个变量的值有唯一 确定的值与之相对应．

3．抽象得出函数概念． 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

4．函数值的概念． 如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量x为a时y的函数值.

5．函数与函数值的区别． 函数是对变量而言的，函数值是变量所取的某个具体数值而言的，一个函数可能有许多不同的函数值．

例如y＝2x，y是可以随x的变化而变化的量，变量y是变量x的函数，但x＝1时，函数y＝2x的函数值等于2，当x＝-2时，函数y＝2x的函数值等于-4．

〖看一看〗

在下面的我国人口数统计表中，年份和人口数可以记作两个变量x与y． 中国人口数统计表 年份( x ) 人口数/亿( y ) 1984 10.34 1989 11.06 1994 11.76 1999 12.52 在我国人口数统计表中，y是x的函数吗？为什么？ 当x＝1999时，函数值y＝_______ ．

〖函数的表示方法〗

1．通过以上几题，引导学生总结归纳三种常见的函数表示方法 ：

（1）列表法；（2）解析法（关系式法）；（3）图象法．

2．思考交流：几种表示方法的各自有哪些优、缺点？ （有时间可列表说明，视时间情况而定）

〖独立思考与交流讨论〗

〖粒粒归仓〗 提问：通过这一节课的学习，你有哪些收获？

1．知识点：

（1）四个概念：常量与变量、自变量与函数；

（2）函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．

2．结构框图：

课后作业：讲义。