阅读与思考 黄金分割数公开课教案

地区： 湖北省 - 荆州市 - 公安县

学校：公安县甘家厂初级中学

阅读与思考　黄金分割数 初中数学       人教2011课标版

一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1,x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后是通过几个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。

根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家）。韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。

通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

学生已经学会了一元二次方程的多种解法，已经掌握了根的判别式的应用，已经具备了学习根与系数关系的条件。

知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。

情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。

教学重点：根与系数关系及运用

教学难点：定理的发现及运用。

b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用“△” 表示；

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况：

△＞0时，方程有两个不相等实数根

△=b2－4ac  ＝0时，方程有两个相等的实数根

△＜0时，方程没有实数根

问题. 在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。

设计意图：让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望。

例1 解下列方程，并计算各方程的两根之和与两根之积

(1)x2+3x+2=0

(2)x2+5x+6=0

(3)x2-6x+8=0

(4)x2-8x-9=0

设计意图:通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。

若一元二次方程ax² +bx+c=0（a≠0）的两根为x₁ 、x₂ ，

x₁+ x₂=- ba           x₁   . x₂=ca  

特殊的：若一元二次方程 x²+px+q=0的两根为 、 ，则

x₁+x₂ =-p              x₁  .x₂ =q

证明此处略（师生合作完成）

设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。

求下列方程的两根之和与两根之积.

（1）x² -6x-15=0       (2)5x-1= 4x²

(3) x²=4               (4)2x² =3x

(5)x² -(k+1)x+2k-1=0(x是未知数，k是常数)

设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解。

若一元二次方程x² -4 x+2=0的两根是 x₁、x₂ ，求下列各式的值：

（1）1x1   +   1x2                    （2）1x²₁   +1x²₂  

设计意图：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。

若一元二次方程x² +ax+2=0的两根满足：x_1² +x_2^​2 =12，求a的值。

设计意图：它是例2的一个变式，目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和等于2等。

1.试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）

练习2、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-7x-9=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。

（1）x2-3x=-2     x1+x2= ________      x1x2= _________            

（2）3x2+5x=0        x1+x2= ________      x1x2= __________            

（3）5x2-3x-2=0       x1+x2= _________     x1x2= __________           

（4）5x2+kx-6=0      x1+x2= _________     x1x2= __________           

练习3．已知三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两个，等腰三角形的另一条边c=4,求这个等腰三角形的周长。

让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。

阅读与思考　黄金分割数

阅读与思考　黄金分割数

b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用“△” 表示；

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况：

△＞0时，方程有两个不相等实数根

△=b2－4ac  ＝0时，方程有两个相等的实数根

△＜0时，方程没有实数根

问题. 在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。

设计意图：让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望。

例1 解下列方程，并计算各方程的两根之和与两根之积

(1)x2+3x+2=0

(2)x2+5x+6=0

(3)x2-6x+8=0

(4)x2-8x-9=0

设计意图:通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。

若一元二次方程ax² +bx+c=0（a≠0）的两根为x₁ 、x₂ ，

x₁+ x₂=- ba           x₁   . x₂=ca  

特殊的：若一元二次方程 x²+px+q=0的两根为 、 ，则

x₁+x₂ =-p              x₁  .x₂ =q

证明此处略（师生合作完成）

设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。

求下列方程的两根之和与两根之积.

（1）x² -6x-15=0       (2)5x-1= 4x²

(3) x²=4               (4)2x² =3x

(5)x² -(k+1)x+2k-1=0(x是未知数，k是常数)

设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解。

若一元二次方程x² -4 x+2=0的两根是 x₁、x₂ ，求下列各式的值：

（1）1x1   +   1x2                    （2）1x²₁   +1x²₂  

设计意图：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。

若一元二次方程x² +ax+2=0的两根满足：x_1² +x_2^​2 =12，求a的值。

设计意图：它是例2的一个变式，目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和等于2等。

1.试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）

练习2、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-7x-9=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。

（1）x2-3x=-2     x1+x2= ________      x1x2= _________            

（2）3x2+5x=0        x1+x2= ________      x1x2= __________            

（3）5x2-3x-2=0       x1+x2= _________     x1x2= __________           

（4）5x2+kx-6=0      x1+x2= _________     x1x2= __________           

练习3．已知三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两个，等腰三角形的另一条边c=4,求这个等腰三角形的周长。

让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。