8.2 消元——解二元一次方程组优秀说课稿

地区： 河南省 - 许昌市 - 鄢陵县

学校：鄢陵县马栏镇第一中学

8.2　消元——解二元一次… 初中数学       人教2011课标版

（1）理解解二元一次方程组的基本思路“消元”，经历从未知向已知转化的过程，培养观察分析能力，体会化归思想；初步体会解方程组过程中体现的程序化思想；

（2）能用代入消元法、加减消元法解简单的二元一次方程组，会根据方程组特征选择适当的方法，体会简化思想，培养运算能力；

（3）在探究过程中，培养合作交流意识与探究精神，增强学习兴趣，感受数学美．

（1）学生对代数思想的认识不够，缺乏用字母表示数的意识，发现式的变形和依据的能力不强．如用代入法解二元一次方程组时，需要先把其中一个方程变形成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，再利用整体代换的方式替换出一元．这其中所蕴含的式的变形及整体代入思想，都是需要学生理解的．

（2）学生对解法的关注点往往集中在不同的方法上，而忽视相同的思想；集中在不同的变形技巧上，而忽视相同的程序化过程；集中在答案的对与错，而忽视解题过程的简与繁．

教学重点

理解解二元一次方程组的基本思路“消元”，会用代入、加减消元法解简单的二元一次方程组．

教学难点

学生探究并理解为什么能通过代入、加减消元把二元一次方程组转化为一元一次方程．

首先，这是二元一次方程组解法的第一节课，学生初次接触方程组的解法，同时思维的重点也集中在如何把未知问题转化为已知问题，把二元问题转化为一元问题。因此，教学的重点是对转化思想、消元方法的理解，而不是对解法的熟练运用，故在目标中设定为“能用代入、加减消元法解简单的二元一次方程组”．

其次，程序化思想虽然重要，但学生在本节课接触的例题还比较少，缺少大量积累后的感悟，同时又没有探讨二元一次方程组的标准方程的解法（即二元一次方程组的求解公式），所以只能在几个主要步骤环节让学生“初步体会解方程组过程中体现的程序化思想”．

最后，化归思想是化难为易、化繁为简、化未知为已知．代入、加减是方法，消元是目的，转化是本质．所以本节课探究利用代入、加减消元法解二元一次方程组的基本步骤，立足于化归思想的逐步形成

教学过程设计

先行组织者：在上一节课，我们通过对一道与篮球比赛得分有关的实际问题的研究，学习了二元一次方程组，以及二元一次方程组的解．当我们列出二元一次方程组后，所关心的就是如何求出这个方程组的解．在此之前,我们学习了如何解一元一次方程，解一元一次方程的主要依据是等式性质．今天我们就来共同探究，能否利用等式性质和一元一次方程的相关知识，解二元一次方程组．

（一）探究新知

例题　在上一节课，通过对实际问题的分析，我们列出了二元一次方程组

你会解这个方程组吗？

（教师不加任何解释和引导，让学生自主探究方程组的解法．）

预案1

解：由①得 ③

把③代入②，得

解这个方程，得

（这时教师可以提出问题：为什么可以代入？代入①可不可以？得到的方程是什么方程？）

把 代入③，得

（这时教师可以提出问题：代入①或②行不行？好不好？）

所以原方程组的解为

（1）提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？

【设计意图】引导学生理解等量代换在代入消元法解方程组过程中的应用．体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．

（在“为什么可以代入”这一问题的解决过程中，引导学生回顾二元一次方程组的定义，和二元一次方程组的解的定义，再一次理解定义中的“相同未知数”、“公共解”．）

（2）引申问题：有没有办法得到关于 的一元一次方程？

解：由①得   ③   

把③代入②，得

解这个方程，得

（这时教师可以提出问题：代入①可不可以？）    

把 代入③，得

（这时教师可以提出问题：代入①或②可不可以？）

所以原方程组的解是

（3）小结：这种解二元一次方程组的方法，我们称之为代入消元法．

问题1：你认为哪一步是最重要的？为什么?

（“代入”，把二元一次方程组转化为一元一次方程．）

问题2：应用代入消元法前，需要先做的准备工作是什么？

（用含一个未知数的式子表示另一个未知数．）

问题3：除了代入法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案2）？

预案2

解：由②-①，得

（这时教师可以提出问题：这一步的依据是什么？）

把 代入①，得

（这时教师可以提出问题：代入②可以吗？）

所以原方程组的解是

（1）提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？

【设计意图】引导学生理解等式性质在加减消元法解方程组过程中的应用，体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．

（2）引申问题：能不能先消 ？

解：①×2，得   

  ③   

③-②，得              

（这时教师可以提出问题：②-③可以吗？好吗？）

把 代入①，得

所以原方程组的解是

（3）小结：这种解二元一次方程组的方法我们称之为加减消元法．

问题1：你认为哪一步是最重要的？为什么?

（“加减”，把二元一次方程组转化为一元一次方程．）

问题2：应用加减消元法前，方程组中的两个方程要先具备什么特征？

（两方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数．）

问题3：除了加减法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案1）？

对比预案1、预案2，进行总结

问题1：两种方法的共同点（共同目的）是什么？

（通过消元，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个．）

问题2：两种方法的不同点是什么？

（消元的方法不同，一个是“代入”，一个是“加减”．）

问题3：哪一种方法更简单？

（根据方程组特征，具体问题具体分析．）

预案3

解：把方程②变形成

把①代入，得

（后续步骤略．）   

【说明】整体代入也实现了“消元”这一目的。

（二）运用新知

练习： ⑴

⑵

⑶

⑷

答案：⑴      

⑵     

⑶     

⑷

（学生分组解答，然后汇报、交流不同的解法．注意纠正学生解题步骤中的细节问题．）

（三）归纳总结

思考：这节课我们学习了什么？

问题1：这节课我们研究的主要内容是什么？

（代入、加减消元法解二元一次方程组。）

问题2：解法的主要步骤是什么？

（变形、代入（加减）、求解、回代、结论。）

我们以练习⑴、练习⑵为例，通过框图（如图1、图2），再次回顾解二元一次方程组的基本步骤．

                  代入消元法解方程组的基本步骤

[文本框:]

                              图1  

代入消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？

⑴变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示．

⑵代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

⑶求解：求出一元一次方程的解．

⑷回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解．

⑸结论：写出方程组的解．

                         加减消元法解方程组的基本步骤

[文本框:]

                                                                图2

加减消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？

⑴变形：使两个方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数．

⑵加减：将两个方程相加减，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

⑶求解：求出一元一次方程的解．

⑷回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解．

⑸结论：写出方程组的解．

问题3：你觉得其中最关键的一步是什么？为什么？体现了什么思想？

（代入消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程，转化思想。）

问题4：在解题过程中我们还应注意哪些问题？

（分析如何消元能简化运算等。）

（四）布置作业

教材P107页练习2、3

2．用代入法解下列方程组：

(1)            

 (2)

3．张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1．5小时后到达县城．他骑车的平均速度是15千米/时，步行的平均速度是5千米/时，路程全长20千米．他骑车与步行各用多少时间？

教材P111页练习1

1．用加减法解下列方程组：

(1)              

(2)

选做题

1．已知

2．已知 是方程组 的解，求a、b的值．

【说明】教材上的作业既是对代入法的一次练习，同时也是对代入法适合情况的一次理解；思考题作业是对方程组问题的一次提高练习，有一定的思维难度．

五、目标检测设计

1．解下列方程组。

（1）             

（2）

（3）             

（4）

8.2　消元——解二元一次方程组

8.2　消元——解二元一次方程组

教学过程设计

先行组织者：在上一节课，我们通过对一道与篮球比赛得分有关的实际问题的研究，学习了二元一次方程组，以及二元一次方程组的解．当我们列出二元一次方程组后，所关心的就是如何求出这个方程组的解．在此之前,我们学习了如何解一元一次方程，解一元一次方程的主要依据是等式性质．今天我们就来共同探究，能否利用等式性质和一元一次方程的相关知识，解二元一次方程组．

（一）探究新知

例题　在上一节课，通过对实际问题的分析，我们列出了二元一次方程组

你会解这个方程组吗？

（教师不加任何解释和引导，让学生自主探究方程组的解法．）

预案1

解：由①得 ③

把③代入②，得

解这个方程，得

（这时教师可以提出问题：为什么可以代入？代入①可不可以？得到的方程是什么方程？）

把 代入③，得

（这时教师可以提出问题：代入①或②行不行？好不好？）

所以原方程组的解为

（1）提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？

【设计意图】引导学生理解等量代换在代入消元法解方程组过程中的应用．体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．

（在“为什么可以代入”这一问题的解决过程中，引导学生回顾二元一次方程组的定义，和二元一次方程组的解的定义，再一次理解定义中的“相同未知数”、“公共解”．）

（2）引申问题：有没有办法得到关于 的一元一次方程？

解：由①得   ③   

把③代入②，得

解这个方程，得

（这时教师可以提出问题：代入①可不可以？）    

把 代入③，得

（这时教师可以提出问题：代入①或②可不可以？）

所以原方程组的解是

（3）小结：这种解二元一次方程组的方法，我们称之为代入消元法．

问题1：你认为哪一步是最重要的？为什么?

（“代入”，把二元一次方程组转化为一元一次方程．）

问题2：应用代入消元法前，需要先做的准备工作是什么？

（用含一个未知数的式子表示另一个未知数．）

问题3：除了代入法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案2）？

预案2

解：由②-①，得

（这时教师可以提出问题：这一步的依据是什么？）

把 代入①，得

（这时教师可以提出问题：代入②可以吗？）

所以原方程组的解是

（1）提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？

【设计意图】引导学生理解等式性质在加减消元法解方程组过程中的应用，体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．

（2）引申问题：能不能先消 ？

解：①×2，得   

  ③   

③-②，得              

（这时教师可以提出问题：②-③可以吗？好吗？）

把 代入①，得

所以原方程组的解是

（3）小结：这种解二元一次方程组的方法我们称之为加减消元法．

问题1：你认为哪一步是最重要的？为什么?

（“加减”，把二元一次方程组转化为一元一次方程．）

问题2：应用加减消元法前，方程组中的两个方程要先具备什么特征？

（两方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数．）

问题3：除了加减法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案1）？

对比预案1、预案2，进行总结

问题1：两种方法的共同点（共同目的）是什么？

（通过消元，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个．）

问题2：两种方法的不同点是什么？

（消元的方法不同，一个是“代入”，一个是“加减”．）

问题3：哪一种方法更简单？

（根据方程组特征，具体问题具体分析．）

预案3

解：把方程②变形成

把①代入，得

（后续步骤略．）   

【说明】整体代入也实现了“消元”这一目的。

（二）运用新知

练习： ⑴

⑵

⑶

⑷

答案：⑴      

⑵     

⑶     

⑷

（学生分组解答，然后汇报、交流不同的解法．注意纠正学生解题步骤中的细节问题．）

（三）归纳总结

思考：这节课我们学习了什么？

问题1：这节课我们研究的主要内容是什么？

（代入、加减消元法解二元一次方程组。）

问题2：解法的主要步骤是什么？

（变形、代入（加减）、求解、回代、结论。）

我们以练习⑴、练习⑵为例，通过框图（如图1、图2），再次回顾解二元一次方程组的基本步骤．

                  代入消元法解方程组的基本步骤

[文本框:]

                              图1  

代入消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？

⑴变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示．

⑵代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

⑶求解：求出一元一次方程的解．

⑷回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解．

⑸结论：写出方程组的解．

                         加减消元法解方程组的基本步骤

[文本框:]

                                                                图2

加减消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？

⑴变形：使两个方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数．

⑵加减：将两个方程相加减，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

⑶求解：求出一元一次方程的解．

⑷回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解．

⑸结论：写出方程组的解．

问题3：你觉得其中最关键的一步是什么？为什么？体现了什么思想？

（代入消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程，转化思想。）

问题4：在解题过程中我们还应注意哪些问题？

（分析如何消元能简化运算等。）

（四）布置作业

教材P107页练习2、3

2．用代入法解下列方程组：

(1)            

 (2)

3．张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1．5小时后到达县城．他骑车的平均速度是15千米/时，步行的平均速度是5千米/时，路程全长20千米．他骑车与步行各用多少时间？

教材P111页练习1

1．用加减法解下列方程组：

(1)              

(2)

选做题

1．已知

2．已知 是方程组 的解，求a、b的值．

【说明】教材上的作业既是对代入法的一次练习，同时也是对代入法适合情况的一次理解；思考题作业是对方程组问题的一次提高练习，有一定的思维难度．

五、目标检测设计

1．解下列方程组。

（1）             

（2）

（3）             

（4）