实验与探究 丰富多彩的正方形教学设计实例

地区： 河南省 - 开封市 - 禹王台

学校：开封市汪屯中学

实验与探究　　丰富多彩的… 初中数学       人教2011课标版

1．理解矩形的概念．

2．探索并证明矩形的性质，会用矩形性质解决相关问题．

3．理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．

有平行四边形的定义作基础，教科书采用属加种差的方法，将平行四边形的角特殊化得到矩形的概念．我们探究平行四边形的性质时，从四边形的要素即边、角、对角线等方面进行研究，探究矩形的性质也按照这个思路进行，这也是研究其他的特殊平行四边形性质的思路．将平行四边形的一条边绕一个端点旋转，当一个角变为直角时，其余三个角也变为直角，对角线由不等变为相等，这样利用图形的变换从一般到特殊进行演变，通过合情推理得出猜想，之后再通过演绎推理进行证明，这样的研究思路和方法对其他的特殊平行四边形的学习有借鉴作用．

矩形性质以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的探究．

对于一类几何图形的研究，我们往往按照从一般到特殊的思路进行，比如研究三角形时，我们先研究一般三角形，再将三角形的有关要素特殊化，我们研究了把边特殊化得到的等腰三角形、把角特殊化得到的直角三角形，对于平行四边形的研究，我们也可以按照这个思路进行．

问题1 把平行四边形的一个角特殊化成直角，我们得到一个什么样的图形呢？这个图形我们小学学过吗？你能从这个图形与平行四边形的关系方面给出它的定义吗？

师生活动：教师利用几何画板将平行四边形的一条边绕一个端点旋转，当一个角变为直角时，让学生观察所形成的图形，学生从这个图形与平行四边形的关系方面给出它的定义，教师板书概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．

设计意图：借助几何画板的动态演示，让学生直观感知角的变化带来平行四边形的改变，体会矩形与平行四边形间的关系，自然引出概念．

追问1：小学中学习过的长方形是矩形吗？正方形是矩形吗？

追问2：生活中存在这样的图形吗？试举例说明．

师生活动：学生回答、举例，教师出示图片补充．

设计意图：建立小学学习的长方形与矩形间的联系；让学生感知生活矩形无处不在，激发学生的学习兴趣．

问题2 生活中有大量的矩形存在，是由于矩形不仅具有平行四边形的性质，而且还有一般平行四边形不具有的特殊性质．回忆我们探究平行四边形性质的思路，你认为应从哪些方面探究矩形的性质呢？

追问1：如图1，矩形ABCD的边、角、对角线方面是否有不同于一般平行四边形的特殊性质？你能得出有关性质猜想吗？

师生活动：教师利用几何画板再次演示由平行四边形转化为矩形的过程，学生从边、角、对角线方面进行思考、讨论、交流，得出猜想．教师利用几何画板的测量功能，初步验证学生的猜想．

猜想1：矩形的四个角都是直角；猜想2：矩形的对角线相等．

设计意图：借助动态演示，学生易于发现边、角、对角线方面与平行四边形不同的性质，用几何画板进行初步验证，增添了学生的成就感，也激发了进一步求证的欲望．

追问2：你能证明这些猜想吗？

师生活动：猜想1的证明学生结合定义口头完成．猜想2的证明方法较多，利用勾股定理、三角形全等、构造等腰三角形利用等腰三角形的三线合一都可进行证明．鼓励学生尝试不同的证明方法．

设计意图：让学生进一步体会证明的必要性，完整地体会几何研究的“观察——猜想——证明”过程；进一步培养学生的发散性思维．

追问3：矩形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．

追问4：为什么矩形的被子和床单可以反复折叠仍然是矩形？请你用一张矩形纸片做模拟实验，并说明原因．

师生活动：学生利用折叠矩形纸片动手感知，并指出两条对称轴．

设计意图：引导学生从轴对称方面进一步领会矩形的特殊性．

追问4：在图1的矩形中有哪些三角形？它们分别是什么三角形？它们之间有什么关系？

师生活动：学生找出其中的直角三角形与等腰三角形，并说出全等的三角形，面积相等的三角形．

设计意图：让学生在学习了矩形的性质后对矩形有一个整体感知．

问题3 在前面的学习中，我们通过构造平行四边形，把三角形中的问题转化为平行四边形的性质得到三角形的中位线定理；平行四边形特殊化成矩形后，三角形也特殊化成直角三角形，你能结合图2，发现直角三角形ABC的一些特殊性质吗？

师生活动：学生讨论交流，得到性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

设计意图：进一步体会利用特殊平行四边形研究特殊三角形的策略，得到直角三角形斜边上中线的性质．

追问：如图3，在直角三角形草地上修两条互相交叉的小路BO，EF，路口端点处E，F，O分别为三角形草地的三边中点，小路BO，EF的长度相等吗？请说明理由．

师生活动：学生思考、回答，教师适时点拨．

设计意图：把利用平行四边形研究出的三角形的两个性质放在一起应用，及时巩固新知，同时体会这两个性质的应用价值．

例1 如图4，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， , ．求矩形的对角形线的长．

追问1：你还能得到哪些线段的长度和哪些角的度数?

追问2：若在例1的条件下，过点A作AE⊥BD于点E，求DE的长．

师生活动：引导学生分析矩形ABCD的对角线的性质，以及 给其中的三角形带来的变化．

设计意图：运用矩形的性质解决问题，进一步体会矩形中的角、线段、三角形之间的关系．

师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

1．矩形的概念是什么？矩形有哪些性质？它是轴对称图形吗？

2．由矩形的性质可以得到直角三角形的什么性质？

3．小学我们已接触过矩形（长方形），这节课我们是从哪方面对矩形下定义的？我们是如何探究矩形的性质的？

设计意图：问题（1）（2）引导学生回顾本节课的知识，问题（3）帮助学生梳理特殊的平行四边形采用属加种差的下定义方法，体会矩形与平行四边形的联系，以及矩形性质的探究角度（边、角、对角线三个方面）和探究思路（观察——猜想——证明），为后续其他特殊平行四边形的探究作好铺垫．

教科书第53页练习第1，2题；习题18.2第9题．

1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ）

A．内角和是360度                B．对角相等

C．对边平行且相等               [21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站]   D．对角线相等

设计意图：考查矩形的性质，明确矩形与一般平行四边形的区别与联系．

2．在Rt△ABC中， ，AB=5，BC=12，D是AC边上的中点，连接BD，则BD长为         ．

设计意图：考查直角三角形斜边上中线的性质．

3．如图，在矩形ABCD中，AE∥BD，且交CB的延长线于点E．求证： ．

设计意图：考查矩形的性质的综合运用，由于证法不唯一，可训练学生的发散性思维．

4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于E， ， cm．

（1）求∠BOC的度数；

（2）求△DOC的周长．

设计意图：主要考查三角形全等，直角三角形、等边三角形、矩形的性质的综合运用．

实验与探究　　丰富多彩的正方形

实验与探究　　丰富多彩的正方形

对于一类几何图形的研究，我们往往按照从一般到特殊的思路进行，比如研究三角形时，我们先研究一般三角形，再将三角形的有关要素特殊化，我们研究了把边特殊化得到的等腰三角形、把角特殊化得到的直角三角形，对于平行四边形的研究，我们也可以按照这个思路进行．

问题1 把平行四边形的一个角特殊化成直角，我们得到一个什么样的图形呢？这个图形我们小学学过吗？你能从这个图形与平行四边形的关系方面给出它的定义吗？

师生活动：教师利用几何画板将平行四边形的一条边绕一个端点旋转，当一个角变为直角时，让学生观察所形成的图形，学生从这个图形与平行四边形的关系方面给出它的定义，教师板书概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．

设计意图：借助几何画板的动态演示，让学生直观感知角的变化带来平行四边形的改变，体会矩形与平行四边形间的关系，自然引出概念．

追问1：小学中学习过的长方形是矩形吗？正方形是矩形吗？

追问2：生活中存在这样的图形吗？试举例说明．

师生活动：学生回答、举例，教师出示图片补充．

设计意图：建立小学学习的长方形与矩形间的联系；让学生感知生活矩形无处不在，激发学生的学习兴趣．

问题2 生活中有大量的矩形存在，是由于矩形不仅具有平行四边形的性质，而且还有一般平行四边形不具有的特殊性质．回忆我们探究平行四边形性质的思路，你认为应从哪些方面探究矩形的性质呢？

追问1：如图1，矩形ABCD的边、角、对角线方面是否有不同于一般平行四边形的特殊性质？你能得出有关性质猜想吗？

师生活动：教师利用几何画板再次演示由平行四边形转化为矩形的过程，学生从边、角、对角线方面进行思考、讨论、交流，得出猜想．教师利用几何画板的测量功能，初步验证学生的猜想．

猜想1：矩形的四个角都是直角；猜想2：矩形的对角线相等．

设计意图：借助动态演示，学生易于发现边、角、对角线方面与平行四边形不同的性质，用几何画板进行初步验证，增添了学生的成就感，也激发了进一步求证的欲望．

追问2：你能证明这些猜想吗？

师生活动：猜想1的证明学生结合定义口头完成．猜想2的证明方法较多，利用勾股定理、三角形全等、构造等腰三角形利用等腰三角形的三线合一都可进行证明．鼓励学生尝试不同的证明方法．

设计意图：让学生进一步体会证明的必要性，完整地体会几何研究的“观察——猜想——证明”过程；进一步培养学生的发散性思维．

追问3：矩形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．

追问4：为什么矩形的被子和床单可以反复折叠仍然是矩形？请你用一张矩形纸片做模拟实验，并说明原因．

师生活动：学生利用折叠矩形纸片动手感知，并指出两条对称轴．

设计意图：引导学生从轴对称方面进一步领会矩形的特殊性．

追问4：在图1的矩形中有哪些三角形？它们分别是什么三角形？它们之间有什么关系？

师生活动：学生找出其中的直角三角形与等腰三角形，并说出全等的三角形，面积相等的三角形．

设计意图：让学生在学习了矩形的性质后对矩形有一个整体感知．

问题3 在前面的学习中，我们通过构造平行四边形，把三角形中的问题转化为平行四边形的性质得到三角形的中位线定理；平行四边形特殊化成矩形后，三角形也特殊化成直角三角形，你能结合图2，发现直角三角形ABC的一些特殊性质吗？

师生活动：学生讨论交流，得到性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

设计意图：进一步体会利用特殊平行四边形研究特殊三角形的策略，得到直角三角形斜边上中线的性质．

追问：如图3，在直角三角形草地上修两条互相交叉的小路BO，EF，路口端点处E，F，O分别为三角形草地的三边中点，小路BO，EF的长度相等吗？请说明理由．

师生活动：学生思考、回答，教师适时点拨．

设计意图：把利用平行四边形研究出的三角形的两个性质放在一起应用，及时巩固新知，同时体会这两个性质的应用价值．

例1 如图4，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， , ．求矩形的对角形线的长．

追问1：你还能得到哪些线段的长度和哪些角的度数?

追问2：若在例1的条件下，过点A作AE⊥BD于点E，求DE的长．

师生活动：引导学生分析矩形ABCD的对角线的性质，以及 给其中的三角形带来的变化．

设计意图：运用矩形的性质解决问题，进一步体会矩形中的角、线段、三角形之间的关系．

师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

1．矩形的概念是什么？矩形有哪些性质？它是轴对称图形吗？

2．由矩形的性质可以得到直角三角形的什么性质？

3．小学我们已接触过矩形（长方形），这节课我们是从哪方面对矩形下定义的？我们是如何探究矩形的性质的？

设计意图：问题（1）（2）引导学生回顾本节课的知识，问题（3）帮助学生梳理特殊的平行四边形采用属加种差的下定义方法，体会矩形与平行四边形的联系，以及矩形性质的探究角度（边、角、对角线三个方面）和探究思路（观察——猜想——证明），为后续其他特殊平行四边形的探究作好铺垫．

教科书第53页练习第1，2题；习题18.2第9题．

1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ）

A．内角和是360度                B．对角相等

C．对边平行且相等               [21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站]   D．对角线相等

设计意图：考查矩形的性质，明确矩形与一般平行四边形的区别与联系．

2．在Rt△ABC中， ，AB=5，BC=12，D是AC边上的中点，连接BD，则BD长为         ．

设计意图：考查直角三角形斜边上中线的性质．

3．如图，在矩形ABCD中，AE∥BD，且交CB的延长线于点E．求证： ．

设计意图：考查矩形的性质的综合运用，由于证法不唯一，可训练学生的发散性思维．

4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于E， ， cm．

（1）求∠BOC的度数；

（2）求△DOC的周长．

设计意图：主要考查三角形全等，直角三角形、等边三角形、矩形的性质的综合运用．