6.3实数（通用）教学设计一等奖

地区： 湖北省 - 恩　施 - 宣恩县

学校：宣恩县晓关侗族乡桐子营民族初级中学

6.3 实数 初中数学       人教2011课标版

    1．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根；
    2．会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算；
    3．了解无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义；
    4．了解实数与数轴上的点一一对应，了解有理数的运算律适用于实数范围．会按结果所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数进行实数的四则运算

    1．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义；

    2．算术平方根的意义及实数的性质．

教学过程

    一、知识疏理,形成体系（课前要求学生对本章知识进行总结）

    师：本章的主要内容是开方运算．从定义出发解题是解本章有关题目的基本方法，我们注意掌握用计算器进行数的计算的方法的同时，还必须注意区分清楚有理数与无理数的概念，掌握实数的四则运算．下面，我们以组为单位小结一下本章的知识点．

    生：我们认为这一章主要学习了一种新的运算——开方，开方与乘方是互为逆运算的关系．

    开方包括开平方与开立方．通过开平方可求一个非负实数的平方根；通过开立方可求一个实数的立方根．依据这一思路，我们画出的知识结构图是：

    师：好!他们组是以运算为线索总结的，侧重总结了开方运算，还有补充吗？

    生：我们认为平方根、算术平方根、立方根的定义、性质也都非常重要．因此我们是这样总结的：

    师：当求一个非负数的平方根时，可能会出现无理数，使得数的范围从有理数扩大到实数，所以实数的意义、分类以及相关的内容也需总结．

    生：我们是这样总结的：

    1．分类

    2．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点又都可以表示成一个实数，它们之间是一一对应的．

    师：有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数．无理数是无限不循环小数，它不能表示成分数形式，任何一个无理数，都可以用给定精确度的有理数来近似地表示．

    二、强化基础，巩固拓展．（也可以由学生提出典型薄弱题型进行讲解）

    1．求下列各数的平方根：

    （1） ；（2） ；（3） ．

    师：本题要审清是求哪个实数的平方根，只有非负实数才有平方根．

    生：（1）是求 的平方根；

      （2）是求5的平方根；

      （3）是求 的平方根．

    由学生独立完成．

       2．x取何值时，下列各式有意义．

    （1） ；  （2） ．

    师： 在什么情况下有意义？

    生：对于 ，必须满足a≥0，它才有意义，所以被开方数必须是非负数．

    （1）2－x≥0；

    （2）x2＋1≥0．

    师：如何求出x的范围呢？

    生：我们讨论后，得出如下结论：

    （1）x≤2；

    （2）不论x取什么实数，x2≥0，x2＋1＞0，即x的取值范围是：x为全体实数．

    3．求下列各数的值：

    （1） ；

    （2） （x≥1）．

    师：如何化简 呢？

    生：我们认为首先应考虑 中a的范围．

    （1）当a≥0时， ＝a；

    （2）当a＜0时， ＝－a．

    师：求下列各数的值，必须先确定a的范围．   

    生：因为3－π＜0，所以 ＝－（3－π）＝π－3．

    师：如何化简 呢？

    生：将 化为 的形式，

    即

    再考虑x－1的范围，由学生独立完成．

    4．已知：|x－2|＋ ＝0，求：x＋y的值．

    师：认真审题，考虑一下所给的这些数有什么特点．

    生：|x－2|和 都是非负数．

    师：两个非负数的和可能是0吗？

    生：只有当两个非负数都取0时，其和才为0，其他情况下，都大于0．

    由学生独立完成．

    师：哪些数为非负数呢？

    生：实数a的绝对值，表示为|a|，|a|是非负数；实数a的平方，表示为a2，a2是非负数；非负实数a的算术平方根表示为 ， 是非负数．

    师：非负数有什么特点？

    生：（1）几个非负数的和仍为非负数；

       （2）若几个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0．

    师：绝对值、平方数、算术平方根都是非负数，解题时要注意这一隐含条件，不可把0漏掉．

    5．计算： （精确到0.01）．

    师：无理数是开方开不尽的数，那么如何计算呢？

    生：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．

    因为精确到0.01，所以在计算过程中可用2.236代替、 ，1.732代替 ．

    由学生独立完成．

    6．在实数 、 、 、 、0.80108中，无理数的个数为_______个．

    师：如何判断一个数是无理数？

    生：一个无理数不能表示成分数形式，或者说成数位无限，且不循环．

    7．|x|＜2π，x为整数，求x

    师：|x|＝2π，x的值是多少？

    生：当x＝2π，x＝－2π时，|x|＝2π，

    所以|x|＜2π时，x＝±2π．

    师：|x|＝2π的含义？

    生：实数x在数轴上所对应点到原点的距离等于2π．

    师：|x|＜2π的含义呢？

    生：实数x在数轴上所对应点到原点的距离小于2π．

    师：结合数轴，你能说出满足|x|＜2π这一条件的点在数轴的什么位置上吗？

    生：

→

    在如图所示的范围内，因为x为整数，

    所以x＝6、5、4、3、2、1、0、－1、－2、－3、－4、－5、－6．

    师：非常好!

   三、查缺补漏，归纳提升．

    1．通过今天的探究学习，你们有哪些收获？

2．非负数的和等于零的条件是：当且仅当每个非负数的值都等于零．此性质在解题时经常会被用到．

3．对于本章的内容你还有那些疑问？

   四、作业

   1．教科书第19页复习题A组

6.3 实数

6.3 实数

教学过程

    一、知识疏理,形成体系（课前要求学生对本章知识进行总结）

    师：本章的主要内容是开方运算．从定义出发解题是解本章有关题目的基本方法，我们注意掌握用计算器进行数的计算的方法的同时，还必须注意区分清楚有理数与无理数的概念，掌握实数的四则运算．下面，我们以组为单位小结一下本章的知识点．

    生：我们认为这一章主要学习了一种新的运算——开方，开方与乘方是互为逆运算的关系．

    开方包括开平方与开立方．通过开平方可求一个非负实数的平方根；通过开立方可求一个实数的立方根．依据这一思路，我们画出的知识结构图是：

    师：好!他们组是以运算为线索总结的，侧重总结了开方运算，还有补充吗？

    生：我们认为平方根、算术平方根、立方根的定义、性质也都非常重要．因此我们是这样总结的：

    师：当求一个非负数的平方根时，可能会出现无理数，使得数的范围从有理数扩大到实数，所以实数的意义、分类以及相关的内容也需总结．

    生：我们是这样总结的：

    1．分类

    2．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点又都可以表示成一个实数，它们之间是一一对应的．

    师：有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数．无理数是无限不循环小数，它不能表示成分数形式，任何一个无理数，都可以用给定精确度的有理数来近似地表示．

    二、强化基础，巩固拓展．（也可以由学生提出典型薄弱题型进行讲解）

    1．求下列各数的平方根：

    （1） ；（2） ；（3） ．

    师：本题要审清是求哪个实数的平方根，只有非负实数才有平方根．

    生：（1）是求 的平方根；

      （2）是求5的平方根；

      （3）是求 的平方根．

    由学生独立完成．

       2．x取何值时，下列各式有意义．

    （1） ；  （2） ．

    师： 在什么情况下有意义？

    生：对于 ，必须满足a≥0，它才有意义，所以被开方数必须是非负数．

    （1）2－x≥0；

    （2）x2＋1≥0．

    师：如何求出x的范围呢？

    生：我们讨论后，得出如下结论：

    （1）x≤2；

    （2）不论x取什么实数，x2≥0，x2＋1＞0，即x的取值范围是：x为全体实数．

    3．求下列各数的值：

    （1） ；

    （2） （x≥1）．

    师：如何化简 呢？

    生：我们认为首先应考虑 中a的范围．

    （1）当a≥0时， ＝a；

    （2）当a＜0时， ＝－a．

    师：求下列各数的值，必须先确定a的范围．   

    生：因为3－π＜0，所以 ＝－（3－π）＝π－3．

    师：如何化简 呢？

    生：将 化为 的形式，

    即

    再考虑x－1的范围，由学生独立完成．

    4．已知：|x－2|＋ ＝0，求：x＋y的值．

    师：认真审题，考虑一下所给的这些数有什么特点．

    生：|x－2|和 都是非负数．

    师：两个非负数的和可能是0吗？

    生：只有当两个非负数都取0时，其和才为0，其他情况下，都大于0．

    由学生独立完成．

    师：哪些数为非负数呢？

    生：实数a的绝对值，表示为|a|，|a|是非负数；实数a的平方，表示为a2，a2是非负数；非负实数a的算术平方根表示为 ， 是非负数．

    师：非负数有什么特点？

    生：（1）几个非负数的和仍为非负数；

       （2）若几个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0．

    师：绝对值、平方数、算术平方根都是非负数，解题时要注意这一隐含条件，不可把0漏掉．

    5．计算： （精确到0.01）．

    师：无理数是开方开不尽的数，那么如何计算呢？

    生：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．

    因为精确到0.01，所以在计算过程中可用2.236代替、 ，1.732代替 ．

    由学生独立完成．

    6．在实数 、 、 、 、0.80108中，无理数的个数为_______个．

    师：如何判断一个数是无理数？

    生：一个无理数不能表示成分数形式，或者说成数位无限，且不循环．

    7．|x|＜2π，x为整数，求x

    师：|x|＝2π，x的值是多少？

    生：当x＝2π，x＝－2π时，|x|＝2π，

    所以|x|＜2π时，x＝±2π．

    师：|x|＝2π的含义？

    生：实数x在数轴上所对应点到原点的距离等于2π．

    师：|x|＜2π的含义呢？

    生：实数x在数轴上所对应点到原点的距离小于2π．

    师：结合数轴，你能说出满足|x|＜2π这一条件的点在数轴的什么位置上吗？

    生：

→

    在如图所示的范围内，因为x为整数，

    所以x＝6、5、4、3、2、1、0、－1、－2、－3、－4、－5、－6．

    师：非常好!

   三、查缺补漏，归纳提升．

    1．通过今天的探究学习，你们有哪些收获？

2．非负数的和等于零的条件是：当且仅当每个非负数的值都等于零．此性质在解题时经常会被用到．

3．对于本章的内容你还有那些疑问？

   四、作业

   1．教科书第19页复习题A组