16.1 二次根式教学设计及教案分析

地区： 辽宁省 - 大连市 - 西岗区

学校：大连市第三十四中学

16.1　二次根式 初中数学       人教2011课标版

（1）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由。

（2）能用二次根式表示实际问题中的数量和数量的关系。

在有理数一章中，学生感受了数系扩充（数集的扩大、运算的拓展、运算律的保持)的基本思想。在实数一章中，学生已经了解了平方根、立方根的概念和求法；借助√2，π的几何表示，以及用有理数逼近√2等方法，学生对实数的概念有了初步体会。这些都为本章学习打下了基础。

本节课的教学重点：从算数平方根的意义出发理解二次根式的概念。字母的取值范围，是本节课的难点。

电视塔越高，从塔顶发出的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广。电视塔高h（单位:km）与电视节目信号的传播半径r（单位:km）之间存在近似关系 ，其中r是地球半径,r≈6400km。如果两个电视塔的高分别是h1  km、h2  km，那么它们的传播半径比是 。你能将这个式子化简吗？

问题1  式子 表示什么？等式 中的      表示什么意义？

师生活动：给学生充分的思考和讨论时间，让他们发现与已学过的整式运算、分式运算一样，式子 也是一种运算。只有先认识了 的意义，才能在此基础上再进一步研究这类式子的性质和运算。

设计意图：回顾已学的数和式的运算，从数与式运算的完整性角度提出研究的问题，让学生了解本章要学习的主要内容，起到先行组织者的作用。

问题2  请思考下列问题：

（1）面积为3的正方形的边长为       ，面积为S的正方形的边长为       。

（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130㎡，则它的宽为       m。

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t²。如果用含有h的式子表示t，则为t            。

师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示结果，老师进行适当引导和评价。关键是帮助学生实现从数的算术平方根到用含有字母的式子表示算术平方根的抽象。

追问1  第（1）（2）题中得到 ， ， 的依据是什么？它们有什么区别和联系？

师生活动：由学生回答，依据是算术平方根的定义。区别是 ， 分别表示具体数3，65的算术平方根， 是字母S的算术平方根；联系是都表示非负数的算术平方根。

追问2  第（3）中，当h的值分别为10，15，25时，得到的结果分别是什么？   表示的数怎样变化？

师生活动：学生回答。老师指出：含有字母的算术平方根具有一般性，这是需要研究的新一类式子。

设计意图：为概括二次根式的概念提供具体例子，同时发展符号意识。通过追问，让学生回顾算术平方根的概念，两次体会字母表示的数可能进行开平方运算，体会字母表示数的一般性和简约性。

问题3  上面得到的式子 ， ， ， 有什么共同特征？

师生活动：教师引导学生概括得出共同特征，并给出二次根式的定义。

追问1  4，0的算术平方根分别是什么？-4有没有算术平方根？

追问2  在二次根式的定义中，为什么要有条件“a≧0”？

师生活动：教师引导学生讨论，分析共同特点，归纳得到二次根式的概念，并强调“被开方数非负”。

设计意图：采用从具体到抽象的方式，通过归纳得出二次根式的概念。

例1  当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？

师生活动：教师可以通过问题“表示的意义是什么？被开方数上什么？你能根据二次根式的概念得到答案吗？”引导学生从概念出发思考问题。

例2  当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？  呢？

师生活动：先让学生独立思考,再追问。

设计意图：通过例1、例2，加深概念理解。

练习：当a是怎样的实数时，下列各式有意义？

(1)(2) (3)

问题4  比较与0的大小。

师生活动：先让学生独立思考。学生的第一反应可能是﹥0，部分学生能得出≧0这一正确结论。教师可以引导学生根据概念，分a﹥0和a=0两种情况进行讨论。

设计意图：强化对二次根式双重非负性的认识。

通过本节课的学习，谈一谈你有哪些收获？

（1）学习了二次根式概念。

（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数。

（3）二次根式除了具有非负数性质外，还有哪些性质呢？下节研究。

（1）（2）（3）（4）-

设计意图：考察二次根式有意义的条件。

教科书习题16.1第1，3，5，6，7，10题。

16.1　二次根式

16.1　二次根式

电视塔越高，从塔顶发出的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广。电视塔高h（单位:km）与电视节目信号的传播半径r（单位:km）之间存在近似关系 ，其中r是地球半径,r≈6400km。如果两个电视塔的高分别是h1  km、h2  km，那么它们的传播半径比是 。你能将这个式子化简吗？

问题1  式子 表示什么？等式 中的      表示什么意义？

师生活动：给学生充分的思考和讨论时间，让他们发现与已学过的整式运算、分式运算一样，式子 也是一种运算。只有先认识了 的意义，才能在此基础上再进一步研究这类式子的性质和运算。

设计意图：回顾已学的数和式的运算，从数与式运算的完整性角度提出研究的问题，让学生了解本章要学习的主要内容，起到先行组织者的作用。

问题2  请思考下列问题：

（1）面积为3的正方形的边长为       ，面积为S的正方形的边长为       。

（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130㎡，则它的宽为       m。

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t²。如果用含有h的式子表示t，则为t            。

师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示结果，老师进行适当引导和评价。关键是帮助学生实现从数的算术平方根到用含有字母的式子表示算术平方根的抽象。

追问1  第（1）（2）题中得到 ， ， 的依据是什么？它们有什么区别和联系？

师生活动：由学生回答，依据是算术平方根的定义。区别是 ， 分别表示具体数3，65的算术平方根， 是字母S的算术平方根；联系是都表示非负数的算术平方根。

追问2  第（3）中，当h的值分别为10，15，25时，得到的结果分别是什么？   表示的数怎样变化？

师生活动：学生回答。老师指出：含有字母的算术平方根具有一般性，这是需要研究的新一类式子。

设计意图：为概括二次根式的概念提供具体例子，同时发展符号意识。通过追问，让学生回顾算术平方根的概念，两次体会字母表示的数可能进行开平方运算，体会字母表示数的一般性和简约性。

问题3  上面得到的式子 ， ， ， 有什么共同特征？

师生活动：教师引导学生概括得出共同特征，并给出二次根式的定义。

追问1  4，0的算术平方根分别是什么？-4有没有算术平方根？

追问2  在二次根式的定义中，为什么要有条件“a≧0”？

师生活动：教师引导学生讨论，分析共同特点，归纳得到二次根式的概念，并强调“被开方数非负”。

设计意图：采用从具体到抽象的方式，通过归纳得出二次根式的概念。

例1  当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？

师生活动：教师可以通过问题“表示的意义是什么？被开方数上什么？你能根据二次根式的概念得到答案吗？”引导学生从概念出发思考问题。

例2  当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？  呢？

师生活动：先让学生独立思考,再追问。

设计意图：通过例1、例2，加深概念理解。

练习：当a是怎样的实数时，下列各式有意义？

(1)(2) (3)

问题4  比较与0的大小。

师生活动：先让学生独立思考。学生的第一反应可能是﹥0，部分学生能得出≧0这一正确结论。教师可以引导学生根据概念，分a﹥0和a=0两种情况进行讨论。

设计意图：强化对二次根式双重非负性的认识。

通过本节课的学习，谈一谈你有哪些收获？

（1）学习了二次根式概念。

（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数。

（3）二次根式除了具有非负数性质外，还有哪些性质呢？下节研究。

（1）（2）（3）（4）-

设计意图：考察二次根式有意义的条件。

教科书习题16.1第1，3，5，6，7，10题。