6.3实数（通用）多媒体教案及点评

地区： 广东省 - 韶关市 - 武江区

学校：韶关市第九中学

6.3 实数 初中数学       人教2011课标版

1、了解无理数和实数的概念；
2、知道实数的分类；
3、知道实数与数轴上的点具有一一对应关系，初步体会“数形结合”的数学思想。

学生已学过有理数作为基础。

教学重点：

了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点的一一对应关系。

教学难点：

领会理解“数形结合”的数学思想。

师：学习新课之前，我们先来复习原来学过的知识，什么是有理数？

生：整数和分数统称有理数。

师：按照大小划分，有理数可以怎样分类？

生：有理数可以分为正有理数、0和负有理数。

随着对数需求的扩大，我们的认识也将不断深入，今天我们将继续学习有关数的新知识。（板书课题6.3实数），下面请翻开书本53页，看问题1

探究新知

问题1 我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数的形式，并把这些小数进行分类？（可以使用计算器计算）请把计算结果和分类写在学案上。

， ， ， ， 。

师：你能否从这些小数的形式特点上加以说明？请想想还有没有其它的分类方法？

我们发现，上面的分数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式。即：

师：请在学案纸上任意写出一个分数，把它转化成小数试试看。

师：事实上，任意一个分数，一定都能写成有限小数或是无限循环小数的。

师：是不是任意一个整数都能写成小数的形式，它属于哪一类的小数呢？举例说明。

生：整数可以看成小数点后是0的小数（例如，将3看成3.0）。

这样任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

问题2小数包括了有限小数、无限循环小数和无限不循环小数，你能写出两个无限不循环小数么？

例如 等。

它们既不是整数也不是分数，它们不属于我们学过的有理数，那么它们究竟是一类怎样的数，人们应该如何去认识他，并对它进行恰当的归类呢？下面老师将通过一个小故事来告诉大家：

这个故事的名字叫做《以生命为代价的发现》

公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派主要代表人物毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆为数”，他把数的概念神秘化了，他认为宇宙间的一切量，都可以归结为整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了．

有一天，毕达哥拉斯的学生一个叫希帕索斯的人找到了一种既不是整数，又不是整数之比的怪东西．希帕索斯研究了一个边长为1的正方形，发现这个正方形对角线的长度是 。

既不是整数，也不是整数的比．他很惶惑：根据老师的看法，这应该是世界上根本不存在的东西呀！希帕索斯把这件事告诉了老师． 这个毕老师惊骇极了，他做梦也没想到，自己最为得意的一项发明，竟招来一位神秘的"天外来客" ．

毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认它是一种新的数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上．而希帕索斯的发现将动摇他们在学术界的统治地位，于是他下令封锁消息，不准希帕索斯再谈论，并且对希进行了严厉地警告．

希帕索斯很不服气． 他想，不承认这是数，岂不等于是说正方形的对角线没有长度吗？简直是睁着眼睛说瞎话！为了坚持真理，为了捍卫真理，希帕索斯将自己的发现传扬了开去．但却因此而被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。这个事件引发了第一次的数学危机，然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是真正的“无理”，人们为了纪念西帕索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”。

通过前面的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。无限不循环小数又叫做无理数。

例如 等都是无理数， 也是无理数。

像有理数一样，无理数也有正负之分，例如 是正无理数， 是负无理数。增加了无理数后，我们认识的数的范围扩大了。

我们平时遇到的无理数通常就是三种：第一种类型， 或是含有 的式子；第二种类型，像 等这类带根号的开不尽方的数；第三种类型，像0.1010010001……这类已写成无限不循环小数形式的数。

有理数和无理数统称实数。数的范围就扩充到了实数。

辨析：

1、无理数都是无限小数。

2、不带根号的数都是有理数。

问题3 因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小关系对实数分类吗？

实数按大小分类如下：

例题1  下列实数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

5, 3.14， ，0.57， ， ，0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）

有理数：                                                       ……

无理数：                                                       ……

每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？

大家可以借助工具对无理数进行一个估算，看看它大概在数轴的哪个位置。比如 ，约等于3.14。我们有没有办法在数轴上找到它的准确位置呢？

问题4 直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O´，点O´对应的数是多少？

[圆角矩形标注: 问题4、5教学中注意渗透数形结合的思想方法]

从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长 ，所以点O′对应的数是 。

这样，无理数 可以用数轴上的点表示出来。除了 以外，还能否找到其他数的点，比如找 。

问题5你能在数轴上找到表示无理数 的点吗？

回顾我们在学算术平方根的时候，曾用两个边长为单位1的正方形拼成一个面积为2的大正方形。大正方形的边长是 ，这刚好就是小正方形的一条对角线的长。

以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就表示— 。

事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来。

当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

练习1把下列各数填入相应的集合内：

①有理数集合：｛                                            …｝；

②无理数集合：｛                                            …｝；

③正实数集合：｛                                            …｝；

④负实数集合：｛                                           …｝．

练习2　下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

例题2判断正误，并说明理由。

1、所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有的点都表示有理数。

练习3 书本P56 练习第1题

课堂小结：

我们这节课通过一个故事认识了无理数，把数的范围扩充到了实数，实数包括了有理数和无理数，通过探究我们发现不仅有理数可以在数轴上表示，无理数也能在数轴上表示，数轴上的点与实数是一一对应的关系。

问题  把收集的关于无理数的奇闻趣事与同学分享。

课后作业：

教科书P57-58 习题 6.3 第1、2、9题；

教科书P61 复习题 6 第6题．

练习册

6.3 实数

6.3 实数

师：学习新课之前，我们先来复习原来学过的知识，什么是有理数？

生：整数和分数统称有理数。

师：按照大小划分，有理数可以怎样分类？

生：有理数可以分为正有理数、0和负有理数。

随着对数需求的扩大，我们的认识也将不断深入，今天我们将继续学习有关数的新知识。（板书课题6.3实数），下面请翻开书本53页，看问题1

探究新知

问题1 我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数的形式，并把这些小数进行分类？（可以使用计算器计算）请把计算结果和分类写在学案上。

， ， ， ， 。

师：你能否从这些小数的形式特点上加以说明？请想想还有没有其它的分类方法？

我们发现，上面的分数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式。即：

师：请在学案纸上任意写出一个分数，把它转化成小数试试看。

师：事实上，任意一个分数，一定都能写成有限小数或是无限循环小数的。

师：是不是任意一个整数都能写成小数的形式，它属于哪一类的小数呢？举例说明。

生：整数可以看成小数点后是0的小数（例如，将3看成3.0）。

这样任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

问题2小数包括了有限小数、无限循环小数和无限不循环小数，你能写出两个无限不循环小数么？

例如 等。

它们既不是整数也不是分数，它们不属于我们学过的有理数，那么它们究竟是一类怎样的数，人们应该如何去认识他，并对它进行恰当的归类呢？下面老师将通过一个小故事来告诉大家：

这个故事的名字叫做《以生命为代价的发现》

公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派主要代表人物毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆为数”，他把数的概念神秘化了，他认为宇宙间的一切量，都可以归结为整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了．

有一天，毕达哥拉斯的学生一个叫希帕索斯的人找到了一种既不是整数，又不是整数之比的怪东西．希帕索斯研究了一个边长为1的正方形，发现这个正方形对角线的长度是 。

既不是整数，也不是整数的比．他很惶惑：根据老师的看法，这应该是世界上根本不存在的东西呀！希帕索斯把这件事告诉了老师． 这个毕老师惊骇极了，他做梦也没想到，自己最为得意的一项发明，竟招来一位神秘的"天外来客" ．

毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认它是一种新的数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上．而希帕索斯的发现将动摇他们在学术界的统治地位，于是他下令封锁消息，不准希帕索斯再谈论，并且对希进行了严厉地警告．

希帕索斯很不服气． 他想，不承认这是数，岂不等于是说正方形的对角线没有长度吗？简直是睁着眼睛说瞎话！为了坚持真理，为了捍卫真理，希帕索斯将自己的发现传扬了开去．但却因此而被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。这个事件引发了第一次的数学危机，然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是真正的“无理”，人们为了纪念西帕索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”。

通过前面的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。无限不循环小数又叫做无理数。

例如 等都是无理数， 也是无理数。

像有理数一样，无理数也有正负之分，例如 是正无理数， 是负无理数。增加了无理数后，我们认识的数的范围扩大了。

我们平时遇到的无理数通常就是三种：第一种类型， 或是含有 的式子；第二种类型，像 等这类带根号的开不尽方的数；第三种类型，像0.1010010001……这类已写成无限不循环小数形式的数。

有理数和无理数统称实数。数的范围就扩充到了实数。

辨析：

1、无理数都是无限小数。

2、不带根号的数都是有理数。

问题3 因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小关系对实数分类吗？

实数按大小分类如下：

例题1  下列实数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

5, 3.14， ，0.57， ， ，0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）

有理数：                                                       ……

无理数：                                                       ……

每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？

大家可以借助工具对无理数进行一个估算，看看它大概在数轴的哪个位置。比如 ，约等于3.14。我们有没有办法在数轴上找到它的准确位置呢？

问题4 直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O´，点O´对应的数是多少？

[圆角矩形标注: 问题4、5教学中注意渗透数形结合的思想方法]

从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长 ，所以点O′对应的数是 。

这样，无理数 可以用数轴上的点表示出来。除了 以外，还能否找到其他数的点，比如找 。

问题5你能在数轴上找到表示无理数 的点吗？

回顾我们在学算术平方根的时候，曾用两个边长为单位1的正方形拼成一个面积为2的大正方形。大正方形的边长是 ，这刚好就是小正方形的一条对角线的长。

以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就表示— 。

事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来。

当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

练习1把下列各数填入相应的集合内：

①有理数集合：｛                                            …｝；

②无理数集合：｛                                            …｝；

③正实数集合：｛                                            …｝；

④负实数集合：｛                                           …｝．

练习2　下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

例题2判断正误，并说明理由。

1、所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有的点都表示有理数。

练习3 书本P56 练习第1题

课堂小结：

我们这节课通过一个故事认识了无理数，把数的范围扩充到了实数，实数包括了有理数和无理数，通过探究我们发现不仅有理数可以在数轴上表示，无理数也能在数轴上表示，数轴上的点与实数是一一对应的关系。

问题  把收集的关于无理数的奇闻趣事与同学分享。

课后作业：

教科书P57-58 习题 6.3 第1、2、9题；

教科书P61 复习题 6 第6题．

练习册