3.4 实际问题与一元一次方程教案设计（一等奖）

地区： 四川省 - 广元市 - 利州区

学校：四川省广元市利州中学

3.4　实际问题与一元一次… 初中数学       人教2011课标版

    1、使学生能根据商品销售问题中的数量关系找出等量关系，列出方程，掌握商品盈亏的求法；
    2、培养学生分析问题，解决实际问题的能力；
    3、让学生在实际生活问题中，感受到数学的价值。向“数学无用论”说不，当今时代，用方程解决问题无处不在，即便是一个小商贩，用方程设计合理的销售方案，赚取最大利润，也是极有用处的。

    在前面已学列、解一元一次方程过程中，我们已经遇到多出几个或者差几个的问题。古代一般将这类问题归为盈亏问题。当代市场经济的不断发展，商品交易成了人们日常生活中最为普遍的一种社会现象，反应在数学上，商品销售也成了一类非常重要的实际问题。在商品销售中，商人追求的是利益最大化，本、利、盈、亏是最关心的要素。学生中有的家中就开有商铺，从小耳濡目染，有的有购物经历，或者看到过店商诸如打折、售价、原价等，从经历经验入手，引出疑问，探寻店商如何赚（盈）、赔（亏），逐步揭开店商销售目的——利润。步步深入，环环相扣。

    重点：从商品销售问题中的数量关系找出等量关系。这也适用于整个用一元一次方程解应用问题，就是找出相等关系；
    难点：用方程设计合理的销售方案，争取利润最大化。

    数学源于生活，又服务于生活。方程是解决实际问题的一种很有用的数学工具。古代中国在这一领域有着领先世界的成就，祖先巧妙运用方程解决生产中的复杂问题（如工程、田亩）。闻名于世的《九章算术》大概写于公元前200年，全书共分九章，第八章就叫“方程”。全书收有246个与贸易、计算税收等实践有联系的应用问题。这些问题的本质在数学的核心是如何解方程。最基础的一元一次方程，对国家大计、身边小事、生产实践也能发挥巨大作用。

（视频）    （取自BBC《数学的故事》介绍中国古代数学成就片段。）
    通过观看，使学生对中国古代数学家在方程的发展方面所作贡献增加了解。即便是如BBC这样在当今西方人的眼里，中国古代尤其是方程领域领先世界的成就，也令西方折服。

▲从一则销售小票说起

    本销售，原价639元，售价319元，折扣49.9%。

    即319/639×100%=49.9%。

    换句话说：

    打x折的售价＝原价× 折扣数/10    （原价即标价）

    本销售折扣49.9%，相当于打（   ）折？   5

    如果你说，店商本次不是亏了？那你的想法未免有点天真。盈利是商人最大的动机。若想知道本次店商究竟是亏（赔）本了还是盈利（赚钱）了，还要涉及该皮鞋的进价。下面就来探究店商秘不示人的进价，以及他们心中追求的终极目的——利润
    分析思路：售价－进价＝利润＝进价×利润率
    PPT—1（第5—7页）演示

▲几个常用概念

（1）成本价：有时也称进价，是商家进货时的价；

（2）标价：商家在出售时，标注的价格；

（3）售价：消费者购买时真正花的钱数；

（4）利润：商品出售后，商家所赚的部分；

（5）利润率：商品出售后利润与成本的比值；

（6）打折：商家为了促销所采用的一种销售手段，打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售，如：打8折，就是按标价的80%出售。

▲几个等量关系式

（1）利润＝售价－进价；

（2）利润率＝利润/进价×100%；

（3）实际售价＝标价·打折率；

▲进价、售价、利润和利润率之间的关系是：

商品利润=商品售价－商品进价

商品利润率=商品利润/商品进价×100%

商品利润率=(商品售价－商品进价)/商品进价×100%

▲商品销售中的盈亏分析

商品销售无论盈亏，始终是围绕相等关系：

1售价=进价+利润（或-亏损额）

2利润＝售价-进价；

3利润率＝(商品售价－商品进价)/商品进价 ×100% ＝商品利润/商品进价 ×100%

4实际售价=标价•打折率

这样几个等量关系式在变化。

    所以利润是核心，售价、标价、进价构成的相等关系是纲，抓住了，解题就纲举目张； 不仅如此，在用一元一次方程解应用问题时，就是找出相等关系，抓住相等关系，就迎刃而解；遇到各种问题，触类旁通，举一反三。那种迷信通过背几种题型或者“题海战术”得高分的想法是幼稚的。

    PPT—2（第9—10页）演示

    1、进价为90元的篮球，卖了120元，利润是 ______ 元 ，利润率是 ______ 元；
    2、原价100元的商品打9折后价格为 ______ 元；
    3、原价100元的商品提价40%后的价格为______ 元；
    4、一件衬衣进价为100元,利润率为20%，这件衬衣售价为 _____ 元；
    5、一台电视售价为1100元,利润率为10%,则这台电视的进价为_____ 元；
    6、一件商品按原定价八五折出售，卖价是17元，那么原定价是 _____ 元。

    自学课本P104探究1：
    1、提问：
    ①如何判定是盈还是亏？
    ②盈利率、亏损率指的是什么？
    ③这一问题情境中哪些是已知量？哪些未知量？如何设未知数？相等关系是什么？如何列方程?
    2．写出正确的、完整的解题过程。

    1、两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（      ）。A
    A．赢利16.8元   B．亏本3元
    C．赢利3元      D．不赢不亏
    2、一批校服按八折出售，每件为x元，则这批校服每件的原价为（       ）  B
    A. x/(20%)元      B. x/(80%)元
    C. 20%x元         D. 80%x元
    3、一家三人(父、母、女儿)准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知:“父母买全票，女儿按半价优惠”，乙旅行社告知:“家庭旅游可按团体票计价，即每人均按8折优惠收费。”若这两家旅行社每人的原票价相同，那么优惠条件是(         )       B
    A.甲比乙更优惠   B.乙比甲更优惠
    C.甲与乙相同      D.与原票价有关
    4、某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25﹪，另一件亏损25﹪，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?

       ￥60                                         ￥60

想一想:
1.盈利率、亏损率指的是什么？
2.这一问题情境中有哪些已知量?哪些未知量?如何设未知数?相等关系是什么？
3.如何判断是盈是亏？

盈利：售价大于进价   亏损：进价大于售价

    如何根据利润推知进价、原（标）价？
    例 商店对某种商品作调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1600元。问商品的原价是多少？
                                                                   （2200元）
    练一练
    1、某商品的进价为250元，按标价的9折销售时，利润率为15.2%，商品的标价是多少？
    2、一商店把某商品按标价的九折出售，则可获利25元，若按标价的八折出售则亏损20元，问该商品的进价是多少元？
    3、某商品的进价为200元，标价为300元，折价销售时的利润率为5%，此商品按几折销售的？

   通过本节课的学习你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
   再理一理商品销售中本、利、盈、亏的常见的几种关系。

    1、某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可降多少元出售此商品？

    2、在我们的身边有一些股民，在每一次的股票交易中总是或盈利或亏损。某股民将甲、乙两种股票卖出,甲种股票卖出1500元，盈利20%，乙种股票卖出1600元，但亏损20%，该股民在这次交易中是盈利还是亏损? 盈利或亏损多少元?

3.4　实际问题与一元一次方程

3.4　实际问题与一元一次方程

    数学源于生活，又服务于生活。方程是解决实际问题的一种很有用的数学工具。古代中国在这一领域有着领先世界的成就，祖先巧妙运用方程解决生产中的复杂问题（如工程、田亩）。闻名于世的《九章算术》大概写于公元前200年，全书共分九章，第八章就叫“方程”。全书收有246个与贸易、计算税收等实践有联系的应用问题。这些问题的本质在数学的核心是如何解方程。最基础的一元一次方程，对国家大计、身边小事、生产实践也能发挥巨大作用。

（视频）    （取自BBC《数学的故事》介绍中国古代数学成就片段。）
    通过观看，使学生对中国古代数学家在方程的发展方面所作贡献增加了解。即便是如BBC这样在当今西方人的眼里，中国古代尤其是方程领域领先世界的成就，也令西方折服。

▲从一则销售小票说起

    本销售，原价639元，售价319元，折扣49.9%。

    即319/639×100%=49.9%。

    换句话说：

    打x折的售价＝原价× 折扣数/10    （原价即标价）

    本销售折扣49.9%，相当于打（   ）折？   5

    如果你说，店商本次不是亏了？那你的想法未免有点天真。盈利是商人最大的动机。若想知道本次店商究竟是亏（赔）本了还是盈利（赚钱）了，还要涉及该皮鞋的进价。下面就来探究店商秘不示人的进价，以及他们心中追求的终极目的——利润
    分析思路：售价－进价＝利润＝进价×利润率
    PPT—1（第5—7页）演示

▲几个常用概念

（1）成本价：有时也称进价，是商家进货时的价；

（2）标价：商家在出售时，标注的价格；

（3）售价：消费者购买时真正花的钱数；

（4）利润：商品出售后，商家所赚的部分；

（5）利润率：商品出售后利润与成本的比值；

（6）打折：商家为了促销所采用的一种销售手段，打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售，如：打8折，就是按标价的80%出售。

▲几个等量关系式

（1）利润＝售价－进价；

（2）利润率＝利润/进价×100%；

（3）实际售价＝标价·打折率；

▲进价、售价、利润和利润率之间的关系是：

商品利润=商品售价－商品进价

商品利润率=商品利润/商品进价×100%

商品利润率=(商品售价－商品进价)/商品进价×100%

▲商品销售中的盈亏分析

商品销售无论盈亏，始终是围绕相等关系：

1售价=进价+利润（或-亏损额）

2利润＝售价-进价；

3利润率＝(商品售价－商品进价)/商品进价 ×100% ＝商品利润/商品进价 ×100%

4实际售价=标价•打折率

这样几个等量关系式在变化。

    所以利润是核心，售价、标价、进价构成的相等关系是纲，抓住了，解题就纲举目张； 不仅如此，在用一元一次方程解应用问题时，就是找出相等关系，抓住相等关系，就迎刃而解；遇到各种问题，触类旁通，举一反三。那种迷信通过背几种题型或者“题海战术”得高分的想法是幼稚的。

    PPT—2（第9—10页）演示

    1、进价为90元的篮球，卖了120元，利润是 ______ 元 ，利润率是 ______ 元；
    2、原价100元的商品打9折后价格为 ______ 元；
    3、原价100元的商品提价40%后的价格为______ 元；
    4、一件衬衣进价为100元,利润率为20%，这件衬衣售价为 _____ 元；
    5、一台电视售价为1100元,利润率为10%,则这台电视的进价为_____ 元；
    6、一件商品按原定价八五折出售，卖价是17元，那么原定价是 _____ 元。

    自学课本P104探究1：
    1、提问：
    ①如何判定是盈还是亏？
    ②盈利率、亏损率指的是什么？
    ③这一问题情境中哪些是已知量？哪些未知量？如何设未知数？相等关系是什么？如何列方程?
    2．写出正确的、完整的解题过程。

    1、两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（      ）。A
    A．赢利16.8元   B．亏本3元
    C．赢利3元      D．不赢不亏
    2、一批校服按八折出售，每件为x元，则这批校服每件的原价为（       ）  B
    A. x/(20%)元      B. x/(80%)元
    C. 20%x元         D. 80%x元
    3、一家三人(父、母、女儿)准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知:“父母买全票，女儿按半价优惠”，乙旅行社告知:“家庭旅游可按团体票计价，即每人均按8折优惠收费。”若这两家旅行社每人的原票价相同，那么优惠条件是(         )       B
    A.甲比乙更优惠   B.乙比甲更优惠
    C.甲与乙相同      D.与原票价有关
    4、某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25﹪，另一件亏损25﹪，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?

       ￥60                                         ￥60

想一想:
1.盈利率、亏损率指的是什么？
2.这一问题情境中有哪些已知量?哪些未知量?如何设未知数?相等关系是什么？
3.如何判断是盈是亏？

盈利：售价大于进价   亏损：进价大于售价

    如何根据利润推知进价、原（标）价？
    例 商店对某种商品作调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1600元。问商品的原价是多少？
                                                                   （2200元）
    练一练
    1、某商品的进价为250元，按标价的9折销售时，利润率为15.2%，商品的标价是多少？
    2、一商店把某商品按标价的九折出售，则可获利25元，若按标价的八折出售则亏损20元，问该商品的进价是多少元？
    3、某商品的进价为200元，标价为300元，折价销售时的利润率为5%，此商品按几折销售的？

   通过本节课的学习你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
   再理一理商品销售中本、利、盈、亏的常见的几种关系。

    1、某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可降多少元出售此商品？

    2、在我们的身边有一些股民，在每一次的股票交易中总是或盈利或亏损。某股民将甲、乙两种股票卖出,甲种股票卖出1500元，盈利20%，乙种股票卖出1600元，但亏损20%，该股民在这次交易中是盈利还是亏损? 盈利或亏损多少元?