6.1 平方根名师课堂实录

地区： 青海省 - 海东 - 互助县

学校：互助土族自治县哈拉直沟乡中心学校

6.1　平方根 初中数学       人教2011课标版

本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习旧知 引入新知；第二环节：形成概念，辨析概念；第三环节：例题和巩固练习；第四环节：课堂小结；第五环节：思维拓展；第六环节：布置作业.

第一环节：复习旧知 引入新知

（一）复习

1．什么叫算术平方根?

3的平方等于9，那么9的算术平方根就是____3______.

的平方等于   ，那么   的算术平方根就是_____ _________.

展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长___7_____米.

2.到目前为止,我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？

乘方有没有逆运算?

  平方与算术平方根之间的关系？

已知折叠着的正方形ABCD面积为1，则边长为__1___.将它扩展，面　　积变为原来的2倍，那么它的边长为___ ___；若面积变为原来的3倍，则边长为____ _____；若面积变为原来的n倍，则边长为____ ____.

（二）复习引入

问题：平方等于9， ,49的数还有吗？                        

意图: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题,由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识.熟悉它们的互化关系.并把上节课的思考题制作成FLASH情景引入,增加动画效果.

效果：借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣.

第二环节 : 新课学习

（一）探究新知

填空：

   3 =(9 )                

   (-3) =(9 )            (  ) =9            0 =0

( ) =( )　                 (不存在) =-4

  ( ) =( ) 

（二）形成概念(1)

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.而把正的平方根叫算术平方根。

表达式为:若x =a，那么x叫做a的平方根. 记作： （a称为被开方数，a大于等于0）读作根号a

例如:(±4) =16,则+4和-4都是16的平方根;即16的平方根是±4; 4是16的算术平方根.

（三）探索平方与开平方的关系:

给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系.

（四）概念辨析

平方根与算术平方根的联系与区别：

联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.

2.只有非负数才有平方根和算术平方根.

3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.

区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.

2.表示法不同：平方根表示为   ，而算术平方根表示为

意图：形成“平方根”的概念.在列举一些具体数据的感性认识基础上,由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系.，辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系.

效果：由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠。

第三环节  例题和新知巩固

（一）例题示范

求下列各数的平方根:

(1)64；(2) ；(3)  0.0004；(4) ；(5) 11

（1）解： ，

(2)解：

（3）解：

   (4) 解：

 (5) 解：

意图：

这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达.能熟练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数.

效果：通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正确的符号化语言.

（二）思考提升

             ，           

            ，                         。

           ，

（三）巩固练习

1 ．下列说法正确的是         

① ②25的平方根是5；③-36的平方根是-6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．

2．下列说法不正确的是(       ) ．

(A)0的平方根是0                      (B) 的平方根是  

(C)非负数的平方根是互为相反数         (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数

3. 已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（   ）．

    (A) a+1            (B)          (C)  a2+1          (D)  

4. 为何值， 有意义？答：因为 ，所以

     意图：围绕本节课的重点知识 （平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解.

     效果：学生基本能水利解决这些问题，并利用探索的规律进行规范的表达.

第四环节  课堂小结

内容：引导学生总结本课时的知识、方法。

意图：让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯.

效果：在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如：

平方根的概念：若 ，则x叫a的平方根，

平方根的个数：正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根.

平方与开方之间的关系；

求平方根的方法：求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数.

第五环节  提高训练

内容：1. 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，求 的值.

      2.已知实数 ， 满足

①若 ， 为 的两边，求第三边 的取值范围；

②若 ， 为 的两边，第三边 等于5，求 的面积.     

意图：安排了两道题,其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题.可供老师根据教学的实际情况灵活处理.

第六环节　作业布置

6.1　平方根

6.1　平方根

本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习旧知 引入新知；第二环节：形成概念，辨析概念；第三环节：例题和巩固练习；第四环节：课堂小结；第五环节：思维拓展；第六环节：布置作业.

第一环节：复习旧知 引入新知

（一）复习

1．什么叫算术平方根?

3的平方等于9，那么9的算术平方根就是____3______.

的平方等于   ，那么   的算术平方根就是_____ _________.

展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长___7_____米.

2.到目前为止,我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？

乘方有没有逆运算?

  平方与算术平方根之间的关系？

已知折叠着的正方形ABCD面积为1，则边长为__1___.将它扩展，面　　积变为原来的2倍，那么它的边长为___ ___；若面积变为原来的3倍，则边长为____ _____；若面积变为原来的n倍，则边长为____ ____.

（二）复习引入

问题：平方等于9， ,49的数还有吗？                        

意图: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题,由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识.熟悉它们的互化关系.并把上节课的思考题制作成FLASH情景引入,增加动画效果.

效果：借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣.

第二环节 : 新课学习

（一）探究新知

填空：

   3 =(9 )                

   (-3) =(9 )            (  ) =9            0 =0

( ) =( )　                 (不存在) =-4

  ( ) =( ) 

（二）形成概念(1)

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.而把正的平方根叫算术平方根。

表达式为:若x =a，那么x叫做a的平方根. 记作： （a称为被开方数，a大于等于0）读作根号a

例如:(±4) =16,则+4和-4都是16的平方根;即16的平方根是±4; 4是16的算术平方根.

（三）探索平方与开平方的关系:

给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系.

（四）概念辨析

平方根与算术平方根的联系与区别：

联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.

2.只有非负数才有平方根和算术平方根.

3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.

区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.

2.表示法不同：平方根表示为   ，而算术平方根表示为

意图：形成“平方根”的概念.在列举一些具体数据的感性认识基础上,由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系.，辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系.

效果：由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠。

第三环节  例题和新知巩固

（一）例题示范

求下列各数的平方根:

(1)64；(2) ；(3)  0.0004；(4) ；(5) 11

（1）解： ，

(2)解：

（3）解：

   (4) 解：

 (5) 解：

意图：

这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达.能熟练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数.

效果：通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正确的符号化语言.

（二）思考提升

             ，           

            ，                         。

           ，

（三）巩固练习

1 ．下列说法正确的是         

① ②25的平方根是5；③-36的平方根是-6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．

2．下列说法不正确的是(       ) ．

(A)0的平方根是0                      (B) 的平方根是  

(C)非负数的平方根是互为相反数         (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数

3. 已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（   ）．

    (A) a+1            (B)          (C)  a2+1          (D)  

4. 为何值， 有意义？答：因为 ，所以

     意图：围绕本节课的重点知识 （平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解.

     效果：学生基本能水利解决这些问题，并利用探索的规律进行规范的表达.

第四环节  课堂小结

内容：引导学生总结本课时的知识、方法。

意图：让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯.

效果：在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如：

平方根的概念：若 ，则x叫a的平方根，

平方根的个数：正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根.

平方与开方之间的关系；

求平方根的方法：求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数.

第五环节  提高训练

内容：1. 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，求 的值.

      2.已知实数 ， 满足

①若 ， 为 的两边，求第三边 的取值范围；

②若 ， 为 的两边，第三边 等于5，求 的面积.     

意图：安排了两道题,其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题.可供老师根据教学的实际情况灵活处理.

第六环节　作业布置