6.1 平方根教学设计及教案分析

地区： 四川省 - 自贡市 - 富顺县

学校：富顺县北湖实验学校

6.1　平方根 初中数学       人教2011课标版

知识技能

1、了解无理数及实数的概念，并会对实数进行分类.

2、知道实数与数轴上的点具有一一对应关系.

3、学会使用计算器探求将有理数化为小数形式的规律.

4、学会使用计算器估算无理数的近似值.

5、学会使用计算器计算实数的值.

数学思考

通过计算器探求将有理数化为小数形式的规律，使学生经历观察、猜想、实验等数学活动过程，培养学生数学探究能力和归纳表达能力.

2、在使用计算器估算和探究的过程中，使学生学会用计算器探究数学问题的方法.

3、经历从有理数逐步扩充到实数，了解到人类对数的认识是不断发展的.

4、经历对实数进行分类，发展学生的分类意识.

5、通过使用计算器估算无理数的近似值和计算实数的活动，使学生建立对无理数的初步数感.

解决问题

1、通过无理数的引入，使学生对数的认识由有理数扩充到实数.

2、通过计算器对无理数近似值的估算和对实数计算，使学生发展实践能力.

3、在交流中学会与人合作，并能与他人交流自己思维的过程和结果

情感态度

通过计算器探求将有理数化为小数形式的规律，激发学生的求知

欲，使学生感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的快乐，获取成功的体验．

通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用.
敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新

问题.

重点：了解无理数和实数的概念，以及实数的分类；会用计算器计算实数.

难点：对无理数的认识

问题与情境

师生行为

设计意图

[活动 [活动1]

通过对有理数探究，激

发进一步学习的欲望.

问题：

(1)利用计算器，把下列有理数3，- ， ， ， ， 转换成小数的形式，你有什么发现？

(2)我们所学过的数是否都具有问题(1)中数的特征，即是否都是有限小数和无限循环小数？

教师提出问题(1).

教师引导学生观察计算结果，得出任何一个整数或整数比即有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.

教师提出问题(2).

学生回顾思考，通过学生对有理数的再认识，师生共同归纳无理数是无限不循环小数，从而得出无理数既不是整数也不是分数的结论.

活动1中，教师应关注：(1)学生通过实际计算实现有理数到小数的转化，激发进一步学习无理数的欲望；(2)学生了解无理数的主要特征.

计算器是将有理数转化为小数的主要计算工具，通过组织学生的计算活动，发现规律，并与学过的无限不循环小数作对比，为学习无理数概念作准备.

通过让学生参与无理数的概念的建立和发现数系扩充必要性的过程，促进学生对数学学习的兴趣，培养学生初步的发现能力.

注重新旧知识的连贯性，使学生体会到学习的内容是融会贯通的。激发学生的求知欲。

[活动2]

通过对数的归纳辨析，教师引出无理数和实数的概念，并引导学生学会对实数如何分类.

问题：

你能对我们学过的数进行合理的分类吗？

教师引出无理数和实数的概念，

教师引导学生独立思考：当对数的认识扩充到实数范围之后，怎样在实数范围内对学过的数进行分类整理？教师在参与讨论时启发学生类比有理数的分类，同时鼓励学生相互补充、完善，并帮助总结出实数的分类结构图.

实数

活动2中，教师应关注：

(1)学生对有理数和无理数的概念以及它们之间的差异与联系的了解程度；

    (2)学生在讨论中能否发表自己的见解，倾听他人的意见，并从中获益；

(3)学生是否能用语言准确地表达自己的观点.

通过对实数进行分类，让学生进一步领会分类的思想，培养学生从多角度思考问题，为他们以后更好地学习新知识作准备.同时也能使学生加深对无理数和实数的理解.

通过学生互相的讨论和交流，可以深刻地体验知识之间的内在联系，初步形成对实数整体性的认识.

[活动3]

通过教师演示和学生活动，建立实数与数轴上的点的一一对应。

问题：

我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？你能在数轴上找到表示 这样的无理数的点吗？

教师提出问题.

学生独立思考后小组讨论交流，学生借助 的得出过程进行探究，

教师参与并指导实际操作(利用多媒体课件演示圆滚动的过程）.

本节由于学生知识水平的限制，教师直接给出有理数和无理数与数轴上的点是一一对应的结论.

活动3中，教师应关注：

(1)学生利用边长为1的正方形的对角线为 的结论，在数轴上找到表示 的点；

(2)学生是否理解直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′所表示的数为 ；

(3)学生是否主动参与探究活动，是否能用语言准确地表达自己的观点.

本次活动是从学生已有的知识水平出发，找到数轴上 的位置，体会无理数也可以用数轴上的点来表示.

借助数轴对无理数进行研究，从形的角度，再一次体会无理数.同时也感受实数与数轴上的点的一一对应关系.进一步体会数形结合思想.

通过多媒体教学使学生了解无理数数 也可以用数轴上的点来表示，从而引发学生学习兴趣.

通过探究活动，在数轴上找到了表示无理数的点，使学生了解无理数的几何意义.

数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学．通过数学活动，让学生进行探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生动手实践能力，观察、分析、抽象、概括的思维能力.

[活动4]

用计算器估算 的近似值.

1、讨论： 到底有多大？

问题：

(1)哪个数的平方最接近3？

(2) 在哪两个数之间？

并将讨论结果，发现结论通过表格明晰出来.（填〉，〈）.

〈_3

__〉3

〈_3

__〉_3

〈_3

_〉_3

〈_3

_〉_3

2、验证.

用计算器估算 的近似值.

教师利用有理数逼近无理数的方法，引导学生逐步估算 的范围.

学生通过用计算器估算，可以寻找到 的范围.

用计算器的计算功能估算 的近似值。在此使学生对无理数有进一步的感知.

活动4中,教师应关注：(1)学生能否估算出

的范围；

(2)学生是否学会了用

计算器估算无理数近似值的方法.

如何求无理数的近似值？在此给出来两种估算 的方法：对于第一种方法，利用夹逼的办法，通过分析 的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小，加深对无理数的理解.而第二种方法，则是直接用计算器求值.

利用计算器的计算功能可提高这节课的实效性.在教学中计算器可作为一种探究工具，在这节课中让学生自己动手实验、验证，调动学生学习的积极性，增强数感，利用计算器的计算功能探究用有理数逼近无理数，使学生感受计算器在求无理数近似值的优越性.

[活动5]

用计算器求实数的值.

例1：计算.

（1）

（结果保留3个有效数字）；

（2）

（精确到0.01）；

例2：比较下列各组数的大小.  

(1)4, ；

(2) -2，-        

当数的范围由有理数扩充到实数以后，对于实数的运算，教师强调两点：一是有理数的运算率和运算性质在实数范围内仍然成立；二是涉及无理数的计算，利用计算器求其近似值，转化为有理数进行计算.

教师布置练习后，巡视辅导，并通过投影展示同学的计算过程。

活动5中，教师应关注：

(1)学生是否会正确使用计算器计算实数；

(2)是否按所要求的精确度正确地用相应的近似有限小数来代替无理数.

安排例1的目的是想通过具体例子说明，有理数的运算律和运算性质同样适合于实数的运算，同时巩固使用计算器求实数的方法.

例2是比较数的大小，教学中可以引导学生运用多种方法，比如可以先求出无理数的近似值，把无理数化成有理数，再比较两个有理数的大小等.

活动5使学生能够熟练运用计算器求实数的值.使学生加深对实数的认识.

[活动6]

小结归纳，课后作业.

问题： 

1、本节课你学到了什么知识？你有什么收获？

2、本节课如何发挥计算器的功能帮助你进行数学探究的？

课后作业：

(1)课本第22页习题5.3之复习巩固1，2，4；

(2)第23页课本习题之综合运用8.如图

（3）思考题：当数从有理数扩充到实数以后，相反数和绝对值的意义以及运算法则对于实数来说是否还适用呢？

教师提出问题.

学生独立回答，教师根据学生的回答，结合结构图总结本节知识.

活动7中，教师应关注(1)学生对无理数和实

数概念的理解程度；

(2)学生是否能够认真地倾听与思考；  

(3)学生是否能够发现其中的数学题，并有意识地运用所学知识解决； 

(4)学生能够对知识的归纳、梳理和总结的能力的提高；

(5)学生能否在本节知识的基础上主动思考，类比有理数的性质和运算来学习实数；

(6)学生能否学会用计算器进行计算、探究解决数学问题.

通过共同小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，再一次突出本节课的学习重点，改善学生的学习方式。有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．同时为以后的学习作知识储备.

学生通过独立思考，完成课后作业，教师能够及时发现问题并反馈学生的学习情况，以便于查漏补缺，优化课堂教学．

6.1　平方根

6.1　平方根

问题与情境

师生行为

设计意图

[活动 [活动1]

通过对有理数探究，激

发进一步学习的欲望.

问题：

(1)利用计算器，把下列有理数3，- ， ， ， ， 转换成小数的形式，你有什么发现？

(2)我们所学过的数是否都具有问题(1)中数的特征，即是否都是有限小数和无限循环小数？

教师提出问题(1).

教师引导学生观察计算结果，得出任何一个整数或整数比即有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.

教师提出问题(2).

学生回顾思考，通过学生对有理数的再认识，师生共同归纳无理数是无限不循环小数，从而得出无理数既不是整数也不是分数的结论.

活动1中，教师应关注：(1)学生通过实际计算实现有理数到小数的转化，激发进一步学习无理数的欲望；(2)学生了解无理数的主要特征.

计算器是将有理数转化为小数的主要计算工具，通过组织学生的计算活动，发现规律，并与学过的无限不循环小数作对比，为学习无理数概念作准备.

通过让学生参与无理数的概念的建立和发现数系扩充必要性的过程，促进学生对数学学习的兴趣，培养学生初步的发现能力.

注重新旧知识的连贯性，使学生体会到学习的内容是融会贯通的。激发学生的求知欲。

[活动2]

通过对数的归纳辨析，教师引出无理数和实数的概念，并引导学生学会对实数如何分类.

问题：

你能对我们学过的数进行合理的分类吗？

教师引出无理数和实数的概念，

教师引导学生独立思考：当对数的认识扩充到实数范围之后，怎样在实数范围内对学过的数进行分类整理？教师在参与讨论时启发学生类比有理数的分类，同时鼓励学生相互补充、完善，并帮助总结出实数的分类结构图.

实数

活动2中，教师应关注：

(1)学生对有理数和无理数的概念以及它们之间的差异与联系的了解程度；

    (2)学生在讨论中能否发表自己的见解，倾听他人的意见，并从中获益；

(3)学生是否能用语言准确地表达自己的观点.

通过对实数进行分类，让学生进一步领会分类的思想，培养学生从多角度思考问题，为他们以后更好地学习新知识作准备.同时也能使学生加深对无理数和实数的理解.

通过学生互相的讨论和交流，可以深刻地体验知识之间的内在联系，初步形成对实数整体性的认识.

[活动3]

通过教师演示和学生活动，建立实数与数轴上的点的一一对应。

问题：

我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？你能在数轴上找到表示 这样的无理数的点吗？

教师提出问题.

学生独立思考后小组讨论交流，学生借助 的得出过程进行探究，

教师参与并指导实际操作(利用多媒体课件演示圆滚动的过程）.

本节由于学生知识水平的限制，教师直接给出有理数和无理数与数轴上的点是一一对应的结论.

活动3中，教师应关注：

(1)学生利用边长为1的正方形的对角线为 的结论，在数轴上找到表示 的点；

(2)学生是否理解直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′所表示的数为 ；

(3)学生是否主动参与探究活动，是否能用语言准确地表达自己的观点.

本次活动是从学生已有的知识水平出发，找到数轴上 的位置，体会无理数也可以用数轴上的点来表示.

借助数轴对无理数进行研究，从形的角度，再一次体会无理数.同时也感受实数与数轴上的点的一一对应关系.进一步体会数形结合思想.

通过多媒体教学使学生了解无理数数 也可以用数轴上的点来表示，从而引发学生学习兴趣.

通过探究活动，在数轴上找到了表示无理数的点，使学生了解无理数的几何意义.

数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学．通过数学活动，让学生进行探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生动手实践能力，观察、分析、抽象、概括的思维能力.

[活动4]

用计算器估算 的近似值.

1、讨论： 到底有多大？

问题：

(1)哪个数的平方最接近3？

(2) 在哪两个数之间？

并将讨论结果，发现结论通过表格明晰出来.（填〉，〈）.

〈_3

__〉3

〈_3

__〉_3

〈_3

_〉_3

〈_3

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2、验证.

用计算器估算 的近似值.

教师利用有理数逼近无理数的方法，引导学生逐步估算 的范围.

学生通过用计算器估算，可以寻找到 的范围.

用计算器的计算功能估算 的近似值。在此使学生对无理数有进一步的感知.

活动4中,教师应关注：(1)学生能否估算出

的范围；

(2)学生是否学会了用

计算器估算无理数近似值的方法.

如何求无理数的近似值？在此给出来两种估算 的方法：对于第一种方法，利用夹逼的办法，通过分析 的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小，加深对无理数的理解.而第二种方法，则是直接用计算器求值.

利用计算器的计算功能可提高这节课的实效性.在教学中计算器可作为一种探究工具，在这节课中让学生自己动手实验、验证，调动学生学习的积极性，增强数感，利用计算器的计算功能探究用有理数逼近无理数，使学生感受计算器在求无理数近似值的优越性.

[活动5]

用计算器求实数的值.

例1：计算.

（1）

（结果保留3个有效数字）；

（2）

（精确到0.01）；

例2：比较下列各组数的大小.  

(1)4, ；

(2) -2，-        

当数的范围由有理数扩充到实数以后，对于实数的运算，教师强调两点：一是有理数的运算率和运算性质在实数范围内仍然成立；二是涉及无理数的计算，利用计算器求其近似值，转化为有理数进行计算.

教师布置练习后，巡视辅导，并通过投影展示同学的计算过程。

活动5中，教师应关注：

(1)学生是否会正确使用计算器计算实数；

(2)是否按所要求的精确度正确地用相应的近似有限小数来代替无理数.

安排例1的目的是想通过具体例子说明，有理数的运算律和运算性质同样适合于实数的运算，同时巩固使用计算器求实数的方法.

例2是比较数的大小，教学中可以引导学生运用多种方法，比如可以先求出无理数的近似值，把无理数化成有理数，再比较两个有理数的大小等.

活动5使学生能够熟练运用计算器求实数的值.使学生加深对实数的认识.

[活动6]

小结归纳，课后作业.

问题： 

1、本节课你学到了什么知识？你有什么收获？

2、本节课如何发挥计算器的功能帮助你进行数学探究的？

课后作业：

(1)课本第22页习题5.3之复习巩固1，2，4；

(2)第23页课本习题之综合运用8.如图

（3）思考题：当数从有理数扩充到实数以后，相反数和绝对值的意义以及运算法则对于实数来说是否还适用呢？

教师提出问题.

学生独立回答，教师根据学生的回答，结合结构图总结本节知识.

活动7中，教师应关注(1)学生对无理数和实

数概念的理解程度；

(2)学生是否能够认真地倾听与思考；  

(3)学生是否能够发现其中的数学题，并有意识地运用所学知识解决； 

(4)学生能够对知识的归纳、梳理和总结的能力的提高；

(5)学生能否在本节知识的基础上主动思考，类比有理数的性质和运算来学习实数；

(6)学生能否学会用计算器进行计算、探究解决数学问题.

通过共同小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，再一次突出本节课的学习重点，改善学生的学习方式。有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．同时为以后的学习作知识储备.

学生通过独立思考，完成课后作业，教师能够及时发现问题并反馈学生的学习情况，以便于查漏补缺，优化课堂教学．