3.4 实际问题与一元一次方程教案设计

地区： 辽宁省 - 盘锦市 -

学校：辽河油田兴隆台第二初级中学

3.4　实际问题与一元一次… 初中数学       人教2011课标版

1.知识与技能：

体验建立方程模型的解决问题的一般过程。

2.过程与方法：

通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，体会分类思想和方程思想，感受数学的应用价值，提高学生分析问题解决问题的能力。

3.情感与态度：

通过对电话计费问题的探究和分析的过程，让学生感受数学活动充满着探索，培养学生关注生活，提高学生学习热情，增强学生探究意识。

1.    七年级学生对身边的事物已有感性的观察和体验，对一元一次方程的解法和应用已经学习，有主动学习的行为，深得老师赞赏。比较喜欢上数学课，学习热情也很高，并喜欢与老师友好相处，同学之间、师生之间常在一起交流学习体会，可以通过教师的引导完成本节课的探究。

2.    七年级学生在分类和转化等教学活动中还是有一定难度的，所以在确定分类节点的问题时，通过让学生观察表格中的电话费变化情况来理解节点的存在，从而确定节点，最后得出结论，渗透分类和方程的思想。

重点：建立电话计费问题的方程模型。

难点：由实际问题抽象出数学模型的探究过程。

问题1 下面表格给出的是两种移动电话的计费方式：（课件出示）

你了解表格中这些数字的含义吗？

师生活动：教师提问，学生思考、回答：

    教师适当给与提示，如“月使用费的比较”、“超时费的比较”等，然后教师列举出一两个具体的主叫间，让学生通过简单计算回答相应的费用。（课件演示）

设计意图：通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力，引导学生对表格信息做初步的梳理和简单的加工；通过对几个容易计算的主叫时间的话费计算，检验学生是否理解表格信息的含义，并渗透“话费多少与主叫时间相关”。

问题2 你觉得选择哪种计费方式更省钱呢？

师生活动：教师提出问题，学生思考回答。根据学生的回答情况，教师适当加以引导：

    若学生回答方式一或方式二省钱，可发动其他学生通过举例的方式加以质疑；

    若学生的回答中出现分类讨论的趋势，则教师加以肯定并进一步引导学生对分类的关键点、分类后各区间中的变化趋势作进一步的探究。

    讨论后安排学生再次思考，可适当讨论。

设计意图：学生对电话计费问题是有生活基础的，所以也具备一定的认识基础，在给出探究问题之后让学生充分发言，表达自己对问题的直观认识，这也是学生对问题的第一次认识，在此基础上学生之间通过发表意见，互相借鉴，进一步探究进行准备。

问题3 通过大家的讨论，你对电话计费问题有什么新的认识？

师生活动：教师提出问题，学生思考回答。根据学生的回答情况，教师适当加以归纳引导：

    若学生还没有明确的分类，则引导学生思考“你可以确定哪一个时间区间内两种计费的比较结果？”，从而引导学生进行分类；

    若学生已经对问题进行了分类，则追问“你为什么这样分类？”以及“在每一个时间区间内你是怎么分析的？”，从而引导学生更合理地解决问题。

设计意图：学生在参考了其他同学的观点之后再次对问题进行认识，其认识过程与结论已经逐步接近正确而合理的方向，教师在此基础上加以引导和启发，帮助学生确定分类讨论的研究方式，并在总结学生发言的基础上归纳出“分类的关键点”，使学生的学习由“感性认识”逐步过渡到“理性分析”。

问题4 设一个月内用移动电话主叫为t分(t是正整数)。当t在不同时间范围内取值时，列表说明按方式一和方式二如何计费。

师生活动：教师提出问题，学生思考并制作表格，教师巡视。

    教师请学生填写下面的表格，其他同学适当补充。

设计意图：引导学生列表，让学生体验使用表格整理信息的益处，并通过列表使学生进一步明确两种计费方式的变化规律，同时考察学生列代数式表示未知量的能力。

问题5 观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？

师生活动：教师提出问题，学生思考并小组讨论，教师选小组汇报讨论结果。

一般学生能够对“t小于150”、“ t=150”、“ t=350”三种情况作出准确的判断，而对于“t大于150且小于350”的情况，教师应辅助学生加以分析。

教师追问：

    1.当主叫时间“t大于150且小于350”时，是否存在某一主叫时间使两种方式的计费相等？为什么？
利用方程求出使两种方式的计费相等的主叫时间，得出270分这个时间点。
    2. 当主叫时间“大于150分且小于270分”或“大于270分且小于350分”时，分别选择哪种计费方式比较省钱？

      对于“t大于350”时两种计费方式的比较，教师引导学生去探究并表述。方式一计费：108+0.25(t-350)，方式二计费：88+0.19(t-350)，这样学生不难得出结论。（课件演示）

设计意图：这一问题是本节课的关键，学生通过分类讨论得到“方程模型”，并利用方程求出关键数据，这可以让学生认识到方程的重要性和应用价值，增强学生对模型应用意识和应用能力。

问题6 综合以上的分析，可以发现：

___________________________时，选择方式一省钱；

___________________________时，选择方式二省钱。

师生活动：教师提出问题，学生思考并回答。

设计意图：在得出方程模型的结论之后，引导学生利用结论解释实际问题，从而完成建模解题的完整过程。

请学生回顾电话计费问题的探究过程，回答以下问题：

1.探究解题的过程大致包括哪几个步骤？
2.电话计费问题的核心问题是什么？
3.在探究的过程中用到了哪些方法？你有哪些收获？

师生活动：引导学生总结，教师补充。

设计意图：在总结了本节课的知识性问题之后，继续引导学生总结本节课的过程与方法，使学生原来模糊的意识、零散的经验得以梳理，从而初步掌握探究同类问题的一般思路。

利用本节课学会的方法，探究下面的问题：

    用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20页时每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元。在图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元。如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）

师生活动：教师提出问题，学生思考、解答，小组讨论，选学生回答，教师点评。

设计意图：在完成了“电话计费问题”的探究之后，通过类似问题使学生刚刚获得的经验得到巩固和深化，进一步熟悉解决问题的方法和过程，从而提高分析问题和解决问题的能力。

必做题： P112页第10题

选做题：

    某校计划买若干台电脑，现在从两家商场了解到同一型号的电脑每台报价均为4000元，甲商场经理说：“第一台按原报价收费，其余每台电脑优惠25%”，乙商场经理说：“每台电脑优惠20%”。

（1）   若购买4台，哪家商场较优惠？买6台呢？

（2）   买多少台，两家商场收费一样多？

（3）   你知道怎样选择更省钱吗？

3.4　实际问题与一元一次方程

3.4　实际问题与一元一次方程

问题1 下面表格给出的是两种移动电话的计费方式：（课件出示）

你了解表格中这些数字的含义吗？

师生活动：教师提问，学生思考、回答：

    教师适当给与提示，如“月使用费的比较”、“超时费的比较”等，然后教师列举出一两个具体的主叫间，让学生通过简单计算回答相应的费用。（课件演示）

设计意图：通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力，引导学生对表格信息做初步的梳理和简单的加工；通过对几个容易计算的主叫时间的话费计算，检验学生是否理解表格信息的含义，并渗透“话费多少与主叫时间相关”。

问题2 你觉得选择哪种计费方式更省钱呢？

师生活动：教师提出问题，学生思考回答。根据学生的回答情况，教师适当加以引导：

    若学生回答方式一或方式二省钱，可发动其他学生通过举例的方式加以质疑；

    若学生的回答中出现分类讨论的趋势，则教师加以肯定并进一步引导学生对分类的关键点、分类后各区间中的变化趋势作进一步的探究。

    讨论后安排学生再次思考，可适当讨论。

设计意图：学生对电话计费问题是有生活基础的，所以也具备一定的认识基础，在给出探究问题之后让学生充分发言，表达自己对问题的直观认识，这也是学生对问题的第一次认识，在此基础上学生之间通过发表意见，互相借鉴，进一步探究进行准备。

问题3 通过大家的讨论，你对电话计费问题有什么新的认识？

师生活动：教师提出问题，学生思考回答。根据学生的回答情况，教师适当加以归纳引导：

    若学生还没有明确的分类，则引导学生思考“你可以确定哪一个时间区间内两种计费的比较结果？”，从而引导学生进行分类；

    若学生已经对问题进行了分类，则追问“你为什么这样分类？”以及“在每一个时间区间内你是怎么分析的？”，从而引导学生更合理地解决问题。

设计意图：学生在参考了其他同学的观点之后再次对问题进行认识，其认识过程与结论已经逐步接近正确而合理的方向，教师在此基础上加以引导和启发，帮助学生确定分类讨论的研究方式，并在总结学生发言的基础上归纳出“分类的关键点”，使学生的学习由“感性认识”逐步过渡到“理性分析”。

问题4 设一个月内用移动电话主叫为t分(t是正整数)。当t在不同时间范围内取值时，列表说明按方式一和方式二如何计费。

师生活动：教师提出问题，学生思考并制作表格，教师巡视。

    教师请学生填写下面的表格，其他同学适当补充。

设计意图：引导学生列表，让学生体验使用表格整理信息的益处，并通过列表使学生进一步明确两种计费方式的变化规律，同时考察学生列代数式表示未知量的能力。

问题5 观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？

师生活动：教师提出问题，学生思考并小组讨论，教师选小组汇报讨论结果。

一般学生能够对“t小于150”、“ t=150”、“ t=350”三种情况作出准确的判断，而对于“t大于150且小于350”的情况，教师应辅助学生加以分析。

教师追问：

    1.当主叫时间“t大于150且小于350”时，是否存在某一主叫时间使两种方式的计费相等？为什么？
利用方程求出使两种方式的计费相等的主叫时间，得出270分这个时间点。
    2. 当主叫时间“大于150分且小于270分”或“大于270分且小于350分”时，分别选择哪种计费方式比较省钱？

      对于“t大于350”时两种计费方式的比较，教师引导学生去探究并表述。方式一计费：108+0.25(t-350)，方式二计费：88+0.19(t-350)，这样学生不难得出结论。（课件演示）

设计意图：这一问题是本节课的关键，学生通过分类讨论得到“方程模型”，并利用方程求出关键数据，这可以让学生认识到方程的重要性和应用价值，增强学生对模型应用意识和应用能力。

问题6 综合以上的分析，可以发现：

___________________________时，选择方式一省钱；

___________________________时，选择方式二省钱。

师生活动：教师提出问题，学生思考并回答。

设计意图：在得出方程模型的结论之后，引导学生利用结论解释实际问题，从而完成建模解题的完整过程。

请学生回顾电话计费问题的探究过程，回答以下问题：

1.探究解题的过程大致包括哪几个步骤？
2.电话计费问题的核心问题是什么？
3.在探究的过程中用到了哪些方法？你有哪些收获？

师生活动：引导学生总结，教师补充。

设计意图：在总结了本节课的知识性问题之后，继续引导学生总结本节课的过程与方法，使学生原来模糊的意识、零散的经验得以梳理，从而初步掌握探究同类问题的一般思路。

利用本节课学会的方法，探究下面的问题：

    用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20页时每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元。在图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元。如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）

师生活动：教师提出问题，学生思考、解答，小组讨论，选学生回答，教师点评。

设计意图：在完成了“电话计费问题”的探究之后，通过类似问题使学生刚刚获得的经验得到巩固和深化，进一步熟悉解决问题的方法和过程，从而提高分析问题和解决问题的能力。

必做题： P112页第10题

选做题：

    某校计划买若干台电脑，现在从两家商场了解到同一型号的电脑每台报价均为4000元，甲商场经理说：“第一台按原报价收费，其余每台电脑优惠25%”，乙商场经理说：“每台电脑优惠20%”。

（1）   若购买4台，哪家商场较优惠？买6台呢？

（2）   买多少台，两家商场收费一样多？

（3）   你知道怎样选择更省钱吗？