3.4 实际问题与一元一次方程教学设计案例

地区： 湖北省 - 随州市 - 随县

学校：随县厉山镇何家小学

3.4　实际问题与一元一次… 初中数学       人教2011课标版

知识与技能：

    1、利用路程、时间、速度之间关系，借助画示意图列一元一次方程解以现实为背景的应用题；

2、运用画图直观分析、探究发现，充分发挥学生的主体作用，学生在轻松愉快的气氛中掌握知识。

过程与方法：

    结合实际，创造活跃有趣的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验；培养学生的探索精神，树立学习的信心。

情感、态度、价值观：

    培养学生的探索精神，树立学习的信心。

知识与技能： 1、利用路程、时间、速度之间关系，借助画示意图列一元一次方程解以现实为背景的应用题； 2、运用画图直观分析、探究发现，充分发挥学生的主体作用，学生在轻松愉快的气氛中掌握知识。 过程与方法： 结合实际，创造活跃有趣的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验；培养学生的探索精神，树立学习的信心。 情感、态度、价值观： 培养学生的探索精神，树立学习的信心。

教学重点：通过分析题意，寻找等量关系，列方程。

教学难点：从不同的角度来找等量关系，列方程。

教学过程：

（一）创设情境、提出问题

问题1：“甲、乙两人，同时出发，相对而行，距离是 ，甲每小时走 ，乙每小时走 ，问他俩几小时可以碰到？”

你能回答出上述问题吗？

（二）讨论交流，探究问题

① 组织四人小组活动，观察分析，理解题意，弄清路程、速度、时间之间的关系；

② 在小组讨论的基础上，全班相互交流。

教师针对学生讨论的情况，进行点评，引导分析，渗透数学建模的思想。

画出示意图：

引导分析：甲乙相遇时，他们共行的路程为       。

本题有哪些相等关系呢？

从路程角度分析：甲行走的路程+乙行走的路程=     。

从时间角度分析：甲行走的时间=乙行走的时间。

如果设：甲、乙相遇他们的时间为 ，此时相等关系：

甲行走的路程+乙行走的路程=      。

即甲行走的速度×甲行走的      +乙行走的    ×乙行走的时间=        。

则可得方程：

解：设甲乙相遇时行走了 小时，根据题意得：

 ， ， 。

答：他们10小时能相遇。

此时教师再问：如果设甲行走的路程为 ，那么相等关系是什么呢？再让四人小组讨论、交流。

问题2：接上题：一只小狗每小时走 ，它同甲一起出发，碰到乙时它又往甲这边走，碰到甲它又往乙这边走，问小狗在甲、乙相遇时，一共走了多少千米？”

你知道怎样解答的吗？

学生继续分组讨论。由小组派代表发表本组的见解，然后教师点评分析：

① 画出示意图；（略）

② 分析：

小狗走的路程=小狗走的速度×小狗走的时间，现在只需求出小狗走的时间，问题就解决了。

小狗走的时间为多少呢？

显然，小狗往返跑直到甲、乙相遇时才停下来，故小狗跑的时间就是甲、乙相遇前走的时间，问题由此应迎刃而解。

解：（略）

问题3：

如果甲、乙、小狗都从一点出发，同向而行，其速度皆不变，乙和小狗先出发3小时，甲再出发追赶乙，当甲追上乙时，小狗跑了多少米？

学生分组讨论。由小组派代表发表本组的见解，然后教师点评分析：

① 画出示意图；（略）

② 分析：变换情境后，变成了什么问题？问题的等量关系又是什么？

小狗走的路程=小狗走的速度×小狗走的时间，故关键还是求出时间，而这个时间就是甲追上乙的时间，可由下列追及问题中的等量关系求得。

甲行走的速度×甲追上乙行走的时间=乙行走的速度×甲追上乙行走的时间+乙提前行走的速度×乙提前行走的时间。

问题4：

如果甲、乙、小狗从同一点出发，同向而行，而甲先出发5小时，乙才和小狗一起出发，当小狗追上甲时，甲走了多少米？乙还能追上甲吗？为什么？

学生分组讨论，由小组派代表发表本组的见解。之后教师引导分析：

显然，小狗和甲又形成了追及问题，由问题4知，设小狗追赶甲的时间为 ，则可得到： 。

此时小狗行走的路程=甲行走的路程= 千米，乙不能追上甲，原因何在呢？如果乙能追上甲，则肯定有 。

解得 。

显然时间不能为负。

说明：速度较大者追速度较小者，定能追上，而速度较小者追速度较大者，肯定不能追上。

（三）课堂小结

谈谈本节你有何收获？

（四）作业设计

课本108页习题 3.4第6、8题

课后反思：

1、使学生能根据商品销售问题中的数量关系找出等量关系，列出方程，掌握商品盈亏的求法；

2、培养学生分析问题，解决实际问题的能力； 3、让学生在实际生活问题中，感受到数学的价值。

让学生知道商品销售中的盈亏的算法。

弄清商品销售中的“进价”“标价”“售价”及“利润”的含义。

（一）引入新课

1、引言

前面我们结合实际问题，讨论了如何分析数量关系，利用相等关系列方程以及如何解方程。本节开始，我们将进一步探究如何用一元一次方程解决生活中的一些实际问题。

2、引例

①某商品原来每件零售价是 元，现在每件降价 ，降价后每件零售价是          ；

②某种品牌的彩电降价 以后，每台售价为 元，则该品牌彩电每台原价应为         元；

③某商品按定价的八折出售，售价是 元，则原定价是             ；

④某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利 ，则该商品的标价为              ；

⑤我国政府为解决老百姓看病问题，决定下调药品的价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001降价70%至 元，则这种药品在1999年涨价前价格为        元。

（二）提出问题、探究新知

问题：销售中的盈亏（课本104页探究1）

某商店在某一时间以每件60元的价格卖两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总收入是盈利还是亏损？或是不盈不亏？

先引导学生大体估算盈亏情况，再通过准确计算检验学生的判断。

分析：进价、售价和利润之间有什么关系？什么是利润率？

利润=售价－进价；利润率=利润/进价×100%.

本题看是否盈利还是亏损的依据是什么？

依据是看卖出两件衣服盈利与亏损谁大。

现在我们来看卖出盈利25%的这件衣服盈利多少。

设盈利25%的这件衣服进价是x元，可得怎样的方程？

x+0.25x=60     解之，得x=48

所以这件衣服利润是60－48=12元。

再来看亏损25%的这件衣服亏损多少元。

设亏损25%的这件衣服进价是y元，可得怎样的方程？

        y－0.25y=60     解之，得y=80

所以这件衣服的利润是60－80=－20元。

因此，卖这两件衣服亏损了8元。

注意：盈利时利润率通常用正数表示，所以亏损时利润率是负数。

  例2  某种商品零售价每件900元，为了适应市场的竞争，商店按零售价的9折降价并让利40元销售，仍可获利10%，则这种商品进货每件多少元？

分析：问题中的等量关系是什么？

      实际售价－40－进价=利润。

设这种子商品进货每件x元，那么实际售价是多少？利润是多少？

实际售价是900× ，利润是10%x。

由此可得方程为

    x+10%x=900× －40

解之，得

      x=700

所以这种商品进货每件700元。

（五）巩固练习

由学生自主探索解决。

问题1：一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？

问题2：我国股市交易中每天、卖一次各交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为多少？

（六）课堂小结

1.由学生谈谈本节课学到了哪些知识？学后有何感受？

2.商品销售中的基本等量关系有哪些？

          利润=售价-进价

     利润率=  ×100%

     打x折的售价=原售价×

3.恰当地运用商品销售问题中的基本等量关系是解决这类问题的关键

（七）作业设计

课本107－108页习题3.4第2、3、4题

3.4　实际问题与一元一次方程

3.4　实际问题与一元一次方程

教学过程：

（一）创设情境、提出问题

问题1：“甲、乙两人，同时出发，相对而行，距离是 ，甲每小时走 ，乙每小时走 ，问他俩几小时可以碰到？”

你能回答出上述问题吗？

（二）讨论交流，探究问题

① 组织四人小组活动，观察分析，理解题意，弄清路程、速度、时间之间的关系；

② 在小组讨论的基础上，全班相互交流。

教师针对学生讨论的情况，进行点评，引导分析，渗透数学建模的思想。

画出示意图：

引导分析：甲乙相遇时，他们共行的路程为       。

本题有哪些相等关系呢？

从路程角度分析：甲行走的路程+乙行走的路程=     。

从时间角度分析：甲行走的时间=乙行走的时间。

如果设：甲、乙相遇他们的时间为 ，此时相等关系：

甲行走的路程+乙行走的路程=      。

即甲行走的速度×甲行走的      +乙行走的    ×乙行走的时间=        。

则可得方程：

解：设甲乙相遇时行走了 小时，根据题意得：

 ， ， 。

答：他们10小时能相遇。

此时教师再问：如果设甲行走的路程为 ，那么相等关系是什么呢？再让四人小组讨论、交流。

问题2：接上题：一只小狗每小时走 ，它同甲一起出发，碰到乙时它又往甲这边走，碰到甲它又往乙这边走，问小狗在甲、乙相遇时，一共走了多少千米？”

你知道怎样解答的吗？

学生继续分组讨论。由小组派代表发表本组的见解，然后教师点评分析：

① 画出示意图；（略）

② 分析：

小狗走的路程=小狗走的速度×小狗走的时间，现在只需求出小狗走的时间，问题就解决了。

小狗走的时间为多少呢？

显然，小狗往返跑直到甲、乙相遇时才停下来，故小狗跑的时间就是甲、乙相遇前走的时间，问题由此应迎刃而解。

解：（略）

问题3：

如果甲、乙、小狗都从一点出发，同向而行，其速度皆不变，乙和小狗先出发3小时，甲再出发追赶乙，当甲追上乙时，小狗跑了多少米？

学生分组讨论。由小组派代表发表本组的见解，然后教师点评分析：

① 画出示意图；（略）

② 分析：变换情境后，变成了什么问题？问题的等量关系又是什么？

小狗走的路程=小狗走的速度×小狗走的时间，故关键还是求出时间，而这个时间就是甲追上乙的时间，可由下列追及问题中的等量关系求得。

甲行走的速度×甲追上乙行走的时间=乙行走的速度×甲追上乙行走的时间+乙提前行走的速度×乙提前行走的时间。

问题4：

如果甲、乙、小狗从同一点出发，同向而行，而甲先出发5小时，乙才和小狗一起出发，当小狗追上甲时，甲走了多少米？乙还能追上甲吗？为什么？

学生分组讨论，由小组派代表发表本组的见解。之后教师引导分析：

显然，小狗和甲又形成了追及问题，由问题4知，设小狗追赶甲的时间为 ，则可得到： 。

此时小狗行走的路程=甲行走的路程= 千米，乙不能追上甲，原因何在呢？如果乙能追上甲，则肯定有 。

解得 。

显然时间不能为负。

说明：速度较大者追速度较小者，定能追上，而速度较小者追速度较大者，肯定不能追上。

（三）课堂小结

谈谈本节你有何收获？

（四）作业设计

课本108页习题 3.4第6、8题

课后反思：