3.1从算式到方程（通用）教学设计第一课时

地区： 云南省 - 曲靖市 - 会泽县

学校：会泽县驾车乡中学校

3.1　从算式到方程 初中数学       人教2011课标版

1．知识与技能

    会利用等式的两条性质解方程．

    2．过程与方法

    利用天平，通过观察、分析得出等式的两条性质．

    3．情感态度与价值观

    培养学生参与数学活动的自信心、合作交流意识．

本课内容是在学生认识了等式和方程的基础上进行教学的，它是今后学习解多步方程的基础，它是系统学习方程的开始，其核心思想是构建等量关系的数学模型。通过本节课的学习，引导学生探索，思考比较，发现规律，在实验的基础上，掌握等式的两个基本性质，并能利用等式的性质解简单的方程，为今后运用等式的基本性质解较复杂的方程打下基础。

        本节内容主要讲解等式的性质，在掌握等式的性质后，利用等式性质解简单的方程，再进行具体化练习，加深认识。本节分两课时完成，其中第一节课探索等式的性质，并对等式的构建和等式的性质进行具体化练习。

 重点：了解等式的概念和等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程．

  难点：由具体实例抽象出等式的性质．

 教学过程

    一、引入新课

    我们可以估算出某些方程的解，但是仅依靠估算来解比较复杂的方程是很困难的．这一点上一节课我们已经体会到．因此，我们还要讨论怎样解方程．因为，方程是含有未知数的等式，为了讨论解方程，我们先来研究等式有什么性质？

    二、新授

    1．什么是等式？

    用等号来表示相等关系的式子叫等式．

    例如：m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y这样的式子，都是等式，我们可以用a=b表示一般的等式．

    2．探索等式性质．

    观察课本图3．1-2，由它你能发现什么规律？

    从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还保持平衡．

    从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是保持平衡．

    等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质．

    等的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果相等．

    例如等式：1+3=4，把这个等式两边都加上5结果仍是等式即1+3+5=4+5，把等式两边都减去5，结果仍是等式，即1+3-5=4-5．

    怎样用式子的形式表示这个性质？

    如果a=b，那么a±c=b±c．

    运用性质1时，应注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式才能保持所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系，例如，对于等式3+4=7，如果左边加上5，右边加上6，那么3+4+5≠7+6．

    观察课本图3．1-3，由它你能发现什么规律？

    可以发现，如果把平衡的天平两边的量都乘以（或除以）同一个量，天平还保持平衡．

    类似可以得到等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，结果仍相等．

    怎样用式子的形式表示这个性质？

    如果a=b，那么ac=bc．

    如果a=b，（c≠0），那么 = ．

    性质2中仅仅乘以（或除以）同一个数，而不包括整式（含字母的），要注意与性质1的区别．

    运用性质2时，应注意等式两边都乘以（或除以）同一个数，才能保持所得结果仍是等式，但不能除以0，因为0不能作除数．

    例2：利用等式的性质解下列方程：

    （1）x+7=26； （2）-5x=20； （3）- x-5=4．

    分析：解方程，就是把方程变形，变为x=a（a是常数）的形式．

    在方程x+7=26中，要去掉方程左边的7，因此两边都减去7．

    解：（1）根据等式性质1，两边同减7，得：

    x+7-7=26-7

    于是  x=19

    我们可以把x=19代入原方程检验，看看这个值能否使方程的两边相等，将x=19代入方程x+7=26的左边，得左边＝19+7=26=右边，所以x=19是方程x+7=26的解．

    （2）分析：-5x=20中-5x表示-5乘x，其中-5是这个式子-5x的系数，式子x的系数为1，-x的系数为-1，如何把方程-5x=20转化为x=a形式呢？即把-5x的系数变为1，应把方程两边同除以-5．

解：根据等式性质2，两边都除以-5，得

    于是x=-4

    （3）分析：方程- x-5=4的左边的-5要去掉，同时还要把- x的系数化为1，如何去掉-5呢？根据两个互为相反数的和为0，所以应把方程两边都加上5．

    解：根据等式性质1，两边都加上5，得

    - x-5+5=4+5

    化简，得-x=9

    再根据等式性质2，两边同除以- （即乘以-3），得

    - x·（-3）=9×（-3）

    于是 x=-27

    同学们自己代入原方程检验，看看x=-27是否使方程的两边相等．

    3．补充例题：下列方程的解法对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？

    （1）解方程：x+12=34

    解：x+12=34=x+12-12=34-12=x=22

    （2）解方程-9x+3=6

    解： -9x+3-3=6-3

    于是 -9x=3

    所以 x=-3

    （3）解方程 -1=

    解：两边同乘以3，得2x-1=-1

    两边都加上1，得 2x-1+1=-1+1

    化简，得 2x=0

    两边同除以2，得 x=0

    分析：（1）错，解方程是根据等式的两个性质，将方程变形，所以不能用连等号；

    （2）错，最后一步是根据等式的性质2，两边同除以-9，即 ，于是x=- ．

    （3）错，两边同乘以3，应得2x-3=-1

    两边都加3，得 2x=2

    两边同除以2，得 x=1

    本题还可以这样解答：

    两边都加上1，得 -1+1=- +1

    化简，得= =

    两边都除以 （或乘以 ），得x=1

    三、巩固练习

    1．课本第84页练习．

    （1）两边同加上5，得x=11，把x=11代入方程左边=11-5=6=右边，所以x=11是方程的解．

    （2）两边同除以0.3，即乘以 ，得x=150，检验略．

    （3）解法1：两边都减去2，得2- x-2=3-2

    化简，得- x=1

    两边同乘以-4，得x=-4

    解法2：两边都乘以-4，得-8+x=-12

    两边都加上8，得x=-4

    检验：将x=-4代入方程，2- x=3的左边，得：

    2- ×（-4）=2+1=3

    方程的左右两边相等，所以x=-4是方程的解．

    一般采用方法1．

    2．补充练习．

    回答下列问题：

    （1）从a+b=b+c，能否得到a=c，为什么？

    （2）从ab=bc能否得到a=c，为什么？

    （3）从 = ，能否得到a=c，为什么？

    （4）从a-b=c-b，能否得到a=c，为什么？

    （5）从xy=1，能否得到x= ，为什么？

    解：（1）从a+b=b+c，能得到a=c，根据等式性质1，两边同减去b，就得a=c．

    （2）从ab=bc不能得到a=c，因为b是否为0不确定，所以不能根据等式的性质2，在等式的两边同除以b．

    （3）从 = 能得到a=c，根据等式性质2，两边都乘以b．

    （4）从a-b=c-b能得到a=c，根据等式性质1，两边都加b．

    （5）从xy=1能得到x= 由xy=1隐含着y≠0，因此根据等式的性质2，在等式两边都除以y．

    四、课堂小结

    在学习本节内容时，要注意几个问题：

    1．根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即：同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边．

    2．等式变形时，两边加、减、乘、除的数或式必须相同．

    3．利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0．

    五、作业布置

    1．课本第85页习题3．1第4、7、8题．

    2．思考课本第85习题3．1第10、11题．

    3．选用课时作业设计．

3.1　从算式到方程

3.1　从算式到方程

 教学过程

    一、引入新课

    我们可以估算出某些方程的解，但是仅依靠估算来解比较复杂的方程是很困难的．这一点上一节课我们已经体会到．因此，我们还要讨论怎样解方程．因为，方程是含有未知数的等式，为了讨论解方程，我们先来研究等式有什么性质？

    二、新授

    1．什么是等式？

    用等号来表示相等关系的式子叫等式．

    例如：m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y这样的式子，都是等式，我们可以用a=b表示一般的等式．

    2．探索等式性质．

    观察课本图3．1-2，由它你能发现什么规律？

    从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还保持平衡．

    从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是保持平衡．

    等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质．

    等的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果相等．

    例如等式：1+3=4，把这个等式两边都加上5结果仍是等式即1+3+5=4+5，把等式两边都减去5，结果仍是等式，即1+3-5=4-5．

    怎样用式子的形式表示这个性质？

    如果a=b，那么a±c=b±c．

    运用性质1时，应注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式才能保持所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系，例如，对于等式3+4=7，如果左边加上5，右边加上6，那么3+4+5≠7+6．

    观察课本图3．1-3，由它你能发现什么规律？

    可以发现，如果把平衡的天平两边的量都乘以（或除以）同一个量，天平还保持平衡．

    类似可以得到等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，结果仍相等．

    怎样用式子的形式表示这个性质？

    如果a=b，那么ac=bc．

    如果a=b，（c≠0），那么 = ．

    性质2中仅仅乘以（或除以）同一个数，而不包括整式（含字母的），要注意与性质1的区别．

    运用性质2时，应注意等式两边都乘以（或除以）同一个数，才能保持所得结果仍是等式，但不能除以0，因为0不能作除数．

    例2：利用等式的性质解下列方程：

    （1）x+7=26； （2）-5x=20； （3）- x-5=4．

    分析：解方程，就是把方程变形，变为x=a（a是常数）的形式．

    在方程x+7=26中，要去掉方程左边的7，因此两边都减去7．

    解：（1）根据等式性质1，两边同减7，得：

    x+7-7=26-7

    于是  x=19

    我们可以把x=19代入原方程检验，看看这个值能否使方程的两边相等，将x=19代入方程x+7=26的左边，得左边＝19+7=26=右边，所以x=19是方程x+7=26的解．

    （2）分析：-5x=20中-5x表示-5乘x，其中-5是这个式子-5x的系数，式子x的系数为1，-x的系数为-1，如何把方程-5x=20转化为x=a形式呢？即把-5x的系数变为1，应把方程两边同除以-5．

解：根据等式性质2，两边都除以-5，得

    于是x=-4

    （3）分析：方程- x-5=4的左边的-5要去掉，同时还要把- x的系数化为1，如何去掉-5呢？根据两个互为相反数的和为0，所以应把方程两边都加上5．

    解：根据等式性质1，两边都加上5，得

    - x-5+5=4+5

    化简，得-x=9

    再根据等式性质2，两边同除以- （即乘以-3），得

    - x·（-3）=9×（-3）

    于是 x=-27

    同学们自己代入原方程检验，看看x=-27是否使方程的两边相等．

    3．补充例题：下列方程的解法对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？

    （1）解方程：x+12=34

    解：x+12=34=x+12-12=34-12=x=22

    （2）解方程-9x+3=6

    解： -9x+3-3=6-3

    于是 -9x=3

    所以 x=-3

    （3）解方程 -1=

    解：两边同乘以3，得2x-1=-1

    两边都加上1，得 2x-1+1=-1+1

    化简，得 2x=0

    两边同除以2，得 x=0

    分析：（1）错，解方程是根据等式的两个性质，将方程变形，所以不能用连等号；

    （2）错，最后一步是根据等式的性质2，两边同除以-9，即 ，于是x=- ．

    （3）错，两边同乘以3，应得2x-3=-1

    两边都加3，得 2x=2

    两边同除以2，得 x=1

    本题还可以这样解答：

    两边都加上1，得 -1+1=- +1

    化简，得= =

    两边都除以 （或乘以 ），得x=1

    三、巩固练习

    1．课本第84页练习．

    （1）两边同加上5，得x=11，把x=11代入方程左边=11-5=6=右边，所以x=11是方程的解．

    （2）两边同除以0.3，即乘以 ，得x=150，检验略．

    （3）解法1：两边都减去2，得2- x-2=3-2

    化简，得- x=1

    两边同乘以-4，得x=-4

    解法2：两边都乘以-4，得-8+x=-12

    两边都加上8，得x=-4

    检验：将x=-4代入方程，2- x=3的左边，得：

    2- ×（-4）=2+1=3

    方程的左右两边相等，所以x=-4是方程的解．

    一般采用方法1．

    2．补充练习．

    回答下列问题：

    （1）从a+b=b+c，能否得到a=c，为什么？

    （2）从ab=bc能否得到a=c，为什么？

    （3）从 = ，能否得到a=c，为什么？

    （4）从a-b=c-b，能否得到a=c，为什么？

    （5）从xy=1，能否得到x= ，为什么？

    解：（1）从a+b=b+c，能得到a=c，根据等式性质1，两边同减去b，就得a=c．

    （2）从ab=bc不能得到a=c，因为b是否为0不确定，所以不能根据等式的性质2，在等式的两边同除以b．

    （3）从 = 能得到a=c，根据等式性质2，两边都乘以b．

    （4）从a-b=c-b能得到a=c，根据等式性质1，两边都加b．

    （5）从xy=1能得到x= 由xy=1隐含着y≠0，因此根据等式的性质2，在等式两边都除以y．

    四、课堂小结

    在学习本节内容时，要注意几个问题：

    1．根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即：同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边．

    2．等式变形时，两边加、减、乘、除的数或式必须相同．

    3．利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0．

    五、作业布置

    1．课本第85页习题3．1第4、7、8题．

    2．思考课本第85习题3．1第10、11题．

    3．选用课时作业设计．