| 庄金清 地区： 福建省 - 福州市 - 福清市 学校：福清市龙田初级中学 共1课时22.1 二次函数的图象和性… 初中数学 人教2011课标版 1新设计教师 庄金清 课题 二次函数 教学设计教师 庄金清 课题 二次函数 教学设计 2015.3.23 课型 复习课 教法 讲练结合 教学目标（知识、能力、教育） 1.理解二次函数的概念;掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律； 2.会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3.会用待定系数法求二次函数的解析式； 4. 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值 教学重点 二次函数的概念、图像和性质；二次函数解析式的确定。 教学难点 二次函数的图像与系数的关系以及抛物线的平移规律； 教学媒体 学案 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1．二次函数的定义：形如 （ ）的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质： （1）二次函数 的图象是一条 ．顶点为 ，对称轴 ；当a＞0时，抛物线开口向 ，图象有 ，且 ＞ ，y随x的增大而 ， ＜ ，y随x的增大而 ；当a＜0时，抛物线开口向 ，图象有 ，且 ＞ ，y随x的增大而 ， ＜ ，y随x的增大而 ． （3）当a＞0时，当x= 时，函数 为 ；当a＜0时，当x= 时，函数 为 3. 二次函数表达式的求法： （1）若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数 法求得 ； （2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式： 其中顶点为(h，k)对称轴为直线x=h； （3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式： ,其中与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0） （二）：【课前练习】 1. 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A. ；B. ；C. ； D. 2. 函数 的图象是(3，2）为顶点的抛物线，则这个函数的解析式是（ ） A. ；B. ；C. ；D. 3. 二次函数y=1－6x－3x2 的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A．顶点（1，4）， 对称轴 x=1；B．顶点（－1，4），对称轴x=－1 C．顶点（1，4）， 对称轴x=4；D．顶点（－1，4），对称轴x=4 4.把二次函数 化成 的形式为 ，图象的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；当 时 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大 而增大；当 = 时 函数有 值，其 值是 ；若将该函数经过 的平移可以得到函数 的图象。 5. 直线 与抛物线 的交点坐标为 。 二：【经典考题剖析】 1.下列函数中，哪些是二次函数？
2. 已知抛物线 过三点（－1，－1）、（0，－2）、（1，l）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？ 3. 当 x=4时，函数 的最小值为－8，抛物线过点（6，0）．求： （1）函数的表达式； （2）顶点坐标和对称轴； （3）画出函数图象 （4）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小． 4.已知二次函数 的图象如图所示，试判断 的符号 5. 已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n为常数). (1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD的周长； ②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这 个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由. 解：(1)由已知条件，得n2-1=0解这个方程，得n1=1, n2=-1 当n=1时，得y=x2+x, 此抛物线的顶点不在第四象限.当n=-1时，得y=x2-3x, 此抛物线的顶点在第四象限.∴所求的函数关系为y=x2-3x. (2)由y=x2-3x，令y=0, 得x2-3x=0，解得x1=0,x2=3 ∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)∴它的顶点为( , ), 对称轴为直线x= , 其大致位置如图所示， ①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB= ×(3-1)=1.∴B(1,0)∴点A的横坐标x=1, 又点A在抛物线y=x2-3x上，∴点A的纵坐标y=12-3×1=-2. ∴AB=|y|=|-2|=2.∴矩形ABCD的周长为 ：2(AB+BC)=2×(2+1)=6. ②∵点A在抛物线y=x2-3x上，故可设A点的坐标为(x,x2-3x),∴B点的坐标为(x,0). (0＜x＜ ), ∴BC=3-2x, A在x轴下方，∴x2-3x＜0， ∴AB=|x2-3x|=3x-x2 ∴矩形ABCD的周长P=2=-2(x- )2+ ∵a=-2＜0,∴当x= 时，矩形ABCD的周长P最大值为 . 此时点A的坐标为A( , ). 三：【课后训练】 1. 把抛物线y=－（x－2）2－1经平移得到（ ） A．向右平移2个单位， 向上平移1个单位；B．向右平移2个单位，向下平移1个单位 C．向左平移2个单位，向上平移1个单位；D．向左平移2个单位，向下平移1个单位 2. 某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ） A．y=x2+a； B．y = a（x－1）2； C．y=a（1－x）2； D．y＝a（l+x）2 3. 设直线 y=2x—3，抛物线 y=x2－2x，点P（1，－1），那么点P（1，－1）（ ） A．在直线上，但不在抛物线上； B．在抛物线上，但不在直线上 C．既在直线上，又在抛物线上； D．既不在直线上，又不在抛物线上 4. 二次函数 y=2（x－3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B．开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标为（3，5） C．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5) D．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5） 5.已知 y＝（a－3）x2+2x－l是二次函数；当a______时，它的图象是开口向上的抛物线，抛物线与y轴的交点坐标 ． 6.抛物线 如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是 7.已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点（－l，－1），（－4，0）两点． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？ 8.已知抛物线与 x轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)， （1）求抛物线的解析式．（2）顶点坐标和对称轴；（3）画出函数图象 （4） x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小． 9.已知函数 （1）用配 方法将解析式化成顶点式。 （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小 （4）求出函数图象与坐标轴的交点坐标 10.阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同， 抛物线的顶点坐标也将发生变化． 例如：由抛物线 ①，有y= ②，所以抛物线的顶点坐标为（m，2m－1），即 当m的值变化时，x、y的值随之变化，因而y值也随x值的变化而变化，将③代人④，得y=2x—1⑤．可 见，不论m取任何实数，抛物线顶 点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x－1，回答问题：（1）在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线 顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式 . 四：【课后小结】 布置作业 优化设计P29 5.6.7 教后记 2教学目标 1.理解二次函数的概念;掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律； 2.会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3.会用待定系数法求二次函数的解析式； 4. 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值 3学情分析利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值 4重点难点重点：二次函数的概念、图像和性质；二次函数解析式的确定。 难点：二次函数的图像与系数的关系以及抛物线的平移规律； 5教学过程 5.1第一学时 教学活动 活动1【导入】二次函数（1）【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1．二次函数的定义：形如 （ ）的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质： （1）二次函数 的图象是一条 ．顶点为 ，对称轴 ；当a＞0时，抛物线开口向 ，图象有 ，且 ＞ ，y随x的增大而 ， ＜ ，y随x的增大而 ；当a＜0时，抛物线开口向 ，图象有 ，且 ＞ ，y随x的增大而 ， ＜ ，y随x的增大而 ． （3）当a＞0时，当x= 时，函数 为 ；当a＜0时，当x= 时，函数 为 3. 二次函数表达式的求法： （1）若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数 法求得 ； （2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式： 其中顶点为(h，k)对称轴为直线x=h； （3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式： ,其中与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0） 活动2【讲授】二次函数5. 已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n为常数). (1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD的周长； ②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这 个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由. 解：(1)由已知条件，得n2-1=0解这个方程，得n1=1, n2=-1 当n=1时，得y=x2+x, 此抛物线的顶点不在第四象限.当n=-1时，得y=x2-3x, 此抛物线的顶点在第四象限.∴所求的函数关系为y=x2-3x. (2)由y=x2-3x，令y=0, 得x2-3x=0，解得x1=0,x2=3 ∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)∴它的顶点为( , ), 对称轴为直线x= , 其大致位置如图所示， ①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB= ×(3-1)=1.∴B(1,0)∴点A的横坐标x=1, 又点A在抛物线y=x2-3x上，∴点A的纵坐标y=12-3×1=-2. ∴AB=|y|=|-2|=2.∴矩形ABCD的周长为 ：2(AB+BC)=2×(2+1)=6. ②∵点A在抛物线y=x2-3x上，故可设A点的坐标为(x,x2-3x),∴B点的坐标为(x,0). (0＜x＜ ), ∴BC=3-2x, A在x轴下方，∴x2-3x＜0， ∴AB=|x2-3x|=3x-x2 ∴矩形ABCD的周长P=2=-2(x- )2+ ∵a=-2＜0,∴当x= 时，矩形ABCD的周长P最大值为 . 此时点A的坐标为A( , ). 活动3【活动】二次函数1. 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A. ；B. ；C. ； D. 2. 函数 的图象是(3，2）为顶点的抛物线，则这个函数的解析式是（ ） A. ；B. ；C. ；D. 3. 二次函数y=1－6x－3x2 的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A．顶点（1，4）， 对称轴 x=1；B．顶点（－1，4），对称轴x=－1 C．顶点（1，4）， 对称轴x=4；D．顶点（－1，4），对称轴x=4 4.把二次函数 化成 的形式为 ，图象的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；当 时 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大 而增大；当 = 时 函数有 值，其 值是 ；若将该函数经过 的平移可以得到函数 的图象。 5. 直线 与抛物线 的交点坐标为 。 活动4【练习】二次函数1. 把抛物线y=－（x－2）2－1经平移得到（ ） A．向右平移2个单位， 向上平移1个单位；B．向右平移2个单位，向下平移1个单位 C．向左平移2个单位，向上平移1个单位；D．向左平移2个单位，向下平移1个单位 2. 某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ） A．y=x2+a； B．y = a（x－1）2； C．y=a（1－x）2； D．y＝a（l+x）2 3. 设直线 y=2x—3，抛物线 y=x2－2x，点P（1，－1），那么点P（1，－1）（ ） A．在直线上，但不在抛物线上； B．在抛物线上，但不在直线上 C．既在直线上，又在抛物线上； D．既不在直线上，又不在抛物线上 4. 二次函数 y=2（x－3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B．开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标为（3，5） C．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5) D．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5） 5.已知 y＝（a－3）x2+2x－l是二次函数；当a______时，它的图象是开口向上的抛物线，抛物线与y轴的交点坐标 ． 6.抛物线 如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是 7.已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点（－l，－1），（－4，0）两点． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 8.已知抛物线与 x轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)， （1）求抛物线的解析式．（2）顶点坐标和对称轴；（3）画出函数图象 （4） x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小． 9.已知函数 （1）用配 方法将解析式化成顶点式。 （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小 （4）求出函数图象与坐标轴的交点坐标 活动5【测试】二次函数.阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同， 抛物线的顶点坐标也将发生变化． 例如：由抛物线 ①，有y= ②，所以抛物线的顶点坐标为（m，2m－1），即 当m的值变化时，x、y的值随之变化，因而y值也随x值的变化而变化，将③代人④，得y=2x—1⑤．可 见，不论m取任何实数，抛物线顶 点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x－1，回答问题：（1）在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线 顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式 . 活动6【作业】二次函数优化设计P29 5.6.7 22.1 二次函数的图象和性质 课时设计 课堂实录22.1 二次函数的图象和性质 1第一学时 教学活动 活动1【导入】二次函数（1）【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1．二次函数的定义：形如 （ ）的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质： （1）二次函数 的图象是一条 ．顶点为 ，对称轴 ；当a＞0时，抛物线开口向 ，图象有 ，且 ＞ ，y随x的增大而 ， ＜ ，y随x的增大而 ；当a＜0时，抛物线开口向 ，图象有 ，且 ＞ ，y随x的增大而 ， ＜ ，y随x的增大而 ． （3）当a＞0时，当x= 时，函数 为 ；当a＜0时，当x= 时，函数 为 3. 二次函数表达式的求法： （1）若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数 法求得 ； （2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式： 其中顶点为(h，k)对称轴为直线x=h； （3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式： ,其中与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0） 活动2【讲授】二次函数5. 已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n为常数). (1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD的周长； ②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这 个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由. 解：(1)由已知条件，得n2-1=0解这个方程，得n1=1, n2=-1 当n=1时，得y=x2+x, 此抛物线的顶点不在第四象限.当n=-1时，得y=x2-3x, 此抛物线的顶点在第四象限.∴所求的函数关系为y=x2-3x. (2)由y=x2-3x，令y=0, 得x2-3x=0，解得x1=0,x2=3 ∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)∴它的顶点为( , ), 对称轴为直线x= , 其大致位置如图所示， ①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB= ×(3-1)=1.∴B(1,0)∴点A的横坐标x=1, 又点A在抛物线y=x2-3x上，∴点A的纵坐标y=12-3×1=-2. ∴AB=|y|=|-2|=2.∴矩形ABCD的周长为 ：2(AB+BC)=2×(2+1)=6. ②∵点A在抛物线y=x2-3x上，故可设A点的坐标为(x,x2-3x),∴B点的坐标为(x,0). (0＜x＜ ), ∴BC=3-2x, A在x轴下方，∴x2-3x＜0， ∴AB=|x2-3x|=3x-x2 ∴矩形ABCD的周长P=2=-2(x- )2+ ∵a=-2＜0,∴当x= 时，矩形ABCD的周长P最大值为 . 此时点A的坐标为A( , ). 活动3【活动】二次函数1. 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A. ；B. ；C. ； D. 2. 函数 的图象是(3，2）为顶点的抛物线，则这个函数的解析式是（ ） A. ；B. ；C. ；D. 3. 二次函数y=1－6x－3x2 的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A．顶点（1，4）， 对称轴 x=1；B．顶点（－1，4），对称轴x=－1 C．顶点（1，4）， 对称轴x=4；D．顶点（－1，4），对称轴x=4 4.把二次函数 化成 的形式为 ，图象的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；当 时 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大 而增大；当 = 时 函数有 值，其 值是 ；若将该函数经过 的平移可以得到函数 的图象。 5. 直线 与抛物线 的交点坐标为 。 活动4【练习】二次函数1. 把抛物线y=－（x－2）2－1经平移得到（ ） A．向右平移2个单位， 向上平移1个单位；B．向右平移2个单位，向下平移1个单位 C．向左平移2个单位，向上平移1个单位；D．向左平移2个单位，向下平移1个单位 2. 某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ） A．y=x2+a； B．y = a（x－1）2； C．y=a（1－x）2； D．y＝a（l+x）2 3. 设直线 y=2x—3，抛物线 y=x2－2x，点P（1，－1），那么点P（1，－1）（ ） A．在直线上，但不在抛物线上； B．在抛物线上，但不在直线上 C．既在直线上，又在抛物线上； D．既不在直线上，又不在抛物线上 4. 二次函数 y=2（x－3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B．开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标为（3，5） C．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5) D．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5） 5.已知 y＝（a－3）x2+2x－l是二次函数；当a______时，它的图象是开口向上的抛物线，抛物线与y轴的交点坐标 ． 6.抛物线 如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是 7.已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点（－l，－1），（－4，0）两点． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 8.已知抛物线与 x轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)， （1）求抛物线的解析式．（2）顶点坐标和对称轴；（3）画出函数图象 （4） x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小． 9.已知函数 （1）用配 方法将解析式化成顶点式。 （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小 （4）求出函数图象与坐标轴的交点坐标 活动5【测试】二次函数.阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同， 抛物线的顶点坐标也将发生变化． 例如：由抛物线 ①，有y= ②，所以抛物线的顶点坐标为（m，2m－1），即 当m的值变化时，x、y的值随之变化，因而y值也随x值的变化而变化，将③代人④，得y=2x—1⑤．可 见，不论m取任何实数，抛物线顶 点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x－1，回答问题：（1）在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线 顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式 . 活动6【作业】二次函数优化设计P29 5.6.7 Tags：22.1,二次,函数,图象,性质  |
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