| 陈强 地区： 四川省 - 自贡市 - 沿滩区 学校：四川省自贡市沿滩区沿滩中学校 共1课时信息技术应用 探索二次函… 初中数学 人教2011课标版 1教学目标二次函数的复习 二次函数的系数符号问题 1．（10广东深圳）如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）． (1）求抛物线的解析式； (2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标； (3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标． 答案：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程 ∴ 解之得： ；故 为所求 (2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点 设BD的解析式为 ，则有 ， ， 故BD的解析式为 ；令 则 ，故 (3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2， 易知BN=MN=1， 易求 ；设 ， 依题意有： ，即： 解之得： ， ，故 符合条件的P点有三个： 2 ． (10北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= - x2+ x+m2-3m+2 与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。 (1) 求点B的坐标； (2) 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的 垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。 以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动 时，C点、D点也随之运动) j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求 OP的长； k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止 运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。 答案：解：(1) ∵拋物线y= - x2+ x+m2-3m+2经过原点， ∴m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2， 由题意知m¹1，∴m=2， ∴拋物线的解析式为y= - x2+ x， ∵点B(2，n)在拋物线 y= - x2+ x上， ∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。 (2) j 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为 y=2x， ∵A点是拋物线与x轴的一个交点， 可求得A点的坐标为(10，0)， 设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为(a，2a)， 根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。 可求得点C的坐标为(3a，2a)， 由C点在拋物线上，得2a= - ´(3a)2+ ´3a， 即 a2- a=0，解得a1= ，a2=0 (舍去)， ∴OP= 。 k 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b， 由点A(10，0)，点B(2，4)， 求得直线AB的解析式为y= - x+5， 当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上， 有以下三种情况： 第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。 此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。 ∴PQ=DP=4t，∴t+4t+2t=10，∴t= 。 第二种情况：PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。 此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10-2t， ∵F点在直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，∴t+2t+2t=10，∴t=2。 第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示。 此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。 ∴t+2t=10，∴t= 。 综上，符合题意的 t值分别为 ，2， 。 3．（10贵州遵义）如图，已知抛物线 的顶点坐 标为Q ，且与 轴交于点C ，与 轴交于A、B两 点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥ 轴， 交AC于点D． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标； (3)在问题(2)的结论下，若点E在 轴上，点F在抛物线上， 问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在， 求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解：（1） ∵抛物线的顶点为Q（2，-1） ∴设 将C（0，3）代入上式，得 ∴ ， 即 (2）分两种情况： ①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图) 令 =0, 得 解之得 , ∵点A在点B的右边, ∴B(1,0), A(3,0) ∴P1(1,0) ②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图) ∵OA=OC, ∠AOC= , ∴∠OAD2= 当∠D2AP2= 时, ∠OAP2= , ∴AO平分∠D2AP2 又∵P2D2∥ 轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于 轴对称. 设直线AC的函数关系式为 将A(3,0), C(0,3)代入上式得 , ∴ ∴ ∵D2在 上, P2在 上, ∴设D2( , ), P2( , ) ∴( )+( )=0 , ∴ , (舍) ∴当 =2时, = =-1 ∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点) ∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1) (3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形 当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时, 平移直线AP(如图)交 轴于点E,交抛物线于点F. 当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形 ∵P(2,-1), ∴可令F( ,1) ∴ 解之得: , ∴F点有两点,即F1( ,1), F2( ,1) 4．（10湖北黄冈）已知抛物线 顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线 作垂线，垂足为M，连FM（如图）. (1）求字母a，b，c的值； (2）在直线x＝1上有一点 ，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形； (3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由. 答案：（1）a＝－1，b＝2，c＝0 (2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为 ，横坐标为 .此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形. (3）不存在.因为当t＜ ，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞ ，x＞1时，PM与PN不可能相等. 5．（10辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）． (1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； (2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； (3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； (4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由． 答案：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． ∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称， ∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） (写错一个点的坐标扣1分） (2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为 ， ∵抛物线过点A（0，4）， ∴ ．则抛物线关系式为 ． 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
解得 所求抛物线关系式为： ． (3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． ∴ OA（AB+OC） AF·AG OE·OF CE·OA
( 0＜ ＜4） ∵ ． ∴当 时，S的取最小值． 又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． (4）当 时，GB=GF，当 时，BE=BG． 6．已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点． (1）求这个函数关系式； (2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标； (3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由． 答案：解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点……… 当a≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点． ∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=x2+x+1…… (2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C． ∵是二次函数，由（1）知该函数关系式为： y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点 坐标为A（0，1）∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ∴ ，故PC=2BC，设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2 ∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x) ∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1解之得：x1=-2，x2=-10 ∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)(3）点M不在抛物线上由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ ∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE ∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB ∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE= ∴Q点的坐标为(-，) 可求得M点的坐标为(，) ∵=≠ ∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上 7．（10重庆潼南）如图, 已知抛物线 与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式； (2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标； (3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由. 答案：解：（1）∵二次函数 的图像经过点A（2，0）C(0,－1) ∴ 解得： b=－ c=－1 ∴二次函数的解析式为 (2）设点D的坐标为（m，0） (0＜m＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得， ∴ ∴DE= ∴△CDE的面积= × ×m = = 当m=1时，△CDE的面积最大 ∴点D的坐标为（1，0） (3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 设y=0则 解得：x1=2 x2=－1 ∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1） 设直线BC的解析式为：y=kx＋b ∴ 解得：k=-1 b=-1 ∴直线BC的解析式为: y=－x－1 在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC= ∵点B(－1,0) 点C（0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450 ①当以点C为顶点且PC=AC= 时， 设P(k, －k－1) 过点P作PH⊥y轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2= 解得k1= ， k2=－ ∴P1（ ，－ ） P2（－ ， ） ②以A为顶点，即AC=AP= 设P(k, －k－1) 过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣ 在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2 (2－k)2+(－k－1)2=5 解得：k1=1,k2=0(舍) ∴P3(1, －2) ③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1) 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ∴L(k,0) ∴△QPC为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA= k ∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜ 在Rt△PLA中 ( k)2=(k－2)2＋(k＋1)2 解得：k= ∴P4( ,－ ) 综上所述： 存在四个点：P1（ ，－ ） P2（- ， ） P3(1, －2) P4( ,－ ) 8 ． (10山东临沂）如图，二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(- ，0)、 B(2，0)两点，且与y轴交于点C； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状； (2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。 答案：[解] (1) 根据题意，将A(- ，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得 ，解这个 方程，得a= ，b=1，∴该拋物线的解析式为y= -x2+ x+1，当 x=0时，y=1， ∴点C的坐标为(0，1)。∴在△AOC中，AC= = = 。 在△BOC中，BC= = = 。 AB=OA+OB= +2= ，∵AC 2+BC 2= +5= =AB 2，∴△ABC是直角三角形。 (2) 点D的坐标为( ，1)。 (3) 存在。由(1)知，AC^BC。 j 若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线 BC的解析式为y= - x+1，直线AP可以看作是由直线 BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= - x+b， 把点A(- ，0)代入直线AP的解析式，求得b= - ， ∴直线AP的解析式为y= - x- 。∵点P既在拋物线上，又在直线AP上， ∴点P的纵坐标相等，即-x2+ x+1= - x- ，解得x1= ， x2= - (舍去)。当x= 时，y= - ，∴点P( ，- )。 k 若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示。 可求得直线AC的解析式为y=2x+1。 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的， 所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B(2，0)代 入直线BP的解析式，求得b= -4， ∴直线BP的解析式为y=2x-4。∵点P既在拋物线 上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等， 即-x2+ x+1=2x-4，解得x1= - ，x2=2(舍去)。 当x= - 时，y= -9，∴点P的坐标为(- ，-9)。 综上所述，满足题目条件的点P为( ，- )或(- ，-9)。 9．（10山东潍坊）如图所示，抛物线与 轴交于点 两点，与 轴交于点 以 为直径作 过抛物线上一点 作 的切线 切点为 并与 的切线 相交于点 连结 并延长交 于点 连结 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形 的面积为 求直线 的函数关系式； (3）抛物线上是否存在点 ，使得四边形 的面积等于 的面积？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由. 答案：解：（1）因为抛物线与 轴交于点 两点，设抛物线的函数关系式为： ∵抛物线与 轴交于点 ∴ ∴ 所以，抛物线的函数关系式为： 又 因此，抛物线的顶点坐标为 (2）连结 ∵ 是 的两条切线， ∴ ∴ 又四边形 的面积为 ∴ ∴ 又 ∴ 因此，点 的坐标为 或 当 点在第二象限时，切点 在第一象限. 在直角三角形 中， ∴ ∴ 过切点 作 垂足为点 ∴ 因此，切点 的坐标为 设直线 的函数关系式为 将 的坐标代入得 解之，得 所以，直线 的函数关系式为 当 点在第三象限时，切点 在第四象限. 同理可求：切点 的坐标为 直线 的函数关系式为 因此，直线 的函数关系式为 或 (3）若四边形 的面积等于 的面积 又 ∴ ∴ 两点到 轴的距离相等， ∵ 与 相切，∴点 与点 在 轴同侧， ∴切线 与 轴平行， 此时切线 的函数关系式为 或 当 时，由 得， 当 时，由 得， 故满足条件的点 的位置有4个，分别是
说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数. 10．(10山东省淄博)已知直角坐标系中有一点A（－4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形． (1）求满足条件的所有点B的坐标； (2）求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）； (3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积． 【答案】解：作AC⊥x轴，由已知得OC＝4，AC＝3，OA＝ ＝5． (1）当OA＝OB＝5时， 如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（－5，0）． 如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）． 当OA＝AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BC＝OC，则OB＝8，点B的坐标为（－8，0）． 当AB＝OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），在x轴上取点D，使AD＝OA，可知OD＝8．由∠AOB＝∠OAB＝∠ODA，可知△AOB∽△ODA，则 ，解得OB＝ ，点B的坐标为（－ ，0）． (2）当AB＝OA时，抛物线过O（0，0），A（－4，3），B（－8，0）三点，设抛物线的函数表达式为 ，可得方程组 ，解得a＝ ， ， ． (当OA＝OB时，同理得 ． (3）当OA＝AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴，则∠AOC＝∠PBE，∠ACO＝∠PEB＝90°，△AOC∽△PBE， ．设BE＝4m，PE＝3m，则点P的坐标为（4m－8，－3m），代入 ，解得m＝3． 则点P的坐标为（4，－9）， S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝48． 若OP∥AB（图略），根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（－12，－9）， S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝48． (当OA＝OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴，则∠AOC＝∠PBF，∠ACO＝∠PFB＝90°，△AOC∽△PBF， ．设BF＝4m，PF＝3m，则点P的坐标为（4m－5，－3m），代入 ，解得m＝ ． 则点P的坐标为（1，－ ）， S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝ ． 若OP∥AB（图略），作PF⊥x轴，则∠ABC＝∠POF，∠ACB＝∠PFO＝90°，△ABC∽△POF， ．设点P的坐标为（－n，－3n），代入 ，解得n＝9．则点P的坐标为（－9，－27），S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝75． 11． (10广西河池） 如图11，在直角梯形 中， ∥ ， ，点 为坐标原点，点 在 轴的正半轴上，对角线 ， 相交于点 ， ， ． (1）线段 的长为 ，点 的坐标为 ； (2）求△ 的面积； (3）求过 ， ， 三点的抛物线的解析式； (4）若点 在（3）的抛物线的对称轴上，点 为该 抛物线上的点，且以 ， ， ， 四点为顶点的四边形 为平行四边形，求点 的坐标． 答案：解：（1）4 ； . (2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4， ∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM 又 ∵ OA=2BC ∴ AM＝2CM ，CM＝ AC 所以 (注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.） (3）设抛物线的解析式为 由抛物线的图象经过点 , , .所以
解这个方程组，得 ， ， 所以抛物线的解析式为 (4）∵ 抛物线 的对称轴是CD， ① 当点E在 轴的下方时，CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，点F的坐标即为点 ； ② 当点E在 轴的下方，点F在对称轴 的右侧，存在平行四边形 ， ∥ ，且 ，此时点F的横坐标为6，将 代入 ，可得 .所以 . 同理，点F在对称轴 的左侧，存在平行四边形 ， ∥ ，且 ，此时点F的横坐标为 ，将 代入 ，可得 .所以 . 综上所述，点F的坐标为 ， . 12．（10广西桂林）如图，过A（8，0）、B（0， [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ）两点的直线与直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 交于点C．平行于 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 轴的直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 轴向右平移，到C点时停止； [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 的运动时间为t（ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 秒）． (1）直接写出C点坐标和t的取值范围； (2）求S与t的函数关系式； (3）设直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 与 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：解（1）C（4， [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 的取值范围是：0≤ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ≤4 (2）∵D点的坐标是（ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ， [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ），E的坐标是（ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ， [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ） ∴DE= [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] - [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ∴等边△DEF的DE边上的高为： [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ∴当点F在BO边上时： [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ，∴ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] =3 ① 当0≤ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] <3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为： [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] - [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] S= [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ② 当3≤ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ≤4时，重叠部分为等边三角形 S= [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] (3）存在，P（ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ，0） 说 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 明：∵FO≥ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ，FP≥ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ，OP≤4 ∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP, 若FO=FP时， [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] =2（12-3 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ）， [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ，∴P（ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ，0） 信息技术应用 探索二次函数的性质 课时设计 课堂实录信息技术应用 探索二次函数的性质 1第一学时 教学活动 活动1【讲授】二次函数的复习1．（10广东深圳）如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）． (1）求抛物线的解析式； (2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标； (3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标． 答案：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程 ∴ 解之得： ；故 为所求 (2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点 设BD的解析式为 ，则有 ， ， 故BD的解析式为 ；令 则 ，故 (3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2， 易知BN=MN=1， 易求 ；设 ， 依题意有： ，即： 解之得： ， ，故 符合条件的P点有三个： 2 ． (10北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= - x2+ x+m2-3m+2 与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。 (1) 求点B的坐标； (2) 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的 垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。 以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动 时，C点、D点也随之运动) j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求 OP的长； k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止 运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。 答案：解：(1) ∵拋物线y= - x2+ x+m2-3m+2经过原点， ∴m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2， 由题意知m¹1，∴m=2， ∴拋物线的解析式为y= - x2+ x， ∵点B(2，n)在拋物线 y= - x2+ x上， ∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。 (2) j 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为 y=2x， ∵A点是拋物线与x轴的一个交点， 可求得A点的坐标为(10，0)， 设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为(a，2a)， 根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。 可求得点C的坐标为(3a，2a)， 由C点在拋物线上，得2a= - ´(3a)2+ ´3a， 即 a2- a=0，解得a1= ，a2=0 (舍去)， ∴OP= 。 k 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b， 由点A(10，0)，点B(2，4)， 求得直线AB的解析式为y= - x+5， 当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上， 有以下三种情况： 第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。 此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。 ∴PQ=DP=4t，∴t+4t+2t=10，∴t= 。 第二种情况：PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。 此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10-2t， ∵F点在直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，∴t+2t+2t=10，∴t=2。 第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示。 此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。 ∴t+2t=10，∴t= 。 综上，符合题意的 t值分别为 ，2， 。 3．（10贵州遵义）如图，已知抛物线 的顶点坐 标为Q ，且与 轴交于点C ，与 轴交于A、B两 点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥ 轴， 交AC于点D． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标； (3)在问题(2)的结论下，若点E在 轴上，点F在抛物线上， 问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在， 求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解：（1） ∵抛物线的顶点为Q（2，-1） ∴设 将C（0，3）代入上式，得 ∴ ， 即 (2）分两种情况： ①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图) 令 =0, 得 解之得 , ∵点A在点B的右边, ∴B(1,0), A(3,0) ∴P1(1,0) ②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图) ∵OA=OC, ∠AOC= , ∴∠OAD2= 当∠D2AP2= 时, ∠OAP2= , ∴AO平分∠D2AP2 又∵P2D2∥ 轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于 轴对称. 设直线AC的函数关系式为 将A(3,0), C(0,3)代入上式得 , ∴ ∴ ∵D2在 上, P2在 上, ∴设D2( , ), P2( , ) ∴( )+( )=0 , ∴ , (舍) ∴当 =2时, = =-1 ∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点) ∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1) (3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形 当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时, 平移直线AP(如图)交 轴于点E,交抛物线于点F. 当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形 ∵P(2,-1), ∴可令F( ,1) ∴ 解之得: , ∴F点有两点,即F1( ,1), F2( ,1) 4．（10湖北黄冈）已知抛物线 顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线 作垂线，垂足为M，连FM（如图）. (1）求字母a，b，c的值； (2）在直线x＝1上有一点 ，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形； (3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由. 答案：（1）a＝－1，b＝2，c＝0 (2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为 ，横坐标为 .此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形. (3）不存在.因为当t＜ ，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞ ，x＞1时，PM与PN不可能相等. 5．（10辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）． (1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； (2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； (3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； (4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由． 答案：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． ∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称， ∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） (写错一个点的坐标扣1分） (2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为 ， ∵抛物线过点A（0，4）， ∴ ．则抛物线关系式为 ． 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
解得 所求抛物线关系式为： ． (3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． ∴ OA（AB+OC） AF·AG OE·OF CE·OA
( 0＜ ＜4） ∵ ． ∴当 时，S的取最小值． 又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． (4）当 时，GB=GF，当 时，BE=BG． 6．已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点． (1）求这个函数关系式； (2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标； (3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由． 答案：解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点……… 当a≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点． ∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=x2+x+1…… (2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C． ∵是二次函数，由（1）知该函数关系式为： y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点 坐标为A（0，1）∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ∴ ，故PC=2BC，设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2 ∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x) ∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1解之得：x1=-2，x2=-10 ∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)(3）点M不在抛物线上由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ ∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE ∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB ∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE= ∴Q点的坐标为(-，) 可求得M点的坐标为(，) ∵=≠ ∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上 7．（10重庆潼南）如图, 已知抛物线 与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式； (2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标； (3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由. 答案：解：（1）∵二次函数 的图像经过点A（2，0）C(0,－1) ∴ 解得： b=－ c=－1 ∴二次函数的解析式为 (2）设点D的坐标为（m，0） (0＜m＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得， ∴ ∴DE= ∴△CDE的面积= × ×m = = 当m=1时，△CDE的面积最大 ∴点D的坐标为（1，0） (3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 设y=0则 解得：x1=2 x2=－1 ∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1） 设直线BC的解析式为：y=kx＋b ∴ 解得：k=-1 b=-1 ∴直线BC的解析式为: y=－x－1 在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC= ∵点B(－1,0) 点C（0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450 ①当以点C为顶点且PC=AC= 时， 设P(k, －k－1) 过点P作PH⊥y轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2= 解得k1= ， k2=－ ∴P1（ ，－ ） P2（－ ， ） ②以A为顶点，即AC=AP= 设P(k, －k－1) 过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣ 在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2 (2－k)2+(－k－1)2=5 解得：k1=1,k2=0(舍) ∴P3(1, －2) ③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1) 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ∴L(k,0) ∴△QPC为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA= k ∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜ 在Rt△PLA中 ( k)2=(k－2)2＋(k＋1)2 解得：k= ∴P4( ,－ ) 综上所述： 存在四个点：P1（ ，－ ） P2（- ， ） P3(1, －2) P4( ,－ ) 8 ． (10山东临沂）如图，二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(- ，0)、 B(2，0)两点，且与y轴交于点C； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状； (2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。 答案：[解] (1) 根据题意，将A(- ，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得 ，解这个 方程，得a= ，b=1，∴该拋物线的解析式为y= -x2+ x+1，当 x=0时，y=1， ∴点C的坐标为(0，1)。∴在△AOC中，AC= = = 。 在△BOC中，BC= = = 。 AB=OA+OB= +2= ，∵AC 2+BC 2= +5= =AB 2，∴△ABC是直角三角形。 (2) 点D的坐标为( ，1)。 (3) 存在。由(1)知，AC^BC。 j 若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线 BC的解析式为y= - x+1，直线AP可以看作是由直线 BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= - x+b， 把点A(- ，0)代入直线AP的解析式，求得b= - ， ∴直线AP的解析式为y= - x- 。∵点P既在拋物线上，又在直线AP上， ∴点P的纵坐标相等，即-x2+ x+1= - x- ，解得x1= ， x2= - (舍去)。当x= 时，y= - ，∴点P( ，- )。 k 若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示。 可求得直线AC的解析式为y=2x+1。 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的， 所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B(2，0)代 入直线BP的解析式，求得b= -4， ∴直线BP的解析式为y=2x-4。∵点P既在拋物线 上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等， 即-x2+ x+1=2x-4，解得x1= - ，x2=2(舍去)。 当x= - 时，y= -9，∴点P的坐标为(- ，-9)。 综上所述，满足题目条件的点P为( ，- )或(- ，-9)。 9．（10山东潍坊）如图所示，抛物线与 轴交于点 两点，与 轴交于点 以 为直径作 过抛物线上一点 作 的切线 切点为 并与 的切线 相交于点 连结 并延长交 于点 连结 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形 的面积为 求直线 的函数关系式； (3）抛物线上是否存在点 ，使得四边形 的面积等于 的面积？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由. 答案：解：（1）因为抛物线与 轴交于点 两点，设抛物线的函数关系式为： ∵抛物线与 轴交于点 ∴ ∴ 所以，抛物线的函数关系式为： 又 因此，抛物线的顶点坐标为 (2）连结 ∵ 是 的两条切线， ∴ ∴ 又四边形 的面积为 ∴ ∴ 又 ∴ 因此，点 的坐标为 或 当 点在第二象限时，切点 在第一象限. 在直角三角形 中， ∴ ∴ 过切点 作 垂足为点 ∴ 因此，切点 的坐标为 设直线 的函数关系式为 将 的坐标代入得 解之，得 所以，直线 的函数关系式为 当 点在第三象限时，切点 在第四象限. 同理可求：切点 的坐标为 直线 的函数关系式为 因此，直线 的函数关系式为 或 (3）若四边形 的面积等于 的面积 又 ∴ ∴ 两点到 轴的距离相等， ∵ 与 相切，∴点 与点 在 轴同侧， ∴切线 与 轴平行， 此时切线 的函数关系式为 或 当 时，由 得， 当 时，由 得， 故满足条件的点 的位置有4个，分别是
说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数. 10．(10山东省淄博)已知直角坐标系中有一点A（－4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形． (1）求满足条件的所有点B的坐标； (2）求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）； (3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积． 【答案】解：作AC⊥x轴，由已知得OC＝4，AC＝3，OA＝ ＝5． (1）当OA＝OB＝5时， 如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（－5，0）． 如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）． 当OA＝AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BC＝OC，则OB＝8，点B的坐标为（－8，0）． 当AB＝OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），在x轴上取点D，使AD＝OA，可知OD＝8．由∠AOB＝∠OAB＝∠ODA，可知△AOB∽△ODA，则 ，解得OB＝ ，点B的坐标为（－ ，0）． (2）当AB＝OA时，抛物线过O（0，0），A（－4，3），B（－8，0）三点，设抛物线的函数表达式为 ，可得方程组 ，解得a＝ ， ， ． (当OA＝OB时，同理得 ． (3）当OA＝AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴，则∠AOC＝∠PBE，∠ACO＝∠PEB＝90°，△AOC∽△PBE， ．设BE＝4m，PE＝3m，则点P的坐标为（4m－8，－3m），代入 ，解得m＝3． 则点P的坐标为（4，－9）， S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝48． 若OP∥AB（图略），根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（－12，－9）， S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝48． (当OA＝OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴，则∠AOC＝∠PBF，∠ACO＝∠PFB＝90°，△AOC∽△PBF， ．设BF＝4m，PF＝3m，则点P的坐标为（4m－5，－3m），代入 ，解得m＝ ． 则点P的坐标为（1，－ ）， S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝ ． 若OP∥AB（图略），作PF⊥x轴，则∠ABC＝∠POF，∠ACB＝∠PFO＝90°，△ABC∽△POF， ．设点P的坐标为（－n，－3n），代入 ，解得n＝9．则点P的坐标为（－9，－27），S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝75． 11． (10广西河池） 如图11，在直角梯形 中， ∥ ， ，点 为坐标原点，点 在 轴的正半轴上，对角线 ， 相交于点 ， ， ． (1）线段 的长为 ，点 的坐标为 ； (2）求△ 的面积； (3）求过 ， ， 三点的抛物线的解析式； (4）若点 在（3）的抛物线的对称轴上，点 为该 抛物线上的点，且以 ， ， ， 四点为顶点的四边形 为平行四边形，求点 的坐标． 答案：解：（1）4 ； . (2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4， ∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM 又 ∵ OA=2BC ∴ AM＝2CM ，CM＝ AC 所以 (注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.） (3）设抛物线的解析式为 由抛物线的图象经过点 , , .所以
解这个方程组，得 ， ， 所以抛物线的解析式为 (4）∵ 抛物线 的对称轴是CD， ① 当点E在 轴的下方时，CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，点F的坐标即为点 ； ② 当点E在 轴的下方，点F在对称轴 的右侧，存在平行四边形 ， ∥ ，且 ，此时点F的横坐标为6，将 代入 ，可得 .所以 . 同理，点F在对称轴 的左侧，存在平行四边形 ， ∥ ，且 ，此时点F的横坐标为 ，将 代入 ，可得 .所以 . 综上所述，点F的坐标为 ， . 12．（10广西桂林）如图，过A（8，0）、B（0， [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ）两点的直线与直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 交于点C．平行于 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 轴的直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 轴向右平移，到C点时停止； [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 的运动时间为t（ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 秒）． (1）直接写出C点坐标和t的取值范围； (2）求S与t的函数关系式； (3）设直线 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 与 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：解（1）C（4， [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 的取值范围是：0≤ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ≤4 (2）∵D点的坐标是（ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ， [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ），E的坐标是（ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ， [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ） ∴DE= [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] - [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ∴等边△DEF的DE边上的高为： [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ∴当点F在BO边上时： [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ，∴ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] =3 ① 当0≤ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] <3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为： [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] - [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] S= [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ② 当3≤ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ≤4时，重叠部分为等边三角形 S= [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] (3）存在，P（ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ，0） 说 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 明：∵FO≥ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ，FP≥ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ，OP≤4 ∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP, 若FO=FP时， [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] =2（12-3 [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ）， [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] = [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ，∴P（ [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] ，0） Tags：信息,技术应用,探索,二次,函数  |
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