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2014-2015人教版高中数学教学反思

日期:2014-10-29 12:26 阅读:
  课前准备好这一堂课的教学内容,常常会因为课上学生所问的问题引发深入的探索,这时,原本计划的教学内容便不得不调整了。今天,我又调整了课堂上的教学内容。
  一位学生就教参中关于人教版高中数学必修5第69页的第6题的解题过程表示不理解。题为:已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3) ,对这个数列的递推公式进行研究,能否写出它的通项公式?学生搬出了教参中的解答。呵呵,现在学生学习参考的资料真多,还随时可以找找度娘、问问谷哥、查查维基之类,难怪有人感叹在答案满天飞的时代,老师真不好当呀。但事实上,合格的老师从来就不是依靠教参进行教学的,为师者应有自己独立思考和解决问题的习惯,并将研究问题的过程和心得与学生交流,才能真正启发学生,并收获知识。
  教参中的解题是由an+an-1=7×3 (n-2)和an-3an-1=13×(-1) (n-1),得出an=[7×3 (n-1)+13×(-1) (n-1)]/4,学生感到很困惑。
  我启发学生道,要求解an,先试着分析an+an-1=7×3 (n-2)和an-3an-1=13×(-1) (n-1)两个式子有无与an不同的元素?
  学生答:an-1。
  我问,那怎么办?
  学生答:要设法消去。
  我道:聪明!这种思路类似于初中学过的哪种解法?
  学生答:解二元一次方程组的加减消元法。
  我道:很棒!可以把它看作解二元一次方程组。
  学生仍有疑虑:可是老师,我只得出an+an-1=7×3 (n-2),仅从这个式子怎么得出通项公式an呢?
  我道:哈哈,你思考的太棒了,那你觉得有解决的方向吗?
  学生答:没有!
  我试着启发道:再想想,你是否有见过类似的式子?有一点儿相似都行。
  学生考虑道:有些儿像an=2an-1+1的式子。
  我问:那an=2an-1+1如何求解?
  学生道:可在等式两边同加1,得到an+1=2(an-1+1), 其中{an+1}可以看成等比数列,便可求出an。
  我道:真好!那为何要加1呢?
  学生道:凭直觉。
  我又问,再想想还有没有一般的方法?
  学生答:可以用初中学过的待定系数法,设an+k=2(an-1+k),得出an=2an-1+k。与已知an=2an-1+1比较之,得k=1。
  我问,这里用到什么知识?
  学生答:好像是多项式恒等。
  我道:很好!那么an+an-1=7×3 (n-2)呢?这里与an=2an-1+1的比较,可以发现什么差别?
  学生答:一个含7×3 (n-2),另一个是常数。
  我道:很好!你会解常数的,那么这里的差异在于k与n有关,相当于k(n),那么an+k(n)+(an-1+k(n-1))=0,你说,怎么办?
  学生道:可试试k(n)=λ·3n,那么k (n-1)= λ·3n-1 ,将其代入原式,比较可得出k(n)+k(n-1)=-7×3 (n-2)以及λ·3n+λ·3 (n-1)=-7×3 (n-2),所以λ=-7/12,代入k(n)= λ·3n,即k(n)= -7×3n /12
  我道:太棒了,这么一来是不是说an+an-1=7×3 (n-2)可以写成an-7×3n /12+(an-1-7×3n-1/12)=0。
  学生道:是的。
  我道:友情提醒你,最好再检验下,小心这里的失误导致后面解题都是做无用功。
  学生道:明白。
  过一会儿,学生道:没错。
  我道:你可以得出an-7×3n /13=(a1-7×3/13)×(-1) (n-1),那就可以得出an了。
  学生道:明白了,谢谢老师。
  我问:还有问题吗?
  学生问:老师,数学中将an=2an-1+3an-2拆成两种,an+an-1=3(an-1+an-2)和an-3an-1=-(an-1-3an-2),由此得出两个等比数列{an+an-1}、{an-3an-1},为何会想到这么拆,仅仅是靠数学直觉吗?
  我道:直觉是一方面,当然也有一定的规律,你想想这样拆的目的是什么?
  学生答:想成为特殊数列,比如等比数列。
  我道:那么能否模仿an=2an-1+1的思路,引入待定系数试试。把an-λan-1=k(an-1-λan-2)与an=2an-1+3an-2 对比,得出k+λ=2;-kλ=3,由此得出k、λ是方程x2-2x-3=0的两个根,求出来不就是3和-1 了。
  学生大悟道:哈哈,原来是这么回事。
  我想到一个有趣的例子,匈牙利著名数学家路沙·彼得曾提出这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴,你想烧开水,应当怎样去做?”对此,回答说:“在壶中灌上水,点燃煤气,再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答,但他又追问道:“如果其它的条件都没有变化,只是水壶中已经有了半壶的水,那又应当怎样去做?”有人就此编拟了物理学家、工程师以及数学家的回答,虽有调侃之意,但也有趣。物理学家会回答说:“点燃煤气,再把水壶放到煤气灶上。”工程师则回答:“将水壶水加满,点燃煤气,再把水壶放到煤气灶上。”那么,数学家的回答应是这样的:“倒掉壶中的水即可。”因为倒掉壶中的水,就把问题化归成原先的问题了。数学思维的重要特点之一,就是善于使用化归的方法来解决问题。从方法论的角度说,这也就是所谓的“化归法则”。未知的东西同已知的东西总是相联系的,因此,我们处理问题的一条重要思想,就是通过一定的转化过程,把待处理的问题,归结为已解决的问题或较易解决的问题。
  上述的问题往前走,可追溯到二十世纪最奇葩的一个数学成就,即布劳尔的不动点定理。这个定理揭示了一个有趣的结论:把一张当地的地图平铺在地上,则总能在地图上找到一点,这个点下面的地上的点正好就是它在地图上所表示的位置。也就是说,如果在学校的地板上画了一张整个学校的地图,那么你总能在地图上精确地作一个“你在这里”的标记。
  我对学生们说道:数学中有些规律,是已经被发现的,但还有更多的未知领域还等着你们去探索。推荐两本书,柳柏濂教授著的《数学,棘手但很迷人》以及张奠宙先生著的《不动点定理》,有兴趣的同学可以阅读。图书馆中还有《斐波那契数列欣赏》、《差分方程的拉格朗日方法》、《置换多项式及其应用》、《贝蒂定理与拉姆贝克-莫斯尔定理》、《麦卡锡函数和阿克曼函数》,这些数学知识的普及读物都值得阅读。
  在与学生的交流中,下课铃声大作……
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