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课前准备好这一堂课的教学内容，常常会因为课上学生所问的问题引发深入的探索，这时，原本计划的教学内容便不得不调整了。今天，我又调整了课堂上的教学内容。 一位学生就教参中关于人教版高中数学必修5第69页的第6题的解题过程表示不理解。题为：已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3) ，对这个数列的递推公式进行研究，能否写出它的通项公式？学生搬出了教参中的解答。呵呵，现在学生学习参考的资料真多，还随时可以找找度娘、问问谷哥、查查维基之类，难怪有人感叹在答案满天飞的时代，老师真不好当呀。但事实上，合格的老师从来就不是依靠教参进行教学的，为师者应有自己独立思考和解决问题的习惯，并将研究问题的过程和心得与学生交流，才能真正启发学生，并收获知识。 教参中的解题是由an+an-1=7×3 (n-2)和an-3an-1=13×(-1) (n-1)，得出an=[7×3 (n-1)+13×(-1) (n-1)]/4，学生感到很困惑。 我启发学生道，要求解an，先试着分析an+an-1=7×3 (n-2)和an-3an-1=13×(-1) (n-1)两个式子有无与an不同的元素？ 学生答：an-1。 我问，那怎么办？ 学生答：要设法消去。 我道：聪明！这种思路类似于初中学过的哪种解法？ 学生答：解二元一次方程组的加减消元法。 我道：很棒！可以把它看作解二元一次方程组。 学生仍有疑虑：可是老师，我只得出an+an-1=7×3 (n-2)，仅从这个式子怎么得出通项公式an呢？ 我道：哈哈，你思考的太棒了，那你觉得有解决的方向吗？ 学生答：没有！ 我试着启发道：再想想，你是否有见过类似的式子？有一点儿相似都行。 学生考虑道：有些儿像an=2an-1+1的式子。 我问：那an=2an-1+1如何求解？ 学生道：可在等式两边同加1，得到an+1=2(an-1+1)， 其中{an+1}可以看成等比数列，便可求出an。 我道：真好！那为何要加1呢？ 学生道：凭直觉。 我又问，再想想还有没有一般的方法？ 学生答：可以用初中学过的待定系数法，设an+k=2(an-1+k)，得出an=2an-1+k。与已知an=2an-1+1比较之，得k=1。 我问，这里用到什么知识？ 学生答：好像是多项式恒等。 我道：很好！那么an+an-1=7×3 (n-2)呢？这里与an=2an-1+1的比较，可以发现什么差别？ 学生答：一个含7×3 (n-2)，另一个是常数。 我道：很好！你会解常数的，那么这里的差异在于k与n有关，相当于k(n)，那么an+k(n)+(an-1+k(n-1))=0，你说，怎么办？ 学生道：可试试k(n)=λ·3n，那么k (n-1)= λ·3n-1 ，将其代入原式，比较可得出k(n)+k(n-1)=-7×3 (n-2)以及λ·3n+λ·3 (n-1)=-7×3 (n-2)，所以λ=-7/12，代入k(n)= λ·3n，即k(n)= -7×3n /12 我道：太棒了，这么一来是不是说an+an-1=7×3 (n-2)可以写成an-7×3n /12+(an-1-7×3n-1/12)=0。 学生道：是的。 我道：友情提醒你，最好再检验下，小心这里的失误导致后面解题都是做无用功。 学生道：明白。 过一会儿，学生道：没错。 我道：你可以得出an-7×3n /13=(a1-7×3/13)×(-1) (n-1)，那就可以得出an了。 学生道：明白了，谢谢老师。 我问：还有问题吗？ 学生问：老师，数学中将an=2an-1+3an-2拆成两种，an+an-1=3(an-1+an-2)和an-3an-1=-(an-1-3an-2)，由此得出两个等比数列{an+an-1}、{an-3an-1}，为何会想到这么拆，仅仅是靠数学直觉吗？ 我道：直觉是一方面，当然也有一定的规律，你想想这样拆的目的是什么？ 学生答：想成为特殊数列，比如等比数列。 我道：那么能否模仿an=2an-1+1的思路，引入待定系数试试。把an-λan-1=k(an-1-λan-2)与an=2an-1+3an-2 对比，得出k+λ=2;-kλ=3，由此得出k、λ是方程x2-2x-3=0的两个根，求出来不就是3和-1 了。 学生大悟道：哈哈，原来是这么回事。 我想到一个有趣的例子，匈牙利著名数学家路沙·彼得曾提出这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了半壶的水，那又应当怎样去做？”有人就此编拟了物理学家、工程师以及数学家的回答，虽有调侃之意，但也有趣。物理学家会回答说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”工程师则回答：“将水壶水加满，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”那么，数学家的回答应是这样的：“倒掉壶中的水即可。”因为倒掉壶中的水，就把问题化归成原先的问题了。数学思维的重要特点之一，就是善于使用化归的方法来解决问题。从方法论的角度说，这也就是所谓的“化归法则”。未知的东西同已知的东西总是相联系的，因此，我们处理问题的一条重要思想，就是通过一定的转化过程，把待处理的问题，归结为已解决的问题或较易解决的问题。 上述的问题往前走，可追溯到二十世纪最奇葩的一个数学成就，即布劳尔的不动点定理。这个定理揭示了一个有趣的结论：把一张当地的地图平铺在地上，则总能在地图上找到一点，这个点下面的地上的点正好就是它在地图上所表示的位置。也就是说，如果在学校的地板上画了一张整个学校的地图，那么你总能在地图上精确地作一个“你在这里”的标记。 我对学生们说道：数学中有些规律，是已经被发现的，但还有更多的未知领域还等着你们去探索。推荐两本书，柳柏濂教授著的《数学，棘手但很迷人》以及张奠宙先生著的《不动点定理》，有兴趣的同学可以阅读。图书馆中还有《斐波那契数列欣赏》、《差分方程的拉格朗日方法》、《置换多项式及其应用》、《贝蒂定理与拉姆贝克-莫斯尔定理》、《麦卡锡函数和阿克曼函数》，这些数学知识的普及读物都值得阅读。 在与学生的交流中，下课铃声大作…… Tags：2014-2015,人教,高中,数学教学,反思
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