等腰三角形复习教案

　等腰三角形复习

1．等腰三角形

2.等边三角形

1．(2017·台州)如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　　)

A．AE＝EC    B．AE＝BE    C．∠EBC＝∠BAC    D．∠EBC＝∠ABE

2．(2017·丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是____________________．

3．(2015·义乌)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是____________________cm.

【问题】如图，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC中点．

(1)你能从图中得到哪些信息？

(2)求∠CAE的度数；

(3)求证：ADE是等边三角形．

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理等腰三角形、等边三角形的有关知识．

类型一　等腰三角形的性质与判定

　如图，在ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上．

(1)若顶角40°，则一个底角的度数为________；

(2)若一个内角50°，则顶角的度数为________；

(3)若一个外角为100°，则顶角的度数为________；

(4)若AD⊥BC，AB＝6，CD＝4，则ABC的周长是________．

(5)若BD＝DC，∠B＝50°，则∠DAC＝________．

(6)若ABC的两条边长为7cm和14cm，则它的底边为________cm.

【解后感悟】解答此类问题时要注意角的指代明确性：顶角还是底角、内角还是外角；对于(4)(5)没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．

1．(1)(2016·泰安)如图，在PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(　　)

A．44°                B．66°           C．88°          D．92°

(2) (2017·绍兴模拟)如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC＝70°，则∠MPC的度数为(　　)

A．20°                B．35°            C．40°         D．55°

（3）(2017·温州模拟)如图，等腰ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连结AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE＝10cm，则AB＋BD＝

      　cm.

类型二　等边三角形的性质与判定

　(1)等边ABC中，AB＝4，则它的高为________，ABC的面积为________；

(2) 如图1，等边ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DEBC交AC于E，ABC的边长为a，则ADE的周长是________；

(3) 如图2，等边ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，则∠E的度数为________；

(4) 如图3，等边ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________．

【解后感悟】解题的关键是利用现有图形或画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理，揭示图形之间的数量关系来解决问题．

类型三　等腰三角形构造的分类讨论

　(2016·黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，2)，点Q在坐标轴上，PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有______个．

【解后感悟】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是如何确定点Q(即分类讨论)，以及利用勾股定理求出OP的长．

4．(1)(2017·西宁模拟)如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC＝90°，连结AD，过点D作一条直线将ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是____________________度．

(2) (2016·丹东模拟)如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP＝4，∠PBC＝60°，点Q为正方形边上一动点，且PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有  　　个．

类型四　等腰三角形的探究问题

　(1)问题发现

如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结BE.

填空：∠AEB的度数为________；

线段AD、BE之间的数量关系是________．

(2)拓展探究

如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连结BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

(3)解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD＝.若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．

【解后感悟】本题主要考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用(2)中的结论解决问题是解决第(3)题的关键．它是中考的热点题型．

5．(2016·江西模拟)有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是　　　　　　　　.

类型五　等腰三角形的综合运用

　(2016·石家庄模拟)如图，点O是等边ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得ADC，连结OD.

(1)求证：COD是等边三角形；

(2)当α＝150°时，试判断AOD的形状，并说明理由；

(3)探究：当α为多少度时，AOD是等腰三角形？

【解后感悟】本题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法(如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等)．

【探索研究题】

(2016·菏泽)如图，ACB和DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.

(1)如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.

求证：AD＝BE；

求∠AEB的度数．

(2)如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为DCE中DE边上的高，BN为ABE中AE边上的高，试证明：AE＝2CM＋3(3)BN.

【方法与对策】(1)通过角的计算找出∠ACD＝∠BCE，再结合ACB和DCE均为等腰三角形可得出“AC＝BC，DC＝EC”，利用全等三角形的判定(SAS)即可证出ACDBCE，由此即可得出结论AD＝BE；结合中的ACDBCE可得出∠ADC＝∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用(1)的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．这类探究性问题，往往从特殊到一般，积累经验，利用前小题的结论或方法解决问题．这类问题是中考的热点题型．