函数单调性教案

《函数的单调性》教学设计

一、教材分析

    《函数单调性》北师大版高中数学必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。

二、学情分析

学生刚接触单调性，面对函数的单调性的定义描述会感到困惑：什么是增、减函数？因此正确理解函数的单调性是学习中一个难点.但是本节课非常贴近生活，因此丰富的问题情境会使学生产生浓厚的兴趣，以此来突破本堂课的难点.

三、教学目标

1． 知识与技能目标：

（1）理解函数的单调性和单调函数的意义;

（2）会判断和证明函数的单调性.

2． 过程与方法目标：

（1）通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育;

（2）培养从概念出发，进一步研究其性质的意识和能力.

3． 情感态度与价值观目标：

     通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象通过生活实例.感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力.

四、教学重点、难点

重点：函数单调性的定义.

难点：函数单调性概念（数学符号语言）的认知以及应用定义证明函数的单调性.

五、教学方法：启发式教学法及情感教学

六、教学资源与教具

多媒体

七、教学过程

1、感知数学　　引入新课

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中国好声音第一季各期收视率表：

中国好声音第一季各期收视率统计图：

2、实践探究　获得新知

探究1  画出y=x的图象，观察图象是上升的还是下降的？并思考y随x的增大如何变化？

结论：（1）从左往右看，图像是上升的

     （2）在定义域内y随x的增大而增大.

探究2  画出的图象，观察图象是上升的还是下降的？并思考y随x的增大如何变化？

结论：（1）y轴左侧，从左往右看图像是下降的;

          y轴右侧，从左往右看图像是上升的.

     （2)在y轴左侧y随x增大而减小；

         在y轴右侧y随x增大而增大.

3、思考交流    定义初现

对于给出的函数图象，你能说出在哪些区间上y随x的增大而增大？哪些区间上y随x的增大而减少？

结论：y随x的增大而增大的区间：［－2,1］，［3,5］；

      y随x的增大而减小的区间：［－5，－2］，［1,3］.

定义初现

（1）在函数f(x)定义域的某个区间内，若函数值随着自变量的增大而增大，则函数f(x)在这个区间内是单调递增的。

（2）在函数f(x)定义域的某个区间内，若函数值随着自变量的增大而减少，则函数f(x)在这个区间内是单调递减的。

提出问题：您能用数学语言抽象出函数单调递增和单调递减的定义吗？

4、互动探究，亲身体验

函数f(x)=x²数据统计表

通过上表中的数据，你能得出什么结论吗？

当且时，都有

深入分析

任意且时，都有

5、抽象概括    形成定义

（1） 增函数的定义

在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数，当时，都有，那么,就称函数在区间A上是增加的，有时也称函数在区间A上是递增的.

剖析定义：、定义域的一个区间A上；

      、任意；

      、时,总有.

（2） 减函数的定义

在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数，当时，都有，那么,就称函数在区间A上是减少的，有时也称函数在区间A上是递减的.

剖析定义：、定义域的一个区间A上；

      、任意；

      、时,总有.

补充概念：

、如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为y=f(x)的单调区间.

、如果y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么称y=f(x)在这个子集上具有单调性.

、如果y=f(x)在整个定义域上是增加的或是减少的，那么称y=f(x)分别为增函数或减函数，统称为单调函数.

6、例题讲解    应用巩固

例1    说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性.

解：函数的图象如图所示：

由图象可知(-∞,0)和(0,+∞)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数是减少的.

练习演练

1、函数在（-3,4）上是单调递减的是真命题还是假命题？

2、若在R上为增函数，则（ B ）

A.          B.

C.          D.

3、观察中国好声音收视率统计图，回答下列问题.

（1） y在{1,2,3}上是单调 递增  ，在{11,12,13}上是单调 递减 .

（2） y在  {3,4}  和    {11,12,13}    上是单调递减的.

例2 证明函数在(0,+∞)是递减的.

 证明     任取且

        因为，所以；

         所以

         即

         所以函数在(0,+∞)上是减函数.

思考交流：用定义证明函数的单调性的一般步骤：

任取值:即任取区间内的两个值，且;

差变形:作， 通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形;

定符号:确定差的符号，适当的时候需要进行讨论;

下结论:根据定义作出结论.

练习  证明在R上单调递增.

7、课堂小结    渗透目标

（1）函数单调性的定义；

（2）证明函数单调性的步骤；

    任取值、差变形、定符号、下结论.

     (3)利用函数图象判断函数的单调性.

8、作业布置   深化理解

判断函数在(－∞,1)上的单调性，并加以证明．

9、板书设计

10、教学反思

1．给出生活实例和动画，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。这里，通过问题，引发学生的进一步学习的好奇心。

2．给出函数单调性的数学语言。通过教师指图说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。

3．让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标。函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神。

4．教学设计最根本的着力点是“为学习设计教学”，而不是“为教学设计学习”。通过对“函数单调性”教学设计，我对“为学习设计教学”有了更深的理解。如果把教学看作是教师带领学生一起去远足，那么学情分析的目的是要分析学生的认知基础，确定一个合情合理的教学起点；目标导向这是要教师分析预期达到的教学效果，即远足所期望到达的目的地，这是教学的根本和核心任务，是教学设计的关键；知识定位则好比是教师要预先分析通往目的地的道路状况，从而决定前进的方法和策略；问题设计则好比是设计行程，恰当安排可以指引师生高效地向着目的地前行。本节课就是通过这样的设计思想来安排教学设计的。