3.3.2 简单的线性规划问题教学实录与评析

3.3.2 简单的线性规划问题… 高中数学       人教A版2003课标版

本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例，理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题. 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这都成了学生学习的困难．

重点： 画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。

     难点：在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。

1、引入新课

（1）情景：

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

设计意图：问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：列表 →建立数学关系式→ 画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程．

学生：练习．

（2）问题：

若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

生：练习.设工厂获得的利润为z，学生不难列出函数关系式 z=2x+3y.

这是关于变量 的一次解析式，从函数的观点看 的变化引起的变化，而 是区域内的动点的坐标，对于每一组 的值都有唯一的z值与之对应，请算出几个z的值.看看你有什么发现？学生会选择比较好算的点，比如整点、边界点等.

设计意图:学生思维的最近发现区是上节的相关知识，因此教师有目的引导学生利用几何直观解决问题，虽然这个过程计算比较繁琐，操作起来有难度，但是教学是一个过程，从中让学生体会科学探索的艰辛，这样引导出教科书给出的数形结合的合理性，也为引入信息技术埋下伏笔.

（３）分析问题，形成概念

教师打开画板，当堂作出右图，在区域内任意取点，进行计算,请学生与自己的数据对比.

[文本框:]（多媒体显示）

教师引导学生提出猜想：点M的坐标为（４，２）时，Z=2x+3y取得最大值14.

思考：这有限次的实验得来的结论可靠吗？我们毕竟无法取遍所有点，因为区域内的点是无数的！况且没有计算机怎么办，数据复杂手工无法计算怎么办？ 因此，有必要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法.

那么如何解决这个求最值的问题呢？这是本次课的难点。我让学生先自主探究，再分组讨论交流，在学生遇到困难时，我运用化归和数形结合的思想引导学生转化问题，突破难点：⑴学生基于上一课时的学习，讨论后一般都能意识到要将不等式组①表示成平面区域。（教师动画演示画不等式组表示的平面区域。）于是问题转化为当点（x，y）在此平面区域内运动时，如何求 z= 2x+3y的最小值的问题。⑵由于此问题难度较大，我试着这样引导学生：由于已将x，y所满足的条件几何化了，你能否也给式子Z作某种几何解释呢？学生很自然地想到要将等式 z= 2x+3y视为关于x，y的一次方程，它在几何上表示直线。当z取不同的值时可得到一族平行直线。于是问题又转化为当这族直线与此平面区域有公共点时，如何求z的最大值。⑶这一问题相对于部分学生来说仍有一定的难度，于是我继续引导学生：如何更好地把握直线 z=2x+3y 的几何特征呢？学生讨论交流后得出要将将直线 z= 2x+3y改写为 ，至此，学生恍然大悟：原来z就是直线在y轴上的截距，当截距z最大时z也最大。于是问题又转化为当直线 z=2x+3y 与平面区域有公共点时，在区域内找一个点Ｍ，使直线经过点Ｍ时在y轴上的截距最大。

设计意图:借助计算机技术用运动变化的方法，创设实验环境，形成多元联系，展示数学关系式、平面区域、表格等各种形态的表现形式，在数、图、表的关联中进行观察、分析，从而逐步帮助学生进行猜想，也为我们的研究提供一种方向，这是新课程积极倡导的合情推理.

介绍新课

（１）相关的概念：线性规划、线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念.

不等式组是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。使问题z=2x+3y达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数。由于 它又是x、y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数。

一般的，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的最优解。象上述求解线性规划问题的方法叫图解法。

(２)思考：在上述问题中，若生产一件甲产品获利３万元，生产一件乙产品获利２万元，又应当如何安排生产才能获得最大的利润？再换几组数据试试（课本第88页）

 让学生“主动”更换数据，教师借助几何画板“被动”地进行操作演示，师生继续实验 …，发现结论同样成立. 进一步发现目标函数直线的纵截距与z的最值之间的关系，有时并不是截距越大，z值越大.

设计意图:从笔算到计算，从点到直线再到平面（区域），从一个函数到多个函数，从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程，使学生经历数学知识形成、发现、发展的过程，获得问题的解决，这有助于培养学生的科学素养

（课本第88页例5饮食营养搭配）

营养学家指出，成人良好的日常饮食至少应该提供0.075kg的碳水化合物， 0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白质，0.14kg的脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白质，0.07kg的脂肪，花费21元.为了满足营养学家的指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg?

设计意图：一是使学生认识到现实生活中存在许多简单的二元线性规划问题，二是让学生经历完整的分析研究问题、制定解决问题的策略的过程，让学生全面参与课堂教学，完善知识结构体系.

这里要关注平面区域本题是开放型的，而引例是封闭型的.

方法小结：解题回顾是解题过程中重要又常被学生忽略的一个环节。我借用多媒体辅助教学，动态演示解题过程，引导学生归纳、提炼求解步骤：

（1） 画可行域——画出线性约束条件所确定的平面区域；

（2） 过原点作目标函数直线的平行直线l ；

（3） 平移直线l ，观察确定可行域内最优解的位置；

（4） 求最值——解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值。

简记为画——作——移——求四步。

?从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程，使学生经历数学知识形成、发现、发展的过程，获得问题的解决，这有助于培养学生的科学素养

课堂练习

学生练习Ｐ91第1题.

设计意图：及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况，练习目的：会用数形结合思想，将求 的最大值转化为直线 与平面区域有公共点时，在区域内找一个点Ｍ，使直线经过点Ｍ时在y轴上的截距最小的问题，为节省时间，教师可预先画好平面区域，让学生把精力集中到求最优解的解决方案上.

师：在上述线性规划问题中，线性约束条件及线性目标函数是确定的，求最优解.这是问题的一方面，另一方面

(1)若要求结果为整数呢？最优解是在哪？

(2)若已知有唯一（或无数）最优解时，反过来确定线性约束条件或目标函数某些字母系数的取值（范围），又如何解决呢？

小结与作业、板书设计

为使学生对所学的知识有一个完整而深刻的印象，我请学生从以下两方面自己小结。

（1）这节课学习了哪些知识？

（2）学到了哪些思考问题的方法？

（学生回答）

【设计意图】有利于学生养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也培养了学生数学交流和表达的能力。

作业：第91页练习2，第93页习题3—4.

课    题

有关概念                                 复习回顾

约束条件              二元一次不等式表示平面区域

线性约束条件

目标函数

线性目标函数                例题讲解      课时小结

线性规划问题                              图解法解决线性规划问题的基本步骤

可行域

最优解

教学反思

为了将学生从繁琐的数字计算和画区域图中解脱出来，将精力放在对最优解的理解和突出思想方法上，可根据下列不同的情况，设计教学条件，支持教学．

(1)理想的实验应该是在网络环境的支持下完成的，教学之前，老师将积件传输到学生的计算机中，学生在单机的条件下自己动手操作．

(2)在学生缺乏信息技术工具的条件下，教学和作业都应避免繁琐的计算，而把注意力放在“算理”上．

另外数学探究的时间长会使学生失去耐心，基本训练时间无法保证，导致当前效果不直接，教学评价难以跟进，教师宜把握尺度、控制时间，组织起有效的课堂教学，提高驾驭课堂的能力与水平.

3.3.2 简单的线性规划问题

3.3.2 简单的线性规划问题

1、引入新课

（1）情景：

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

设计意图：问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：列表 →建立数学关系式→ 画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程．

学生：练习．

（2）问题：

若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

生：练习.设工厂获得的利润为z，学生不难列出函数关系式 z=2x+3y.

这是关于变量 的一次解析式，从函数的观点看 的变化引起的变化，而 是区域内的动点的坐标，对于每一组 的值都有唯一的z值与之对应，请算出几个z的值.看看你有什么发现？学生会选择比较好算的点，比如整点、边界点等.

设计意图:学生思维的最近发现区是上节的相关知识，因此教师有目的引导学生利用几何直观解决问题，虽然这个过程计算比较繁琐，操作起来有难度，但是教学是一个过程，从中让学生体会科学探索的艰辛，这样引导出教科书给出的数形结合的合理性，也为引入信息技术埋下伏笔.

（３）分析问题，形成概念

教师打开画板，当堂作出右图，在区域内任意取点，进行计算,请学生与自己的数据对比.

[文本框:]（多媒体显示）

教师引导学生提出猜想：点M的坐标为（４，２）时，Z=2x+3y取得最大值14.

思考：这有限次的实验得来的结论可靠吗？我们毕竟无法取遍所有点，因为区域内的点是无数的！况且没有计算机怎么办，数据复杂手工无法计算怎么办？ 因此，有必要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法.

那么如何解决这个求最值的问题呢？这是本次课的难点。我让学生先自主探究，再分组讨论交流，在学生遇到困难时，我运用化归和数形结合的思想引导学生转化问题，突破难点：⑴学生基于上一课时的学习，讨论后一般都能意识到要将不等式组①表示成平面区域。（教师动画演示画不等式组表示的平面区域。）于是问题转化为当点（x，y）在此平面区域内运动时，如何求 z= 2x+3y的最小值的问题。⑵由于此问题难度较大，我试着这样引导学生：由于已将x，y所满足的条件几何化了，你能否也给式子Z作某种几何解释呢？学生很自然地想到要将等式 z= 2x+3y视为关于x，y的一次方程，它在几何上表示直线。当z取不同的值时可得到一族平行直线。于是问题又转化为当这族直线与此平面区域有公共点时，如何求z的最大值。⑶这一问题相对于部分学生来说仍有一定的难度，于是我继续引导学生：如何更好地把握直线 z=2x+3y 的几何特征呢？学生讨论交流后得出要将将直线 z= 2x+3y改写为 ，至此，学生恍然大悟：原来z就是直线在y轴上的截距，当截距z最大时z也最大。于是问题又转化为当直线 z=2x+3y 与平面区域有公共点时，在区域内找一个点Ｍ，使直线经过点Ｍ时在y轴上的截距最大。

设计意图:借助计算机技术用运动变化的方法，创设实验环境，形成多元联系，展示数学关系式、平面区域、表格等各种形态的表现形式，在数、图、表的关联中进行观察、分析，从而逐步帮助学生进行猜想，也为我们的研究提供一种方向，这是新课程积极倡导的合情推理.

介绍新课

（１）相关的概念：线性规划、线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念.

不等式组是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。使问题z=2x+3y达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数。由于 它又是x、y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数。

一般的，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的最优解。象上述求解线性规划问题的方法叫图解法。

(２)思考：在上述问题中，若生产一件甲产品获利３万元，生产一件乙产品获利２万元，又应当如何安排生产才能获得最大的利润？再换几组数据试试（课本第88页）

 让学生“主动”更换数据，教师借助几何画板“被动”地进行操作演示，师生继续实验 …，发现结论同样成立. 进一步发现目标函数直线的纵截距与z的最值之间的关系，有时并不是截距越大，z值越大.

设计意图:从笔算到计算，从点到直线再到平面（区域），从一个函数到多个函数，从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程，使学生经历数学知识形成、发现、发展的过程，获得问题的解决，这有助于培养学生的科学素养

（课本第88页例5饮食营养搭配）

营养学家指出，成人良好的日常饮食至少应该提供0.075kg的碳水化合物， 0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白质，0.14kg的脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白质，0.07kg的脂肪，花费21元.为了满足营养学家的指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg?

设计意图：一是使学生认识到现实生活中存在许多简单的二元线性规划问题，二是让学生经历完整的分析研究问题、制定解决问题的策略的过程，让学生全面参与课堂教学，完善知识结构体系.

这里要关注平面区域本题是开放型的，而引例是封闭型的.

方法小结：解题回顾是解题过程中重要又常被学生忽略的一个环节。我借用多媒体辅助教学，动态演示解题过程，引导学生归纳、提炼求解步骤：

（1） 画可行域——画出线性约束条件所确定的平面区域；

（2） 过原点作目标函数直线的平行直线l ；

（3） 平移直线l ，观察确定可行域内最优解的位置；

（4） 求最值——解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值。

简记为画——作——移——求四步。

?从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程，使学生经历数学知识形成、发现、发展的过程，获得问题的解决，这有助于培养学生的科学素养

课堂练习

学生练习Ｐ91第1题.

设计意图：及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况，练习目的：会用数形结合思想，将求 的最大值转化为直线 与平面区域有公共点时，在区域内找一个点Ｍ，使直线经过点Ｍ时在y轴上的截距最小的问题，为节省时间，教师可预先画好平面区域，让学生把精力集中到求最优解的解决方案上.

师：在上述线性规划问题中，线性约束条件及线性目标函数是确定的，求最优解.这是问题的一方面，另一方面

(1)若要求结果为整数呢？最优解是在哪？

(2)若已知有唯一（或无数）最优解时，反过来确定线性约束条件或目标函数某些字母系数的取值（范围），又如何解决呢？

小结与作业、板书设计

为使学生对所学的知识有一个完整而深刻的印象，我请学生从以下两方面自己小结。

（1）这节课学习了哪些知识？

（2）学到了哪些思考问题的方法？

（学生回答）

【设计意图】有利于学生养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也培养了学生数学交流和表达的能力。

作业：第91页练习2，第93页习题3—4.

课    题

有关概念                                 复习回顾

约束条件              二元一次不等式表示平面区域

线性约束条件

目标函数

线性目标函数                例题讲解      课时小结

线性规划问题                              图解法解决线性规划问题的基本步骤

可行域

最优解

教学反思

为了将学生从繁琐的数字计算和画区域图中解脱出来，将精力放在对最优解的理解和突出思想方法上，可根据下列不同的情况，设计教学条件，支持教学．

(1)理想的实验应该是在网络环境的支持下完成的，教学之前，老师将积件传输到学生的计算机中，学生在单机的条件下自己动手操作．

(2)在学生缺乏信息技术工具的条件下，教学和作业都应避免繁琐的计算，而把注意力放在“算理”上．

另外数学探究的时间长会使学生失去耐心，基本训练时间无法保证，导致当前效果不直接，教学评价难以跟进，教师宜把握尺度、控制时间，组织起有效的课堂教学，提高驾驭课堂的能力与水平.