1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积教案设计

1.3.1　柱体、锥体、台体… 高中数学       人教A版2003课标版

知识与技能：掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力

过程与方法：了解柱体、锥体、台体的表面积公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力.

情感态度与价值观：培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.

根据学生的心理发展规律，采用学生参与的探究式讨论教学法。在学生亲自动手去给出各种几何体的表面积的计算方法，特别注重不同解决问题的方法，提问不同层次的学生，面向全体，使基础差的学生也能有表现机会，培养其自信心，激发其学习兴趣。有效的开发各层次学生的潜在智能，力求使学生能在原有的基础上得到发展。启发学生从书本知识回到社会实践。提供给学生与其生活和周围世界密切相关的数学知识，学习基础性的知识和技能，在教学中积极培养学生学习兴趣和动机，明确的学习目的，充分调动学生的学习积极性，激发学生对数学的兴趣!

教学重点：柱体、锥体、台体的表面积计算公式及其应用.

教学难点：台体面积公式的推导

教学过程：

一、导入新课

在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？

二、新知探究

多面体的表面积

提出问题

1.在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？

正方体及其展开图(1)  长方体及其展开图(2)

2.探究:

①棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

②正六棱柱、正五棱锥、正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

h

a

h'

h'

图3                       图4                  图5

如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.

②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.

总结：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．

应用示例

例1  已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC（图6），求它的表面积.

图6

活动：回顾几何体的表面积含义和求法.

分析：由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.

解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.

因为BC=a,SD= ,

所以S△SBC= BC·SD= .

因此，四面体S—ABC的表面积S=4× .

点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.

（二）旋转体的表面积

我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图7）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).

图7图8

圆锥的侧面展开图是一个扇形（8）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).

点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.

④圆台的侧面展开图是一个扇环（图9），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l).

图9

⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：

圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：

S圆柱表=2πr(r+l) S圆台表=π(r1l+r2l+r12+r22) S圆锥表=πr(r+l).

从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.

例2  如图10，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为?15 cm，?底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米（  取3.14，结果精确到1    ）？

图10

活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.

解：如图10，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［ ］-π( )2≈999(cm2)

答：花盆的表面积约是999 (cm2)

点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.

课堂练习：

课本第27练习第1题

课堂小结

本节课学习了：

1.柱体、锥体、台体的表面积公式.

2.应用公式解决有关问题.

作业

习题1.3A组第1,2题，B组第1题

1.3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积

1.3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积

教学过程：

一、导入新课

在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？

二、新知探究

多面体的表面积

提出问题

1.在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？

正方体及其展开图(1)  长方体及其展开图(2)

2.探究:

①棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

②正六棱柱、正五棱锥、正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

h

a

h'

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图3                       图4                  图5

如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.

②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.

总结：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．

应用示例

例1  已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC（图6），求它的表面积.

图6

活动：回顾几何体的表面积含义和求法.

分析：由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.

解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.

因为BC=a,SD= ,

所以S△SBC= BC·SD= .

因此，四面体S—ABC的表面积S=4× .

点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.

（二）旋转体的表面积

我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图7）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).

图7图8

圆锥的侧面展开图是一个扇形（8）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).

点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.

④圆台的侧面展开图是一个扇环（图9），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l).

图9

⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：

圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：

S圆柱表=2πr(r+l) S圆台表=π(r1l+r2l+r12+r22) S圆锥表=πr(r+l).

从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.

例2  如图10，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为?15 cm，?底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米（  取3.14，结果精确到1    ）？

图10

活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.

解：如图10，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［ ］-π( )2≈999(cm2)

答：花盆的表面积约是999 (cm2)

点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.

课堂练习：

课本第27练习第1题

课堂小结

本节课学习了：

1.柱体、锥体、台体的表面积公式.

2.应用公式解决有关问题.

作业

习题1.3A组第1,2题，B组第1题