3.1.1 方程的根与函数的零点优秀教学设计

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

1、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；

2、根据具体函数的图象，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

学生在初中阶段已经学习了二次函数，知道二次函数的图像的画法以及一元二次方程根的求法。本节课就利用这些知识为基础引入函数的零点。

函数的零点的概念及求法；利用函数的零点作简图.

教师活动：请同学们思考这个问题。用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？

（1） ；（2） .

学生活动：回答，思考解法。

教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？

学生活动：思考作答。

教师活动：用屏幕显示函数 的图象。

学生活动：观察图像，思考作答。

教师活动：我们来认真地对比一下。用屏幕显示表格，让学生填写 的实数根和函数图象与x轴的交点。

学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论。

教师活动：我们就把使方程成立的实数x称做函数的零点．

教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。板书（一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点）。

教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？

学生活动：对比定义，思考作答。

教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？

学生活动：思考作答。

教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。板书（方程的根与函数零点的等价关系）。

教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系。如果已知函数y=f(x)有零点，你怎样理解它？

学生活动：思考作答。

教师活动：对于函数y=f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)=0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点。从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系。所以函数零点实际上是方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点的一个统一体。

在屏幕上显示：函数y=f(x)有零点

方程f(x)=0有实数根  函数y=f(x)的图象与x轴有交点

教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力。

教师活动：用屏幕显示求下列函数的零点.

学生活动：由四位同学分别回答他们确定零点的方法。画图象时要求用语言描述4个图象的画法；

教师活动：根据学生的描述，在黑板上作出图象（在接下来探究零点存在性定理时，图象会成为同学们思考问题的很好的参考）。

教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决 的根的存在性问题？

学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解。

教师活动：用屏幕显示学生所论述的解题过程。这种解法充分运用了我们前面的解题思想，将未知问题转化成已知问题，将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画的函数，利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题。看来我们的探究过程是非常有价值的。

教师活动：如果不转化，这个问题就真的解决不了么？现在最棘手的问题是y= 的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？

教师活动：我们看到，当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示 的函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面。

学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.

教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间（a,b）上存在零点？

学生活动：得出f(a)·f(b)<0的结论。

教师活动：若f(a)·f(b)<0,函数y＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？

学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在[a,b]上连续不断的函数，在满足f(a)·f(b)<0的条件时，才会存在零点的结论。

教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性定理。这是我们本节课的第三个知识点。板书（三、零点存在性定理）。

教师活动：用屏幕显示函数零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．

          即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．

教师活动：这个定理比较长，找个同学给大家读一下，让大家更好地体会定理的内容。

学生活动：读出定理。

教师活动：大家注意到了么，定理中，开始时是在闭区间[a,b]上连续，结果推出时却是在开区间（a,b）上存在零点。你怎样理解这种差异？

学生活动：思考作答。

教师活动：虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然么？结合黑板上的图象，再结合定理的叙述形式，你对定理的内容可有疑问？

学生活动：通过观察黑板上的板书图象，大致说出以下问题：

1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?

2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？

3.在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？

教师活动：那我们就来解决一下这些问题。

学生活动：通过黑板上的图象举出反例，得出结论。

1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则只能确定f(x)在区间(a,b)内有零点，有几个不一定。

2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内也可能有零点。

3.在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性,函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点。

教师活动：现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在，存在几个了。那解决 的根的存在性问题应该是游刃有余了。

用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（2）

学生活动：通过对零点存在性的探究和理解，表述该问题的解法。

教师活动：本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想,数形结合的数学思想,函数与方程的数学思想.数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题起着绝对的指导作用。愿我们每个同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华！

1.函数f(x)=x(x2-16)的零点为(  )

Ａ. (0,0),(4,0)       Ｂ.0,4     Ｃ. (–4,0),(0,0),(4,0)     Ｄ.–4,0,4

2.已知函数f(x)是定义域为Ｒ的奇函数，且f(x)在 上有一个零点，则f(x)的零点个数为(   )

Ａ.３        Ｂ.２      Ｃ.１       Ｄ.不确定

3.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：

x

 1

  2

  3

  4

  5

 6

 7

f(x)

 23

  9

 –7

 11

 –5

–12

–26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（   ）个 

 A.5个       B.4个        C.3个       D.2个

4.函数f(x)= – x3 – 3x + 5的零点所在的大致区间为（    ）

 A.( – 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1) D. (0，0.5)

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

教师活动：请同学们思考这个问题。用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？

（1） ；（2） .

学生活动：回答，思考解法。

教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？

学生活动：思考作答。

教师活动：用屏幕显示函数 的图象。

学生活动：观察图像，思考作答。

教师活动：我们来认真地对比一下。用屏幕显示表格，让学生填写 的实数根和函数图象与x轴的交点。

学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论。

教师活动：我们就把使方程成立的实数x称做函数的零点．

教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。板书（一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点）。

教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？

学生活动：对比定义，思考作答。

教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？

学生活动：思考作答。

教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。板书（方程的根与函数零点的等价关系）。

教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系。如果已知函数y=f(x)有零点，你怎样理解它？

学生活动：思考作答。

教师活动：对于函数y=f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)=0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点。从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系。所以函数零点实际上是方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点的一个统一体。

在屏幕上显示：函数y=f(x)有零点

方程f(x)=0有实数根  函数y=f(x)的图象与x轴有交点

教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力。

教师活动：用屏幕显示求下列函数的零点.

学生活动：由四位同学分别回答他们确定零点的方法。画图象时要求用语言描述4个图象的画法；

教师活动：根据学生的描述，在黑板上作出图象（在接下来探究零点存在性定理时，图象会成为同学们思考问题的很好的参考）。

教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决 的根的存在性问题？

学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解。

教师活动：用屏幕显示学生所论述的解题过程。这种解法充分运用了我们前面的解题思想，将未知问题转化成已知问题，将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画的函数，利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题。看来我们的探究过程是非常有价值的。

教师活动：如果不转化，这个问题就真的解决不了么？现在最棘手的问题是y= 的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？

教师活动：我们看到，当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示 的函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面。

学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.

教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间（a,b）上存在零点？

学生活动：得出f(a)·f(b)<0的结论。

教师活动：若f(a)·f(b)<0,函数y＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？

学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在[a,b]上连续不断的函数，在满足f(a)·f(b)<0的条件时，才会存在零点的结论。

教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性定理。这是我们本节课的第三个知识点。板书（三、零点存在性定理）。

教师活动：用屏幕显示函数零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．

          即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．

教师活动：这个定理比较长，找个同学给大家读一下，让大家更好地体会定理的内容。

学生活动：读出定理。

教师活动：大家注意到了么，定理中，开始时是在闭区间[a,b]上连续，结果推出时却是在开区间（a,b）上存在零点。你怎样理解这种差异？

学生活动：思考作答。

教师活动：虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然么？结合黑板上的图象，再结合定理的叙述形式，你对定理的内容可有疑问？

学生活动：通过观察黑板上的板书图象，大致说出以下问题：

1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?

2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？

3.在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？

教师活动：那我们就来解决一下这些问题。

学生活动：通过黑板上的图象举出反例，得出结论。

1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则只能确定f(x)在区间(a,b)内有零点，有几个不一定。

2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内也可能有零点。

3.在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性,函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点。

教师活动：现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在，存在几个了。那解决 的根的存在性问题应该是游刃有余了。

用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（2）

学生活动：通过对零点存在性的探究和理解，表述该问题的解法。

教师活动：本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想,数形结合的数学思想,函数与方程的数学思想.数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题起着绝对的指导作用。愿我们每个同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华！

1.函数f(x)=x(x2-16)的零点为(  )

Ａ. (0,0),(4,0)       Ｂ.0,4     Ｃ. (–4,0),(0,0),(4,0)     Ｄ.–4,0,4

2.已知函数f(x)是定义域为Ｒ的奇函数，且f(x)在 上有一个零点，则f(x)的零点个数为(   )

Ａ.３        Ｂ.２      Ｃ.１       Ｄ.不确定

3.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：

x

 1

  2

  3

  4

  5

 6

 7

f(x)

 23

  9

 –7

 11

 –5

–12

–26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（   ）个 

 A.5个       B.4个        C.3个       D.2个

4.函数f(x)= – x3 – 3x + 5的零点所在的大致区间为（    ）

 A.( – 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1) D. (0，0.5)

• 优点:

  难易适中，符合学生实情，例题选取具有代表性

• 缺点:

  例题太简单了

• 优点:

  内容紧扣教材，课件制作美观易操作，难易适中。

• 缺点:

  几乎是教材上的内容，自己的创新点少了点。