3.1.1 方程的根与函数的零点优秀教案

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

1．知识与技能

（1）理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系。

（2）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想。

2．过程与方法

由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力。

3．情感、态度与价值观

在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣。

在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合。

重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法。

难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用。

阅读课本，对照学案自学后完成下列问题

1、函数图像和X轴的交点与对应方程根的关系的探究

问题一：解一元二次方程 的根

方程有两个根x1=－1,x2=3

问题二：画出 二次函数图象。

x

y

0

－1

3

2

1

1

2

－1

－2

－3

－4

.

.

.

.

.

问题三：根据图像写出问题二中函数图象与X轴的交点

函数图象与X轴的交点有两个(－1,0)和(3,0)点

问题四：对比问题一和问题三，写出一元二次方程的根和对应二次函数的图象与x轴交点的关系是什么，

一元二次方程的根就是其对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标

2、函数的零点：对于函数 ，把使f(x)=0的实数x叫做函数 的零点．

问题五：零点是点吗？如果不是，零点是什么？

零点不是点，零点指的是函数y=f(x) 对应方程f(x)=0实数根，所以零点是实数

问题六：方程的根、函数零点、函数图象与与x轴交点三者之间的关系？

方程f (x) = 0有实数根 函数y = f (x)的图象与x轴有交点 函数y = f (x)的零点

教师讲解例题1，学生通过归纳总结方法后，上黑板板演，教师点评

例1：判断下列函数是否存在零点，求出函数零点

（1）                   

解：令 ，即

解方程 得 ，

有两个零点，分别是2和3

学生合作探究完成下列小题。

（2）

（3）                       

（4）

总结：求函数零点的常用方法

(1)定义法：解方程 f(x)=0，得出函数的零点。

(2)图象法：画出y= f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标。

例2：判断函数  的零点个数

分析：对于不能直接求解的可利用函数图象，运用数形结合思想解题

解：方法一：利用列表描点画出函数图像

   x           

 -1

0

1

 2

 3

  f(x)            

 -7.5

 -5

 -2

 2

 8

列表

描点画图

4

2

1

2

4

0

y

x

3

由图可知函数 有一个零点

2

1

-1

-2

1

2

4

0

y

x

3

方法二：函数 的零点

个数等于方程 的根的个数，

而方程根的个数又等于 与

这两个函数的交点个数。如图

所以函数  有一个零点

1．判断下列函数是否存在零点，并求出函数零点

（1） ；           

（2） ；

2函数 零点的个数（    ）

Ａ.０　　Ｂ.１　　　Ｃ.２　　　Ｄ.无数个

3.函数 是否存在零点，如何判断？

4，若函数  的两个零点是2和3，则函数 的零点是

____________________________________

１、函数零点的定义；

2、函数的零点与方程的根的关系；

3、判断函数的零点个数和求零点的方法。

1、求下列函数的零点个数及零点

（4）

2、若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求loga25＋b2.

1.函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？

2.若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？你能利用图像举例说明吗？

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

阅读课本，对照学案自学后完成下列问题

1、函数图像和X轴的交点与对应方程根的关系的探究

问题一：解一元二次方程 的根

方程有两个根x1=－1,x2=3

问题二：画出 二次函数图象。

x

y

0

－1

3

2

1

1

2

－1

－2

－3

－4

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.

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问题三：根据图像写出问题二中函数图象与X轴的交点

函数图象与X轴的交点有两个(－1,0)和(3,0)点

问题四：对比问题一和问题三，写出一元二次方程的根和对应二次函数的图象与x轴交点的关系是什么，

一元二次方程的根就是其对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标

2、函数的零点：对于函数 ，把使f(x)=0的实数x叫做函数 的零点．

问题五：零点是点吗？如果不是，零点是什么？

零点不是点，零点指的是函数y=f(x) 对应方程f(x)=0实数根，所以零点是实数

问题六：方程的根、函数零点、函数图象与与x轴交点三者之间的关系？

方程f (x) = 0有实数根 函数y = f (x)的图象与x轴有交点 函数y = f (x)的零点

教师讲解例题1，学生通过归纳总结方法后，上黑板板演，教师点评

例1：判断下列函数是否存在零点，求出函数零点

（1）                   

解：令 ，即

解方程 得 ，

有两个零点，分别是2和3

学生合作探究完成下列小题。

（2）

（3）                       

（4）

总结：求函数零点的常用方法

(1)定义法：解方程 f(x)=0，得出函数的零点。

(2)图象法：画出y= f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标。

例2：判断函数  的零点个数

分析：对于不能直接求解的可利用函数图象，运用数形结合思想解题

解：方法一：利用列表描点画出函数图像

   x           

 -1

0

1

 2

 3

  f(x)            

 -7.5

 -5

 -2

 2

 8

列表

描点画图

4

2

1

2

4

0

y

x

3

由图可知函数 有一个零点

2

1

-1

-2

1

2

4

0

y

x

3

方法二：函数 的零点

个数等于方程 的根的个数，

而方程根的个数又等于 与

这两个函数的交点个数。如图

所以函数  有一个零点

1．判断下列函数是否存在零点，并求出函数零点

（1） ；           

（2） ；

2函数 零点的个数（    ）

Ａ.０　　Ｂ.１　　　Ｃ.２　　　Ｄ.无数个

3.函数 是否存在零点，如何判断？

4，若函数  的两个零点是2和3，则函数 的零点是

____________________________________

１、函数零点的定义；

2、函数的零点与方程的根的关系；

3、判断函数的零点个数和求零点的方法。

1、求下列函数的零点个数及零点

（4）

2、若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求loga25＋b2.

1.函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？

2.若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？你能利用图像举例说明吗？