2.3.1 幂函数第一课时导学案

2.3.1　幂函数 高中数学       人教A版2003课标版

类比、思考、交流、讨论

1．知识技能

    （1）理解幂函数的概念；

    （2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.

    2．过程与方法

    类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.

3．情感、态度、价值观

    （1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；

    （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

本班是普通班，学生的基础并不扎实，所以教学上以学生活动为主，多指导学生的练习和总结。

 重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质

    难点：从幂函数的图象中概括其性质

 引入新知

    阅读教材P77的具体实例（1）~（5），思考下列问题.

    （1）它们的对应法则分别是什么？

    （2）以上问题中的函数有什么共同特征？

让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论

答：1、（1）乘以1             （2）求平方      （3）求立方     

（4）求算术平方根      （5）求－1次方

2、上述的问题涉及到的函数，都是形如： ，其中 是自变量， 是常数.

探究新知

    1．幂函数的定义

一般地，形如 （ R）的函数称为幂孙函数，其中 是自变量， 是常数.

如 等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

2．研究函数的图像

（1）             （2）              （3）    

（4）           （5）

一．提问：如何画出以上五个函数图像

引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.

0

y=x-1

y=x3

让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.

通过观察图像，填P78探究中的表格

定义域

R

R

R

奇偶性

奇

奇

奇

非奇非偶

奇

在第Ⅰ象限单调增减性

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递减

定点

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

3．幂函数性质

    （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因： ）；

    （2） ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.

    特别地，当 ＞1， ＞1时， ∈（0，1）， 的图象都在 图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）

    当∠α＜1时， ∈（0，1）， 的图象都在 的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）

    （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

    在第一家限内，当 向原点靠近时，图象在 轴的右方无限逼近 轴正半轴，当 慢慢地变大时，图象在 轴上方并无限逼近 轴的正半轴.

    例题：

    1．证明幂函数 上是增函数

    证：任取 ＜ 则

                 =

                 =

    因 ＜0， ＞0

    所以 ，即 上是增函数.

思考：

我们知道，若 得 ，你能否用这种作比的方法来证明 上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？

    2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小

    （1）      （2）     （3）

分析：利用幂函数的单调性来比较大小.

5．课堂练习

画出 的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.

6．归纳小结：提问方式

（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？

（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？

2.3.1　幂函数

2.3.1　幂函数

 引入新知

    阅读教材P77的具体实例（1）~（5），思考下列问题.

    （1）它们的对应法则分别是什么？

    （2）以上问题中的函数有什么共同特征？

让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论

答：1、（1）乘以1             （2）求平方      （3）求立方     

（4）求算术平方根      （5）求－1次方

2、上述的问题涉及到的函数，都是形如： ，其中 是自变量， 是常数.

探究新知

    1．幂函数的定义

一般地，形如 （ R）的函数称为幂孙函数，其中 是自变量， 是常数.

如 等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

2．研究函数的图像

（1）             （2）              （3）    

（4）           （5）

一．提问：如何画出以上五个函数图像

引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.

0

y=x-1

y=x3

让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.

通过观察图像，填P78探究中的表格

定义域

R

R

R

奇偶性

奇

奇

奇

非奇非偶

奇

在第Ⅰ象限单调增减性

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递减

定点

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

3．幂函数性质

    （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因： ）；

    （2） ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.

    特别地，当 ＞1， ＞1时， ∈（0，1）， 的图象都在 图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）

    当∠α＜1时， ∈（0，1）， 的图象都在 的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）

    （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

    在第一家限内，当 向原点靠近时，图象在 轴的右方无限逼近 轴正半轴，当 慢慢地变大时，图象在 轴上方并无限逼近 轴的正半轴.

    例题：

    1．证明幂函数 上是增函数

    证：任取 ＜ 则

                 =

                 =

    因 ＜0， ＞0

    所以 ，即 上是增函数.

思考：

我们知道，若 得 ，你能否用这种作比的方法来证明 上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？

    2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小

    （1）      （2）     （3）

分析：利用幂函数的单调性来比较大小.

5．课堂练习

画出 的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.

6．归纳小结：提问方式

（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？

（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？